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Thermodynamics & Statistical Physics Practice |CG SET Physical science

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 01

Q1. Carnot इंजन की दक्षता (Efficiency) 100% तब होगी जब सिंक का ताप (Temperature of Sink) होगा:

A) $$0^\circ\text{C}$$
B) $$0\text{ K}$$
C) $$273\text{ K}$$
D) स्रोत के ताप के बराबर

Q2. प्रथम कोटि के प्रावस्था परिवर्तन (First-order Phase Transition) के दौरान निम्नलिखित में से कौन सी राशि सतत (Continuous) रहती है?

A) एंट्रॉपी (S)
B) आयतन (V)
C) गिब्स मुक्त ऊर्जा (G)
D) विशिष्ट ऊष्मा (C_p)

Q3. एकांक आयतन में फोटॉन गैस की आंतरिक ऊर्जा (U/V) का मान ताप (T) के किस घात के अनुक्रमानुपाती होता है?

A) T के
B) $$T^2$$ के
C) $$T^3$$ के
D) $$T^4$$ के

Q4. तीन विभेद्य (Distinguishable) कणों को दो ऊर्जा स्तरों में वितरित करने के कुल सूक्ष्म अवस्थाओं (Microstates) की संख्या होगी:

A) 6
B) 8
C) 9
D) 4

Q5. $$T = 0\text{ K}$$ पर फर्मी-वितरण फलन f(E) का मान $$E < E_F$$ के लिए होगा:

A) 0
B) 0.5
C) 1
D) अनंत

Q6. क्लाउसियस-क्लैपेरॉन समीकरण (Clausius-Clapeyron Equation) $$\frac{dP}{dT}$$ व्यक्त करता है:

A) $$\frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$
B) $$\frac{L}{T(V_1 – V_2)}$$
C) $$\frac{T}{L(V_2 – V_1)}$$
D) $$\frac{L(V_2 – V_1)}{T}$$

Q7. एक आदर्श एकपरमाणुक (Monatomic) गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक ($$\gamma = C_p/C_v$$) का मान होगा:

A) 7/5
B) 5/3
C) 4/3
D) 2

Q8. कैनोनिकल एनसेंबल (Canonical Ensemble) में निम्नलिखित में से कौन सी राशियाँ नियत (Constant) रहती हैं?

A) N, V, E
B) N, V, T
C) $$\mu, V, T$$
D) N, P, T

Q9. बोस-आइंस्टीन संघनन (Bose-Einstein Condensation) किस तापमान पर घटित होता है?

A) फर्मी ताप (T_F) पर
B) क्रिटिकल ताप (T_c) के नीचे
C) केवल कमरे के ताप पर
D) अनंत ताप पर

Q10. मैक्सवेल के ऊष्मागतिकीय संबंधों में से $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$$ किसके बराबर होता है?

A) $$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$
B) $$-\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$
C) $$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$
D) $$-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

Detailed Solutions (विस्तृत हल)

Q1 Solution:

सही उत्तर: B) $$0\text{ K}$$

विस्तृत हल:
कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $$\eta = 1 – \frac{T_2}{T_1}$$ होता है, जहाँ $$T_1$$ स्रोत और $$T_2$$ सिंक का ताप है। $$\eta = 1 (100\%)$$ के लिए $$\frac{T_2}{T_1} = 0$$ होना चाहिए, जो केवल $$T_2 = 0\text{ K}$$ पर ही संभव है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: C) गिब्स मुक्त ऊर्जा (G)

विस्तृत हल:
प्रथम कोटि के प्रावस्था परिवर्तन में गिब्स मुक्त ऊर्जा G सतत रहती है, जबकि इसके प्रथम अवकलज जैसे एंट्रॉपी $$S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P$$ और आयतन $$V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T$$ असतत (Discontinuous) होते हैं।

Q3 Solution:

