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Table of Contents

शेपर्ड का सुधार (Sheppard’s Correction)

प्रतिमान (Moments) की गणना में शुद्धता का मानक

1. यह क्या है? (What is it?)

जब हम **वर्गीकृत डेटा (Grouped Data)** के लिए प्रतिमान (Moments) की गणना करते हैं, तो हम यह मान लेते हैं कि सभी आवृत्तियाँ (Frequencies) वर्ग-अंतराल के **मध्य-बिंदु (Mid-point)** पर केंद्रित हैं। इस धारणा के कारण गणना में एक छोटी त्रुटि आ जाती है जिसे **’ग्रुपिंग एरर’ (Grouping Error)** कहा जाता है। इस त्रुटि को दूर करने के लिए शेपर्ड के सुधार का उपयोग किया जाता है।

2. सुधार के सूत्र (Correction Formulas)

यदि वर्ग-अंतराल की चौड़ाई ‘h’ है, तो संशोधित प्रतिमान निम्नलिखित होंगे:

संशोधित μ₂ = μ₂ – (h² / 12)

संशोधित μ₃ = μ₃ (कोई परिवर्तन नहीं)

संशोधित μ₄ = μ₄ – ½(h²)μ₂ + (7/240)h⁴

3. सुधार के लिए आवश्यक शर्तें (Conditions)

शेपर्ड का सुधार केवल तभी लागू किया जा सकता है जब:

आवृत्ति वितरण **सतत (Continuous)** हो।
आवृत्ति वितरण दोनों सिरों पर **शून्य (Zero)** की ओर जाता हो।
कुल आवृत्ति (Total Frequency – N) काफी **बड़ी** हो।
वर्ग-अंतराल (Class Interval) का आकार **समान** हो।

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अभ्यास प्रश्न (Solved Numericals)

प्रश्न 01:

एक आवृत्ति वितरण में वर्ग-अंतराल की चौड़ाई (h) 5 है और गणना किया गया द्वितीय परिघात (μ₂) 20 है। शेपर्ड का सुधार लागू करके संशोधित μ₂ ज्ञात कीजिए।

हल: h = 5, μ₂ = 20
संशोधित μ₂ = μ₂ – (h² / 12) = 20 – (5² / 12) = 20 – (25 / 12) = 20 – 2.083
उत्तर: 17.917

प्रश्न 02:

यदि वर्ग-अंतराल h = 2 है, तो μ₃ = 15 के लिए संशोधित μ₃ का मान क्या होगा?

हल: शेपर्ड के सुधार के अनुसार, विषम परिघातों (Odd Moments) जैसे μ₁ और μ₃ में कोई सुधार आवश्यक नहीं होता।
उत्तर: 15 (अपरिवर्तित)

प्रश्न 03:

एक वितरण में h = 4 और μ₂ = 30 है। संशोधित प्रसरण (Corrected Variance) की गणना करें।

हल: प्रसरण ही μ₂ होता है।
संशोधित μ₂ = 30 – (4² / 12) = 30 – (16 / 12) = 30 – 1.333
उत्तर: 28.667

प्रश्न 04:

यदि h = 10 है, तो μ₂ के मान में शेपर्ड के सुधार के कारण कितनी कमी आएगी?

हल: कमी की मात्रा = h² / 12 = 10² / 12 = 100 / 12 = 8.333
उत्तर: 8.333 यूनिट की कमी

प्रश्न 05 (Advanced):

एक डेटा सेट के लिए h = 1, μ₂ = 5 और μ₄ = 100 है। संशोधित μ₄ ज्ञात करें।

हल: सूत्र: μ₄(corr) = μ₄ – ½(h²)μ₂ + (7/240)h⁴
= 100 – ½(1² × 5) + (7/240) × 1⁴
= 100 – 2.5 + 0.029 = 97.529
उत्तर: 97.529

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शेपर्ड का सुधार और प्रतिमान (Sheppard’s Correction for Moments in Hindi)

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शेपर्ड का सुधार (Sheppard's Correction) - महत्वपूर्ण प्रश्न !!!!! 🎁🎁🎁🎁🎓🎓🎓🎓📚📚📚📚📚📝📝📝📝📝🚀🚀🚀🚀💯💯💯💯💯

1 / 5

प्रश्न 1. सांख्यिकी में 'शेपर्ड का सुधार' मुख्य रूप से क्यों लागू किया जाता है?

गणना की गति बढ़ाने के लिए

ग्रुपिंग एरर (Grouping Error) को दूर करने के लिए

डेटा को वर्गीकृत करने के लिए

सैंपलिंग त्रुटि को कम करने के लिए

2 / 5

प्रश्न 2. शेपर्ड का सुधार किस प्रकार के डेटा पर लागू किया जा सकता है?

व्यक्तिगत श्रेणियों (Individual Series) पर

असतत (Discrete) आवृत्ति वितरण पर

सतत (Continuous) आवृत्ति वितरण पर

गुणात्मक डेटा (Qualitative Data) पर

3 / 5

प्रश्न 3. द्वितीय परिघात (μ₂) को शुद्ध करने के लिए सही सूत्र क्या है? (जहाँ h वर्ग-अंतराल है)

μ₂ - (h / 12)

μ₂ + (h² / 12)

μ₂ - (h² / 12)

μ₂ - (h² / 6)

4 / 5

प्रश्न 4. शेपर्ड के सुधार के अनुसार, निम्नलिखित में से किस परिघात (Moment) में सुधार की आवश्यकता नहीं होती?

μ₂

μ₃

μ₄

प्रसरण (Variance)

5 / 5

प्रश्न 5. शेपर्ड के सुधार को लागू करने के लिए अनिवार्य शर्त क्या है?

वर्ग-अंतराल (h) का आकार असमान होना चाहिए

कुल आवृत्ति (N) बहुत छोटी होनी चाहिए

आवृत्ति वितरण के दोनों सिरे शून्य की ओर जाने चाहिए

डेटा केवल धनात्मक होना चाहिए

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