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Table of Contents

सदिश विश्लेषण (Vector Analysis)

भौतिक राशियों का दिशात्मक और परिमाणात्मक अध्ययन

1. अदिश राशियाँ (Scalar Quantities)

वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (Magnitude) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं, उन्हें अदिश राशियाँ कहते हैं।

उदाहरण: द्रव्यमान, समय, दूरी, चाल, कार्य, ऊर्जा, शक्ति।

अदिश राशि	S.I. मात्रक	विमीय सूत्र
कार्य (Work)	जूल (J)	[ML²T⁻²]
शक्ति (Power)	वाट (W)	[ML²T⁻³]

2. सदिश राशियाँ (Vector Quantities)

वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, उन्हें सदिश राशियाँ कहते हैं। ये सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं।

उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, भार।

सदिश राशि	S.I. मात्रक	विमीय सूत्र
बल (Force)	न्यूटन (N)	[MLT⁻²]
वेग (Velocity)	m/s	[LT⁻¹]

3. महत्वपूर्ण सदिश सूत्र (Important Vector Formulas)

परिणामी सदिश (Resultant)

R = √(A² + B² + 2AB cos θ)

अदिश गुणनफल (Dot Product)

A · B = |A| |B| cos θ

सदिश गुणनफल (Cross Product)

A × B = |A| |B| sin θ n̂

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सदिश विश्लेषण (Vector Analysis) – न्यूमेरिकल अभ्यास

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Problem 01

प्रश्न: यदि दो सदिशों का परिमाण 3 और 4 इकाई है और उनके बीच का कोण 90° है, तो परिणामी सदिश (Resultant) का परिमाण ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):
R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
यहाँ θ = 90°, इसलिए cos 90° = 0
R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 इकाई

Problem 02

प्रश्न: यदि सदिश A = 2i + 3j और B = i – j है, तो इनका अदिश गुणनफल (A · B) ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):
A · B = (AxBx) + (AyBy)
A · B = (2 × 1) + (3 × -1)
A · B = 2 – 3 = -1

Problem 03

प्रश्न: सदिश A = 3i + 4j का परिमाण (Magnitude) और एकांक सदिश (Unit Vector) ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):
परिमाण |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Unit Vector (Â) = A / |A| = (3/5)i + (4/5)j

Problem 04

प्रश्न: यदि दो सदिशों का योग उनके अंतर के बराबर है (|A + B| = |A – B|), तो उनके बीच का कोण क्या होगा?

हल (Solution):
|A + B|² = |A – B|²
A² + B² + 2AB cos θ = A² + B² – 2AB cos θ
4AB cos θ = 0 => cos θ = 0 => θ = 90°

Problem 05

प्रश्न: बल F = 5i + 2j न्यूटन द्वारा विस्थापन s = 3i + 4j मीटर करने पर किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):
कार्य (W) = F · s (अदिश गुणनफल)
W = (5 × 3) + (2 × 4) = 15 + 8 = 23 जूल

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Definition of Vector and Scalar Quantities

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सदिश विश्लेषण (Vector Analysis) के लिए 5 महत्वपूर्ण न्यूमेरिकल्स !!!! 🎁🎁🎁🎓🎓🎓📚📚📚📝📝📝🚀🚀🚀💯💯💯

1 / 5

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन सी एक अदिश (Scalar) राशि है?

वेग (Velocity)

बल (Force)

कार्य (Work)

त्वरण (Acceleration)

2 / 5

प्रश्न 2. दो सदिशों vec{A} और vec{B} का अदिश गुणनफल (Dot Product) शून्य है, तो उनके बीच का कोण होगा:

0°

45°

90°

180°

3 / 5

प्रश्न 3. विस्थापन (Displacement) कैसी राशि है?

अदिश

सदिश

न सदिश न अदिश

इनमें से कोई नहीं

4 / 5

प्रश्न 4. एकांक सदिश (Unit Vector) का परिमाण कितना होता है?

शून्य

अनंत

एक (1)

निर्धारित नहीं किया जा सकता

5 / 5

प्रश्न 5. यदि vec{A} × vec{B} का मान अधिकतम है, तो vec{A} और vec{B} के बीच का कोण होगा:

0°

45°

90°

180°

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