सही उत्तर: D) $$T^4$$ के

विस्तृत हल:
स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियम और कृष्णपिंड विकिरण सिद्धांत के अनुसार, फोटॉन गैस की ऊर्जा घनत्व $$u = \frac{U}{V} = a T^4$$ होती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) 8

विस्तृत हल:
N विभेद्य कणों को g ऊर्जा स्तरों में बाँटने के कुल तरीकों की संख्या $$g^N$$ होती है। यहाँ N = 3 और g = 2 हैं, इसलिए कुल सूक्ष्म अवस्थाएँ = $$2^3 = 8$$ होंगी।

Q5 Solution:

सही उत्तर: C) 1

विस्तृत हल:
फर्मी-डिराक वितरण नियम: $$f(E) = \frac{1}{e^{(E – E_F)/kT} + 1}$$। जब $$T = 0\text{ K}$$ और $$E < E_F$$ हो, तो $$e^{-\infty} = 0$$, अतः $$f(E) = 1$$। यानी $$E_F$$ से नीचे के सभी स्तर पूर्णतः भरे होते हैं।

Q6 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$

विस्तृत हल:
क्लाउसियस-क्लैपेरॉन की प्रथम गुप्त ऊष्मा समीकरण $$\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$ होती है, जहाँ L गुप्त ऊष्मा और $$V_1, V_2$$ दो अवस्थाओं के आयतन हैं।

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) 5/3

विस्तृत हल:
एकपरमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है। अतः $$\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$।

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) N, V, T

विस्तृत हल:
1. Micro-canonical Ensemble: N, V, E नियत
2. Canonical Ensemble: N, V, T नियत
3. Grand-canonical Ensemble: $$\mu, V, T$$ नियत।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) क्रिटिकल ताप ($$T_c$$) के नीचे

विस्तृत हल:
बोसॉन कणों को एक निश्चित क्रांतिक ताप (Critical Temperature, $$T_c$$) से नीचे ठंडा करने पर अधिकांश कण न्यूनतम ऊर्जा स्तर में एकत्र हो जाते हैं, जिसे बोस-आइंस्टीन संघनन कहते हैं।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$

विस्तृत हल:
हेलमहोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा $$dF = -S dT – P dV$$ के यथार्थ अवकलज गुण से मैक्सवेल का तीसरा संबंध प्राप्त होता है: $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$।

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 02

Q1. ऊष्मागतिकी के किस नियम द्वारा परम शून्य ताप पर किसी शुद्ध क्रिस्टलीय पदार्थ की एंट्रॉपी शून्य मानी जाती है?

A) शून्यवाँ नियम (Zeroth Law)
B) प्रथम नियम (First Law)
C) द्वितीय नियम (Second Law)
D) तृतीय नियम (Third Law)

Q2. कारनोट इंजन की दक्षता (η) स्रोत के ताप T₁ और सिंक के ताप T₂ से किस प्रकार संबंधित है?

A) η = 1 – (T₂ / T₁)
B) η = 1 – (T₁ / T₂)
C) η = T₂ / T₁
D) η = 1 + (T₂ / T₁)

Q3. मैक्सवेल के ऊष्मागतिक संबंधों में से कौन-सा संबंध सही है?

A) (∂T / ∂V)_S = -(∂P / ∂S)_V
B) (∂T / ∂P)_S = (∂V / ∂S)_P
C) (∂S / ∂V)_T = (∂P / ∂T)_V
D) उपरोक्त सभी

Q4. एक आदर्श गैस के रुद्धोष्म प्रसार (Adiabatic Expansion) के दौरान निम्नलिखित में से क्या नियत रहता है?

A) दाबांतर (Pressure)
B) ताप (Temperature)
C) एंट्रॉपी (Entropy)
D) आंतरिक ऊर्जा (Internal Energy)

Q5. बोसे-आइंस्टीन सांख्यिकी (Bose-Einstein Statistics) निम्नलिखित में से किस प्रकार के कणों पर लागू होती है?

