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सदिश विश्लेषण (Vector Analysis)
भौतिक राशियों का दिशात्मक और परिमाणात्मक अध्ययन
1. अदिश राशियाँ (Scalar Quantities)
वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण (Magnitude) की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं, उन्हें अदिश राशियाँ कहते हैं।
उदाहरण: द्रव्यमान, समय, दूरी, चाल, कार्य, ऊर्जा, शक्ति।
| अदिश राशि |
S.I. मात्रक |
विमीय सूत्र |
| कार्य (Work) |
जूल (J) |
[ML²T⁻²] |
| शक्ति (Power) |
वाट (W) |
[ML²T⁻³] |
2. सदिश राशियाँ (Vector Quantities)
वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, उन्हें सदिश राशियाँ कहते हैं। ये सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं।
उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, भार।
| सदिश राशि |
S.I. मात्रक |
विमीय सूत्र |
| बल (Force) |
न्यूटन (N) |
[MLT⁻²] |
| वेग (Velocity) |
m/s |
[LT⁻¹] |
3. महत्वपूर्ण सदिश सूत्र (Important Vector Formulas)
परिणामी सदिश (Resultant)
R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
अदिश गुणनफल (Dot Product)
A · B = |A| |B| cos θ
सदिश गुणनफल (Cross Product)
A × B = |A| |B| sin θ n̂
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सदिश विश्लेषण (Vector Analysis) – न्यूमेरिकल अभ्यास
Premium Practice Problems for Educationallof.com
Problem 01
प्रश्न: यदि दो सदिशों का परिमाण 3 और 4 इकाई है और उनके बीच का कोण 90° है, तो परिणामी सदिश (Resultant) का परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
यहाँ θ = 90°, इसलिए cos 90° = 0
R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 इकाई
Problem 02
प्रश्न: यदि सदिश A = 2i + 3j और B = i – j है, तो इनका अदिश गुणनफल (A · B) ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
A · B = (AxBx) + (AyBy)
A · B = (2 × 1) + (3 × -1)
A · B = 2 – 3 = -1
Problem 03
प्रश्न: सदिश A = 3i + 4j का परिमाण (Magnitude) और एकांक सदिश (Unit Vector) ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
परिमाण |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Unit Vector (Â) = A / |A| = (3/5)i + (4/5)j
Problem 04
प्रश्न: यदि दो सदिशों का योग उनके अंतर के बराबर है (|A + B| = |A – B|), तो उनके बीच का कोण क्या होगा?
हल (Solution):
|A + B|² = |A – B|²
A² + B² + 2AB cos θ = A² + B² – 2AB cos θ
4AB cos θ = 0 => cos θ = 0 => θ = 90°
Problem 05
प्रश्न: बल F = 5i + 2j न्यूटन द्वारा विस्थापन s = 3i + 4j मीटर करने पर किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
कार्य (W) = F · s (अदिश गुणनफल)
W = (5 × 3) + (2 × 4) = 15 + 8 = 23 जूल
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Definition of Vector and Scalar Quantities
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