द्विपद वितरण (Binomial Distribution)
बरनौली ट्रायल्स और सफलता की गणना
परिचय (Introduction)
द्विपद वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब किसी प्रयोग के केवल दो ही परिणाम संभव हों—सफलता (Success) या विफलता (Failure)। इसे प्रसिद्ध गणितज्ञ जेम्स बरनौली ने विकसित किया था।
मुख्य शर्तें (Essential Conditions)
- प्रयासों की संख्या (n) निश्चित होनी चाहिए।
- प्रत्येक प्रयास स्वतंत्र होना चाहिए।
- सफलता की प्रायिकता (p) हर ट्रायल में समान रहनी चाहिए।
- केवल दो परिणाम संभव हों: p + q = 1
गणितीय सूत्र (The Formula)
• n = कुल प्रयासों की संख्या
• r = सफलताओं की वांछित संख्या
• p = सफलता की प्रायिकता
• q = विफलता की प्रायिकता (1 – p)
विशेषताएँ (Properties)
$$np$$
$$npq$$
Mean > Variance
व्यावहारिक उदाहरण (Practical Examples)
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हल किए गए उदाहरण (Solved Numericals)
प्रश्न 1: यदि एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है, तो ठीक 2 बार ‘चित्त’ (Head) आने की प्रायिकता क्या होगी?
हल: यहाँ n = 5, r = 2, p = 1/2, q = 1/2
P(X=2) = 5C2 × (1/2)2 × (1/2)3
= 10 × (1/4) × (1/8) = 10/32 = 5/16
प्रश्न 2: एक द्विपद वितरण का माध्य (Mean) 4 है और प्रसरण (Variance) 3 है। प्रयासों की संख्या (n) ज्ञात कीजिए।
हल: Mean (np) = 4, Variance (npq) = 3
q = (npq / np) = 3/4 = 0.75
p = 1 – q = 1 – 0.75 = 0.25
n = Mean / p = 4 / 0.25 = 16
प्रश्न 3: किसी कारखाने में बने बल्बों में से 10% खराब (Defective) हैं। 4 बल्बों के सैंपल में एक भी बल्ब खराब न होने की प्रायिकता क्या है?
हल: n = 4, p = 0.1 (खराब), q = 0.9, r = 0
P(X=0) = 4C0 × (0.1)0 × (0.9)4
= 1 × 1 × 0.6561 = 0.6561
प्रश्न 4: द्विपद वितरण के लिए मानक विचलन (Standard Deviation) क्या होगा यदि n=100 और p=0.2 है?
हल: n = 100, p = 0.2, q = 0.8
Variance = npq = 100 × 0.2 × 0.8 = 16
S.D. = √Variance = √16 = 4
प्रश्न 5: यदि सफलता की प्रायिकता (p) 1/3 है, तो 3 प्रयासों में कम से कम एक सफलता मिलने की प्रायिकता क्या है?
हल: P(कम से कम 1) = 1 – P(एक भी नहीं)
P(X=0) = 3C0 × (1/3)0 × (2/3)3 = 8/27
P(कम से कम 1) = 1 – 8/27 = 19/27
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