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ठोसों का रूपांतरण (Conversion of Solids)
एक ठोस का दूसरे ठोस में रूपांतरण : Shape Transformation – Educationallof.com
रूपांतरण का क्या अर्थ है? जब हम किसी एक ठोस वस्तु (जैसे मोमबत्ती या लोहे का गोला) को पिघलाकर किसी दूसरे आकार में ढालते हैं, तो इस प्रक्रिया को रूपांतरण कहते हैं।
सबसे महत्वपूर्ण नियम (The Golden Rule)
पुराने ठोस का आयतन = नए ठोस का कुल आयतन
याद रखें: रूपांतरण के दौरान आकृति और पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल सकता है, लेकिन आयतन (Volume) हमेशा समान रहता है।
नए ठोसों की संख्या निकालना
यदि एक बड़े ठोस को पिघलाकर कई छोटे ठोस बनाए जा रहे हैं, तो उनकी संख्या (n) ऐसे निकालें:
n = (बड़े ठोस का आयतन) / (एक छोटे ठोस का आयतन)
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रूपांतरण – हल किए गए उदाहरण
प्रश्न 1
त्रिज्या 4.2 सेमी वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 सेमी वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: गोले का आयतन = बेलन का आयतन
4/3 π(4.2)³ = π(6)² × h
h = (4/3 × 4.2 × 4.2 × 4.2) / (6 × 6) = 2.74 सेमी
प्रश्न 2
व्यास 1 सेमी वाली 8 सेमी लंबी ताँबे की एक छड़ (बेलन) को पिघलाकर 18 मीटर लंबे एक तार के रूप में बदला जाता है। तार की मोटाई ज्ञात करें।
हल: छड़ का आयतन = तार का आयतन (तार भी बेलन है)।
π × (0.5)² × 8 = π × r² × 1800 (18 मी = 1800 सेमी)
r² = (0.25 × 8) / 1800 => r = 1/30 सेमी।
मोटाई (व्यास) = 2/30 = 0.67 मिमी
प्रश्न 3
त्रिज्या 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: बड़े गोले का आयतन = तीनों छोटे गोलों के आयतनों का योग
4/3 πR³ = 4/3 π(6³ + 8³ + 10³)
R³ = 216 + 512 + 1000 = 1728
R = ∛1728 = 12 सेमी
प्रश्न 4
एक 24 सेमी ऊँचाई और 6 सेमी आधार त्रिज्या वाला शंकु मॉडल बनाने वाली मिट्टी से बना है। एक बच्चा इसे गोले के आकार में बदल देता है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: शंकु का आयतन = गोले का आयतन
1/3 π × 6² × 24 = 4/3 π × r³
36 × 24 = 4 × r³ => r³ = 216
r = ∛216 = 6 सेमी
प्रश्न 5
त्रिज्या 2.1 सेमी वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 0.7 सेमी त्रिज्या वाले कितने छोटे गोले बनाए जा सकते हैं?
हल: गोलों की संख्या (n) = (बड़े गोले का आयतन) / (एक छोटे गोले का आयतन)
n = (4/3 π × 2.1³) / (4/3 π × 0.7³) = (2.1 / 0.7)³ = 3³ = 27
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