A) केवल इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन (फर्मीऑन)
B) पूर्ण संख्यात्मक चक्रण (Integral Spin) वाले कण (बोसॉन)
C) अर्ध-विषम चक्रण (Half-odd integral spin) वाले कण
D) केवल विभेद्य (Distinguishable) कण

Q6. फर्मी-डिराक सांख्यिकी का पालन करने वाले कणों की वितरण फलन f(E) का व्यंजक क्या होता है?

A) 1 / [e^(E-μ)/kT – 1]
B) 1 / [e^(E-μ)/kT + 1]
C) e^-(E-μ)/kT
D) 1 / [e^E/kT]

Q7. कृष्णिका विकिरण में स्टीफन-बोल्ट्ज़मान का नियम कुल उत्सर्जित ऊर्जा E और परम ताप T में क्या संबंध बताता है?

A) E ∝ T
B) E ∝ T²
C) E ∝ T³
D) E ∝ T⁴

Q8. एनसेंबल (Ensemble) के प्रकारों में से किस एनसेंबल में कणों की संख्या N, आयतन V, और ऊर्जा E नियत रहती है?

A) कैनोनिकल एनसेंबल (Canonical Ensemble)
B) माइक्रोकैनोनिकल एनसेंबल (Microcanonical Ensemble)
C) ग्रैंड कैनोनिकल एनसेंबल (Grand Canonical Ensemble)
D) आइसोथर्मल एनसेंबल

Q9. जूल-थॉमसन प्रसार (Joule-Thomson Expansion) की परिघटना में कौन सी ऊष्मागतिक राशि संरक्षित/नियत रहती है?

A) आंतरिक ऊर्जा (U)
B) एंट्रॉपी (S)
C) एन्थैल्पी (H)
D) गिब्स मुक्त ऊर्जा (G)

Q10. ऊर्जा के समविभाजन नियम (Equipartition of Energy Theorem) के अनुसार, परम ताप T पर प्रति स्वतंत्रता की कोटि (Degree of Freedom) औसत गतिज ऊर्जा कितनी होती है?

A) k_B T
B) (1/2) k_B T
C) (3/2) k_B T
D) 2 k_B T

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 02 (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: D) तृतीय नियम (Third Law)

हल: ऊष्मागतिकी के तृतीय नियम (Nernst Heat Theorem) के अनुसार, परम शून्य ताप (0 K) पर किसी भी शुद्ध क्रिस्टलीय पदार्थ की एंट्रॉपी शून्य हो जाती है।

Q2. उत्तर: A) η = 1 – (T₂ / T₁)

हल: कारनोट इंजन की दक्षता का सूत्र η = 1 – (Q₂/Q₁) = 1 – (T₂/T₁) होता है, जहाँ T₁ उच्च ताप (स्रोत) और T₂ निम्न ताप (सिंक) है।

Q3. उत्तर: D) उपरोक्त सभी

हल: थर्मोडायनामिक्स के चारों मैक्सवेल संबंध सही हैं:
1. (∂T/∂V)_S = -(∂P/∂S)_V
2. (∂T/∂P)_S = (∂V/∂S)_P
3. (∂S/∂V)_T = (∂P/∂T)_V

Q4. उत्तर: C) एंट्रॉपी (Entropy)

हल: उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया (Reversible Adiabatic Process) में ऊष्मा परिवर्तन dQ = 0 होता है। चूंकि dS = dQ/T = 0, अतः एंट्रॉपी (S) अचर/नियत रहती है।

Q5. उत्तर: B) पूर्ण संख्यात्मक चक्रण (Integral Spin) वाले कण (बोसॉन)

हल: बोसे-आइंस्टीन सांख्यिकी केवल उन अविभेद्य कणों पर लागू होती है जिनका चक्रण पूर्णांक (s = 0, 1, 2…) होता है, जिन्हें **बोसॉन (Bosons)** कहा जाता है (जैसे- फोटॉन, फोनॉन)।

Q6. उत्तर: B) 1 / [e^(E-μ)/kT + 1]

