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बीजगणित (Algebra) – शॉर्ट ट्रिक्स और सूत्र
Algebra Formulas and Short Tricks in Hindi : कठिन सवालों को हल करें पलक झपकते ही
दोस्तों, बीजगणित (Algebra) गणित का वह भाग है जो कई छात्रों को कठिन लगता है। लेकिन अगर आपको सही Algebraic Identities और ट्रिक्स पता हों, तो आप बड़े से बड़े समीकरण (Equations) को आसानी से हल कर सकते हैं।
Algebra (बीजगणित) के महत्वपूर्ण सूत्र
- $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ या $$(a – b)^2 + 4ab$$
- $$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$$ या $$(a + b)^2 – 4ab$$
- $$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$$
- $$a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$$ या $$(a – b)^2 + 2ab$$
- $$(a + b + c)^2 =$$ $$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$
- $$ab = \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 – \left( \frac{a-b}{2} \right)^2$$
- $$(a + b)^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3$$
- $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$$
- $$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc=$$ $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
Source: Educationallof.com
Magic Trick: $$x + \frac{1}{x}$$ वाले सवाल
एग्जाम में अक्सर पूछा जाता है कि यदि $$x + \frac{1}{x} = k$$ है, तो $$x^2 + \frac{1}{x^2}$$ क्या होगा?
Short Trick:
यदि $$x + \frac{1}{x} = k$$
तो $$x^2 + \frac{1}{x^2} = \mathbf{k^2 – 2}$$
Numerical Examples (हल के साथ)
प्रश्न 1: यदि $$x + \frac{1}{x} = 5$$ है, तो $$x^2 + \frac{1}{x^2}$$ का मान ज्ञात करें।
हल: Trick के अनुसार: $$5^2 – 2 = 25 – 2 = \mathbf{23}$$
प्रश्न 2: यदि $$a + b = 10$$ और $$ab = 21$$ है, तो $$a^2 + b^2$$ का मान क्या होगा?
हल: $$(a+b)^2 – 2ab = 10^2 – 2(21) $$
$$= 100 – 42 = \mathbf{58}$$
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अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
प्रश्न 1: यदि $$x + \frac{1}{x} = 4$$ है, तो $$x^2 + \frac{1}{x^2}$$ का मान क्या होगा?
विकल्प: (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20
उत्तर: (A) 14
हल: Trick: $$k^2 – 2 \implies 4^2 – 2 = 16 – 2 = 14$$
प्रश्न 2: $$(a – b) = 5$$ और $$(a^2 + b^2) = 37$$ है, तो $ab$ का मान ज्ञात करें।
विकल्प: (A) 5 (B) 6 (C) 12 (D) 10
उत्तर: (B) 6
हल: $$(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab \implies 25 $$
$$= 37 – 2ab \implies 2ab = 12 \implies ab = 6$$
प्रश्न 3: यदि $$x + \frac{1}{x} = 3$$ है, तो $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ का मान क्या होगा?
विकल्प: (A) 27 (B) 18 (C) 21 (D) 9
उत्तर: (B) 18
हल: Trick: $$k^3 – 3k \implies 3^3 – 3(3) = 27 – 9 = 18$$
प्रश्न 4: $$99^2 – 1^2$$ का मान क्या होगा?
विकल्प: (A) 9800 (B) 9900 (C) 10000 (D) 9700
उत्तर: (A) 9800
हल: Formula: $$(a+b)(a-b) \implies (99+1)(99-1) $$
$$= 100 \times 98 = 9800$$
प्रश्न 5: यदि $$a + b + c = 0$$ है, तो $$a^3 + b^3 + c^3$$ किसके बराबर होगा?
विकल्प: (A) 0 (B) $$ab + bc + ca$$ (C) $$3abc$$ (D) $$a^2 + b^2 + c^2$$
उत्तर: (C) $$3abc$$
हल: यह एक महत्वपूर्ण अलजेब्रा सूत्र है (Algebraic Identity).
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