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स्पियरमैन का श्रेणी अंतर सहसंबंध (Spearman’s Rank Correlation)
गुणात्मक डेटा और ‘रैंक’ (Rank) पर आधारित गणना
1. यह क्या है? (What is it?)
**स्पियरमैन का श्रेणी अंतर सहसंबंध गुणांक** (जिसे अक्सर \(\rho\) या \(R\) से दर्शाया जाता है) दो चरों के बीच के संबंध को उनकी **श्रेणियों (Ranks)** के आधार पर मापता है। यह तब सबसे उपयोगी होता है जब डेटा को सटीक रूप से नहीं मापा जा सकता, जैसे—बुद्धिमत्ता, ईमानदारी, या सुंदरता।
2. यह क्यों महत्वपूर्ण है? (Why is it Important?)
A. गुणात्मक डेटा (Qualitative Data)
यह बुद्धिमत्ता, सौंदर्य, और ईमानदारी जैसे ‘गुणा’ (Attributes) को मापने के लिए सबसे उपयुक्त है।
B. आउटलायर्स (Outliers) से मुक्त
यह कार्ल पियर्सन की तुलना में आउटलायर्स (अत्यधिक बड़े या छोटे मान) से कम प्रभावित होता है।
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स्पियरमैन का श्रेणी अंतर सहसंबंध सूत्र (Spearman’s Rank Correlation Formula)
स्थिति A: जब रेंक समान न हों (No Tied Ranks)
यह सबसे सरल सूत्र है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब सभी रेंक अलग-अलग होती हैं:
$$\rho = 1 – \frac{6 \sum D^2}{N(N^2 – 1)}$$
जहाँ:
\(\rho\) = स्पियरमैन का सहसंबंध गुणांक
\(D\) = रेंक का अंतर (\(R_1 – R_2\))
\(\sum D^2\) = रेंक के अंतरों के वर्गों का योग
\(N\) = चरों के जोड़ों की कुल संख्या
स्थिति B: जब रेंक समान हों (Tied Ranks)
यदि दो या दो से अधिक मूल्यों को समान रेंक दी गई हो, तो सूत्र में सुधार (Correction) जोड़ा जाता है:
$$\rho = 1 – \frac{6 \left[ \sum D^2 + \frac{1}{12}(m_1^3 – m_1) + \frac{1}{12}(m_2^3 – m_2) + … \right]}{N(N^2 – 1)}$$
जहाँ:
\(m\) = उन मूल्यों की संख्या जिनकी रेंक समान (Repeated) है।
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स्पियरमैन अभ्यास प्रश्न (Solved Numericals)
प्रश्न 01 (जब रेंक दी गई हो):
दो जजों ने 5 प्रतियोगियों को रेंक दी, जहाँ \(\sum D^2 = 8\) है। सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल: \(N = 5\), \(\sum D^2 = 8\)
\(\rho = 1 – \frac{6(8)}{5(25-1)} = 1 – \frac{48}{5(24)} = 1 – \frac{48}{120}\)
\(\rho = 1 – 0.4 = 0.6\)
उत्तर: \(\rho = +0.6\)
प्रश्न 02 (पूर्ण विपरीत रेंक):
यदि दो श्रेणियों की रेंक एक-दूसरे के बिल्कुल विपरीत हों, तो \(\rho\) का मान क्या होगा?
हल: जब रेंक बिल्कुल विपरीत दिशा में होती हैं, तो सहसंबंध पूर्ण ऋणात्मक होता है।
उत्तर: \(\rho = -1\)
प्रश्न 03 (N की गणना):
यदि \(\rho = 0.8\) और \(\sum D^2 = 33\) है, तो \(N\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र में मान रखने पर \(0.8 = 1 – \frac{6(33)}{N(N^2-1)}\) हल करने पर:
उत्तर: \(N = 10\)
प्रश्न 04 (Tied Rank Concept):
स्पियरमैन विधि में सुधार कारक (Correction Factor) का सूत्र क्या है जब कोई संख्या \(m\) बार दोहराई जाए?
उत्तर: \(CF = \frac{m^3 – m}{12}\)
प्रश्न 05 (शून्य सहसंबंध):
यदि \(\sum D^2 = \frac{N(N^2-1)}{6}\) हो, तो \(\rho\) का मान क्या होगा?
हल: \(\rho = 1 – \frac{6 \cdot \frac{N(N^2-1)}{6}}{N(N^2-1)} = 1 – 1 = 0\)
उत्तर: \(\rho = 0\)
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स्पियरमैन का श्रेणी अंतर सहसंबंध गुणांक (Spearman’s Rank Correlation Coefficient in Hindi)
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