हल: फर्मी-डिराक सांख्यिकी का पालन करने वाले फर्मीऑनों (जैसे- इलेक्ट्रॉन) के लिए वितरण फलन f(E) = 1 / [e^(E-μ)/kT + 1] होता है।

Q7. उत्तर: D) E ∝ T⁴

हल: स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियम के अनुसार, किसी आदर्श कृष्णिका के एकांक क्षेत्रफल से प्रति सेकेंड उत्सर्जित कुल विकिर्ण ऊर्जा उसके परम ताप के चतुर्थ घात के समानुपाती होती है (E = σ T⁴)।

Q8. उत्तर: B) माइक्रोकैनोनिकल एनसेंबल (Microcanonical Ensemble)

हल: माइक्रोकैनोनिकल एनसेंबल एक पृथक्कृत निकाय (Isolated System) को निरूपित करता है, जिसमें कणों की संख्या (N), आयतन (V) और कुल ऊर्जा (E) नियत रहते हैं।

Q9. उत्तर: C) एन्थैल्पी (Enthalpy)

हल: जूल-थॉमसन प्रभाव (सरंध्र डाट प्रयोग) एक सम-एन्थैल्पिक प्रक्रिया (Isenthalpic Process) है, जिसमें गैस के प्रसार के दौरान उसकी एन्थैल्पी H = U + PV अचर बनी रहती है।

Q10. उत्तर: B) (1/2) k_B T

हल: ऊर्जा के समविभाजन नियम के अनुसार, तापीय साम्यावस्था में किसी निकाय की प्रत्येक स्वतंत्र कोटि (Degree of Freedom) के साथ औसत गतिज ऊर्जा (1/2) k_B T संबद्ध होती है।

Thermodynamics & Statistical Physics – Set 3

Q1. माक्सवेल-बोल्ट्ज़मान (Maxwell-Boltzmann), बोस-आइंस्टीन (Bose-Einstein) और फर्मी-डिराक (Fermi-Dirac) सांख्यिकी के लिए कणों की प्रकृति के संदर्भ में कौन-सा कथन सही है?

(A) तीनों सांख्यिकी केवल विभेद्य (Distinguishable) कणों के लिए लागू होती हैं।
(B) बोस-आइंस्टीन केवल अर्ध-पूर्णांक स्पिन (Half-odd integer spin) वाले कणों के लिए है।
(C) फर्मी-डिराक सांख्यिकी अविभेद्य (Indistinguishable) तथा पाऊली अपवर्जन नियम का पालन करने वाले कणों (फर्मियान्स) के लिए लागू होती है।
(D) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी अविभेद्य कणों पर लागू होती है।

Q2. एक आदर्श गैस के लिए समतापी प्रक्रम (Isothermal Process) के दौरान आंतरिक ऊर्जा (Internal Energy) में परिवर्तन कितना होता है?

(A) ΔU = n C_v ΔT
(B) ΔU = 0
(C) ΔU = W
(D) ΔU = Q

Q3. कारनो इंजन (Carnot Engine) की दक्षता (Efficiency) η का सही सूत्र क्या है, जहाँ T_1 स्रोत (Source) का ताप और T_2 सिंक (Sink) का ताप है?

(A) η = 1 – (T_1 / T_2)
(B) η = 1 – (T_2 / T_1)
(C) η = T_2 / T_1
(D) η = 1 + (T_2 / T_1)

Q4. फर्मी-डिराक वितरण फलन f(E) = 1 / [e^((E-E_F)/k_B T) + 1] में, परम शून्य ताप (T = 0 K) पर यदि E < E_F हो, तो f(E) का मान क्या होगा?

(A) 0
(B) 0.5
(C) 1
(D) अनिश्चित (Undefined)

Q5. रुद्धोष्म प्रक्रम (Adiabatic Process) के लिए दाब P और आयतन V के बीच सही संबंध क्या है?

