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मानक विचलन (Standard Deviation)
प्रसार का सबसे महत्वपूर्ण और वैज्ञानिक माप
1. परिचय (Introduction)
मानक विचलन (SD) का प्रतिपादन **कार्ल पियर्सन** ने 1893 में किया था। यह प्रसार का सबसे शुद्ध माप माना जाता है क्योंकि इसमें विचलनों का वर्ग किया जाता है, जिससे गणितीय चिन्हों (+/-) की समस्या समाप्त हो जाती है। इसे ग्रीक अक्षर **सिग्मा (σ)** से दर्शाया जाता है।
2. मानक विचलन का सूत्र (Formula)
व्यक्तिगत श्रेणी के लिए मानक विचलन समांतर माध्य से लिए गए विचलनों के वर्गों के माध्य का वर्गमूल होता है:
3. प्रसरण (Variance)
मानक विचलन के वर्ग को **प्रसरण (Variance)** कहा जाता है। यह अक्सर गणनाओं में शुद्धता जाँचने के काम आता है।
Variance = σ²
4. मुख्य लाभ (Key Advantages)
- यह सभी पदों के मूल्यों पर आधारित होता है।
- इसमें बीजगणितीय चिन्हों (+ और -) की उपेक्षा नहीं की जाती (वर्ग करके उन्हें हल किया जाता है)।
- यह उच्च सांख्यिकीय विश्लेषण (जैसे सहसंबंध, प्रतिगमन) का आधार है।
- यह चरम मानों (Extreme values) के प्रति बहुत संवेदनशील और सटीक है।
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मानक विचलन (Standard Deviation) – हल किए गए अभ्यास उदाहरण
उदाहरण 1
यदि किसी डेटा का प्रसरण (Variance) 64 है, तो उसका मानक विचलन (SD) क्या होगा?
सही उत्तर: 8
(हल: SD = √Variance = √64 = 8)
उदाहरण 2
आंकड़ों 5, 5, 5, 5 का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
सही उत्तर: 0
(तर्क: यदि सभी डेटा मान समान हों, तो माध्य से उनका कोई विचलन नहीं होता, इसलिए SD शून्य होता है।)
उदाहरण 3
यदि Σ(X – X̄)² = 200 और N = 8 है, तो मानक विचलन का मान ज्ञात करें।
सही उत्तर: 5
(हल: SD = √(200/8) = √25 = 5)
उदाहरण 4
यदि मानक विचलन 4 है और माध्य (Mean) 20 है, तो विचरण गुणांक (CV) क्या होगा?
सही उत्तर: 20%
(हल: CV = (SD/Mean) × 100 = (4/20) × 100 = 20%)
उदाहरण 5
आंकड़ों 10, 20 के लिए मानक विचलन का मान क्या होगा?
सही उत्तर: 5
(हल: Mean = 15. विचलनों के वर्ग: (10-15)²=25 और (20-15)²=25. Σd²=50. SD = √(50/2) = √25 = 5)
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मानक विचलन सूत्र और गणना
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