माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध
अनुभवजन्य संबंध (Empirical Relationship) की पूरी जानकारी
1. संबंध का मुख्य सूत्र (The Empirical Formula)
कार्ल पियर्सन (Karl Pearson) के अनुसार, मध्यम विषम वितरण (Moderately Skewed Distribution) के लिए केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों के बीच एक स्थिर संबंध होता है, जिसे अनुभवजन्य संबंध कहा जाता है:
(z = 3m – 2x̄)
2. इस सूत्र का उपयोग कब करें?
- जब वितरण मध्यम रूप से विषम (Asymmetrical or Skewed) हो।
- जब केंद्रीय प्रवृत्ति के किन्हीं दो मापों का मान पता हो और तीसरे को ज्ञात करना हो।
- महत्वपूर्ण: यह सूत्र सममित वितरण (Symmetrical Distribution), जैसे सामान्य वितरण (Normal Distribution), पर लागू नहीं होता, क्योंकि वहाँ तीनों का मान समान होता है।
3. वितरणों के प्रकार और संबंध (Key Insights)
- सममित वितरण (Symmetrical): माध्य = माध्यिका = बहुलक (x̄ = m = z)।
- धनात्मक विषम वितरण (Positively Skewed): माध्य > माध्यिका > बहुलक (x̄ > m > z)।
- ऋणात्मक विषम वितरण (Negatively Skewed): माध्य < माध्यिका < बहुलक (x̄ < m < z)।
- मध्यम विषम वितरण के लिए, माध्य और बहुलक के बीच की दूरी, माध्यिका और बहुलक के बीच की दूरी का **तीन गुना** होती है।
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हल किए गए अभ्यास उदाहरण (Numerical Examples)
यदि एक मध्यम विषम वितरण में माध्य (Mean) 20 और माध्यिका (Median) 22 है, तो बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।
(हल: बहुलक = 3(माध्यिका) – 2(माध्य)
= 3(22) – 2(20) = 66 – 40 = 26)
एक वितरण के लिए यदि बहुलक 15 और माध्यिका 12 है, तो माध्य का मान क्या होगा?
(हल: 15 = 3(12) – 2(माध्य)
15 = 36 – 2(माध्य)
2(माध्य) = 21 → माध्य = 10.5)
यदि माध्य और बहुलक के बीच का अंतर 12 है, तो माध्य और माध्यिका के बीच का अंतर क्या होगा?
(तर्क: माध्य – बहुलक = 3(माध्य – माध्यिका)
12 = 3(माध्य – माध्यिका) → अंतर = 12/3 = 4)
एक सममित वितरण (Symmetrical Distribution) में यदि माध्यिका 50 है, तो माध्य और बहुलक का मान बताएं।
(तर्क: सममित वितरण में माध्य = माध्यिका = बहुलक होता है।)
यदि (माध्य – माध्यिका) = 5 है, तो (माध्य – बहुलक) का मान क्या होगा?
(तर्क: सूत्र के अनुसार, माध्य – बहुलक = 3 × (माध्य – माध्यिका)
= 3 × 5 = 15)
माध्य माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध सूत्र (Empirical Relationship Formula in Hindi)
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माध्य माध्यिका और बहुलक के बीच संबंध सूत्र (Empirical Relationship Formula in Hindi)
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