(A) P V = Constant
(B) P V^γ = Constant
(C) P T^γ = Constant
(D) V T^γ = Constant

Q6. 3D में N स्वतंत्र classical harmonic oscillators निकाय का संविभाजन फलन (Partition Function Z) T ताप पर किस प्रकार निर्भर करता है?

(A) Z ∝ T^(N/2)
(B) Z ∝ T^N
(C) Z ∝ T^(3N)
(D) Z ∝ T^(3N/2)

Q7. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम (ΔQ = dU + dW) का मूल आधार कौन-सा संरक्षण नियम है?

(A) द्रव्यमान संरक्षण (Conservation of Mass)
(B) संवेग संरक्षण (Conservation of Momentum)
(C) ऊर्जा संरक्षण (Conservation of Energy)
(D) आवेश संरक्षण (Conservation of Charge)

Q8. परम शून्य ताप (T = 0 K) पर एक शुद्ध क्रिस्टलीय पदार्थ की एंट्रॉपी (Entropy) शून्य होती है। यह ऊष्मागतिकी का कौन-सा नियम है?

(A) शून्यवाँ नियम (Zeroth Law)
(B) प्रथम नियम (First Law)
(C) द्वितीय नियम (Second Law)
(D) तृतीय नियम (Third Law)

Q9. एक-परमाणुक आदर्श गैस (Monatomic Ideal Gas) के लिए सम-विभाजन सिद्धांत (Equipartition Theorem) के अनुसार प्रत्येक अणु की औसत तापीय ऊर्जा कितनी होती है?

(A) (1/2) k_B T
(B) (3/2) k_B T
(C) k_B T
(D) (5/2) k_B T

Q10. क्वांटम फोटॉन गैस (Photons / Bosons) के लिए रासायनिक विभव (Chemical Potential μ) का मान कितना होता है?

(A) μ > 0
(B) μ < 0
(C) μ = 0
(D) μ = E_F

Thermodynamics & Statistical Physics – Set 3 Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: (C) फर्मी-डिराक सांख्यिकी अविभेद्य (Indistinguishable) तथा पाऊली अपवर्जन नियम का पालन करने वाले कणों (फर्मियान्स) के लिए लागू होती है।

विस्तृत हल:

1. मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी: यह विभेद्य (Distinguishable) कणों पर लागू होती है।

2. बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी: यह अविभेद्य तथा पूर्णांक स्पिन (Integer Spin, जैसे 0, 1, 2) वाले बोसोन्स पर लागू होती है।

3. फर्मी-डिराक सांख्यिकी: यह अविभेद्य, अर्ध-पूर्णांक स्पिन (Half-odd Integer Spin, जैसे 1/2, 3/2) वाले कणों पर लागू होती है और पाऊली अपवर्जन नियम का पूर्ण पालन करती है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: (B) ΔU = 0

विस्तृत हल:

आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा U केवल ताप T का फलन होती है [U = U(T)]।

समतापी प्रक्रम (Isothermal Process) में ताप नियत रहता है (ΔT = 0)।

अतः आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ΔU = n C_v ΔT = 0 होगा।

Q3 Solution:

सही उत्तर: (B) η = 1 – (T_2 / T_1)

विस्तृत हल:

कारनो इंजन की दक्षता का सूत्र η = W / Q_1 = (Q_1 – Q_2) / Q_1 = 1 – (Q_2 / Q_1) होता है।

कारनो चक्र के लिए Q_2 / Q_1 = T_2 / T_1 होता है, जहाँ T_1 स्रोत का उच्च ताप और T_2 सिंक का निम्न ताप है।

अतः η = 1 – (T_2 / T_1)।

Q4 Solution:

सही उत्तर: (C) 1

विस्तृत हल:

फर्मी-डिराक वितरण फलन f(E) = 1 / [e^((E – E_F) / k_B T) + 1] है।

जब T = 0 K और E < E_F हो, तो (E – E_F) ऋणात्मक होगा।

(E – E_F) / (k_B · 0) = -∞

e^(-∞) = 0

अतः f(E) = 1 / (0 + 1) = 1। इसका तात्पर्य है कि परम शून्य ताप पर फर्मी ऊर्जा E_F से नीचे के सभी ऊर्जा स्तर पूर्णतः भरे होते हैं।

