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समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
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1. माध्य की परिभाषा (Definition of Mean)
किसी दिए गए आंकड़ों के समूह के सभी प्रेक्षणों (Observations) के योग को उनकी कुल संख्या से भाग देने पर जो मान प्राप्त होता है, उसे समांतर माध्य (Mean) कहते हैं। इसे आमतौर पर x̄ से दर्शाया जाता है।
2. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)
व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)
x̄ = Σx / n
खंडित श्रेणी (Discrete Series)
x̄ = Σfx / Σf
कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean)
x̄ = A + (Σfd / Σf)
माध्य के गुण (Properties):
- माध्य सभी प्रेक्षणों पर आधारित होता है।
- यह गणितीय गणनाओं के लिए सबसे उपयुक्त है।
- माध्य चरम मानों (Extreme Values) से प्रभावित होता है।
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माध्य (Mean) – न्यूमेरिकल प्रैक्टिस सेट
सांख्यिकी अभ्यास: महत्वपूर्ण प्रश्न और उनके हल
प्रश्न 01
प्रश्न: प्रथम पांच अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
प्रथम 5 अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11
कुल योग (Σx) = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
कुल संख्या (n) = 5
माध्य (x̄) = 28 / 5 = 5.6
प्रश्न 02
प्रश्न: यदि 5, 10, 15, R और 20 का माध्य 15 है, तो R का मान क्या होगा?
हल (Solution):
माध्य = (5 + 10 + 15 + R + 20) / 5 = 15
50 + R = 15 × 5 = 75
R = 75 – 50 = 25
प्रश्न 03
प्रश्न: 10 प्रेक्षणों का माध्य 25 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण में 5 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
हल (Solution):
गुणधर्म के अनुसार: यदि प्रत्येक संख्या में ‘k’ जोड़ा जाता है, तो माध्य भी ‘k’ से बढ़ जाता है।
नया माध्य = पुराना माध्य + 5
नया माध्य = 25 + 5 = 30
प्रश्न 04
प्रश्न: प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याओं (Even Numbers) का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
प्रथम ‘n’ सम संख्याओं का माध्य सूत्र = (n + 1)
यहाँ n = 10 है।
माध्य = 10 + 1 = 11
प्रश्न 05
प्रश्न: एक कक्षा के 5 छात्रों के अंक 40, 50, 60, 70, 80 हैं। इनका माध्य ज्ञात करें।
हल (Solution):
योग = 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300
छात्रों की संख्या = 5
माध्य = 300 / 5 = 60
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Method and Formula to find Mean
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