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शेपर्ड का सुधार (Sheppard’s Correction)
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1. यह क्या है? (What is it?)
जब हम **वर्गीकृत डेटा (Grouped Data)** के लिए प्रतिमान (Moments) की गणना करते हैं, तो हम यह मान लेते हैं कि सभी आवृत्तियाँ (Frequencies) वर्ग-अंतराल के **मध्य-बिंदु (Mid-point)** पर केंद्रित हैं। इस धारणा के कारण गणना में एक छोटी त्रुटि आ जाती है जिसे **’ग्रुपिंग एरर’ (Grouping Error)** कहा जाता है। इस त्रुटि को दूर करने के लिए शेपर्ड के सुधार का उपयोग किया जाता है।
2. सुधार के सूत्र (Correction Formulas)
यदि वर्ग-अंतराल की चौड़ाई ‘h’ है, तो संशोधित प्रतिमान निम्नलिखित होंगे:
संशोधित μ₂ = μ₂ – (h² / 12)
संशोधित μ₃ = μ₃ (कोई परिवर्तन नहीं)
संशोधित μ₄ = μ₄ – ½(h²)μ₂ + (7/240)h⁴
3. सुधार के लिए आवश्यक शर्तें (Conditions)
शेपर्ड का सुधार केवल तभी लागू किया जा सकता है जब:
- आवृत्ति वितरण **सतत (Continuous)** हो।
- आवृत्ति वितरण दोनों सिरों पर **शून्य (Zero)** की ओर जाता हो।
- कुल आवृत्ति (Total Frequency – N) काफी **बड़ी** हो।
- वर्ग-अंतराल (Class Interval) का आकार **समान** हो।
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अभ्यास प्रश्न (Solved Numericals)
प्रश्न 01:
एक आवृत्ति वितरण में वर्ग-अंतराल की चौड़ाई (h) 5 है और गणना किया गया द्वितीय परिघात (μ₂) 20 है। शेपर्ड का सुधार लागू करके संशोधित μ₂ ज्ञात कीजिए।
हल: h = 5, μ₂ = 20
संशोधित μ₂ = μ₂ – (h² / 12) = 20 – (5² / 12) = 20 – (25 / 12) = 20 – 2.083
उत्तर: 17.917
प्रश्न 02:
यदि वर्ग-अंतराल h = 2 है, तो μ₃ = 15 के लिए संशोधित μ₃ का मान क्या होगा?
हल: शेपर्ड के सुधार के अनुसार, विषम परिघातों (Odd Moments) जैसे μ₁ और μ₃ में कोई सुधार आवश्यक नहीं होता।
उत्तर: 15 (अपरिवर्तित)
प्रश्न 03:
एक वितरण में h = 4 और μ₂ = 30 है। संशोधित प्रसरण (Corrected Variance) की गणना करें।
हल: प्रसरण ही μ₂ होता है।
संशोधित μ₂ = 30 – (4² / 12) = 30 – (16 / 12) = 30 – 1.333
उत्तर: 28.667
प्रश्न 04:
यदि h = 10 है, तो μ₂ के मान में शेपर्ड के सुधार के कारण कितनी कमी आएगी?
हल: कमी की मात्रा = h² / 12 = 10² / 12 = 100 / 12 = 8.333
उत्तर: 8.333 यूनिट की कमी
प्रश्न 05 (Advanced):
एक डेटा सेट के लिए h = 1, μ₂ = 5 और μ₄ = 100 है। संशोधित μ₄ ज्ञात करें।
हल: सूत्र: μ₄(corr) = μ₄ – ½(h²)μ₂ + (7/240)h⁴
= 100 – ½(1² × 5) + (7/240) × 1⁴
= 100 – 2.5 + 0.029 = 97.529
उत्तर: 97.529
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शेपर्ड का सुधार और प्रतिमान (Sheppard’s Correction for Moments in Hindi)
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