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समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression)
AP: परिभाषा, सूत्र और महत्वपूर्ण नियम
1. AP क्या है? (Definition)
वह श्रेणी जिसमें प्रत्येक पद अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या (सर्व-अन्तर) जोड़ने पर प्राप्त होता है।
श्रृंखला: a, a+d, a+2d, a+3d…
2. n-वाँ पद निकालने का सूत्र
$$a_n = a + (n – 1)d$$
यहाँ: a = प्रथम पद, d = सर्व-अन्तर, n = पदों की संख्या
3. n पदों के योग का सूत्र (Sum)
1. $$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$$
2. $$S_n = \frac{n}{2} [a + l]$$ (यदि अंतिम पद ‘l’ पता हो)
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Topic 9: समांतर श्रेणी (AP) – Practice Set
प्रश्न 1. यदि किसी AP का प्रथम पद (a) 5 है और सर्व-अन्तर (d) 3 है, तो 10वाँ पद क्या होगा?
(A) 30 (B) 32 (C) 35 (D) 38
उत्तर: (B) 32
[हल: a₁₀ = 5 + (10-1)3 = 5 + 27 = 32]
प्रश्न 2. प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं (Natural Numbers) का योग क्या होगा?
(A) 45 (B) 50 (C) 55 (D) 60
उत्तर: (C) 55
[हल: S₁₀ = 10/2 * (1 + 10) = 5 * 11 = 55]
प्रश्न 3. श्रेणी 2, 4, 6, 8… का सर्व-अन्तर (d) क्या है?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 0
उत्तर: (B) 2
प्रश्न 4. यदि AP का n-वाँ पद 3n + 1 है, तो इसका प्रथम पद क्या होगा?
(A) 3 (B) 4 (C) 1 (D) 7
उत्तर: (B) 4
[हल: n=1 रखने पर, 3(1) + 1 = 4]
प्रश्न 5. यदि a, b, c समांतर श्रेणी (AP) में हैं, तो सही संबंध क्या है?
(A) b = a + c (B) 2b = a + c (C) b² = ac (D) b = a – c
उत्तर: (B) 2b = a + c
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