Q5 Solution:

सही उत्तर: (B) P V^γ = Constant

विस्तृत हल:

रुद्धोष्म प्रक्रम (Adiabatic Process) में निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता (dQ = 0)।

इस प्रक्रम के लिए दाब P और आयतन V के बीच संबंध P V^γ = नियतांक (Constant) होता है, जहाँ γ = C_p / C_v (विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात) है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: (C) Z ∝ T^(3N)

विस्तृत हल:

एक 1D क्लासिकल हार्मोनिक ऑसिलेटर का संविभाजन फलन Z_1D = (k_B T) / (ℏ ω) ∝ T होता है।

3D में 1 ऑसिलेटर के लिए तीन स्वतंत्रता की कोटियाँ (3 degrees of freedom) होती हैं, इसलिए Z_3D = (Z_1D)³ ∝ T³।

अतः N स्वतंत्र ऑसिलेटरों के कुल निकाय के लिए Z = (Z_3D)^N ∝ (T³)^N = T^(3N)।

Q7 Solution:

सही उत्तर: (C) ऊर्जा संरक्षण (Conservation of Energy)

विस्तृत हल:

ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ΔQ = dU + dW दर्शाता है कि निकाय को दी गई ऊष्मा ऊर्जा (ΔQ) उसकी आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि (dU) और निकाय द्वारा किए गए कार्य (dW) के योग के बराबर होती है। यह पूरी तरह से **ऊर्जा संरक्षण के नियम** का ही रूप है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: (D) तृतीय नियम (Third Law)

विस्तृत हल:

ऊष्मागतिकी का तृतीय नियम (नर्नस्ट का प्रमेय) यह बताता है कि जैसे-जैसे किसी निकाय का ताप परम शून्य (T → 0 K) की ओर पहुँचता है, उसकी एंट्रॉपी S एक नियत मान की ओर प्रवृत्त होती है। शुद्ध क्रिस्टलीय ठोसों के लिए T = 0 K पर एंट्रॉपी शून्य (S = 0) होती है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: (B) (3/2) k_B T

विस्तृत हल:

ऊर्जा के सम-विभाजन सिद्धांत के अनुसार प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि (per degree of freedom) से संबद्ध औसत तापीय ऊर्जा (1/2) k_B T होती है।

एक-परमाणुक आदर्श गैस के अणु के पास केवल 3 स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटियाँ (3 translational degrees of freedom) होती हैं।

अतः प्रति अणु औसत ऊर्जा = 3 × (1/2) k_B T = (3/2) k_B T।

Q10 Solution:

सही उत्तर: (C) μ = 0

विस्तृत हल:

फोटॉन गैस में कणों (फोटॉन्स) की कुल संख्या N निश्चित या संरक्षित नहीं होती है, क्योंकि फोटॉन निकाय की दीवारों द्वारा लगातार उत्सर्जित और अवोषित होते रहते हैं।

रासायनिक विभव μ = (∂F / ∂N)_(T, V) होता है। साम्यावस्था में मुक्त ऊर्जा F को N के सापेक्ष न्यूनतम करने पर (∂F / ∂N = 0) रासायनिक विभव μ = 0 प्राप्त होता है।

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 4 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. ऊष्मागतिकी के किस नियम (Law of Thermodynamics) को “तापमान की अवधारणा” (Concept of Temperature) को परिभाषित करने के लिए जाना जाता है?

(A) प्रथम नियम
(B) द्वितीय नियम
(C) शून्यवाँ नियम
(D) तृतीय नियम

प्रश्न 2. एक कारनो इंजन 600 K के स्रोत से ऊष्मा लेता है और 300 K के सिंक को ऊष्मा निष्कासित करता है। इस इंजन की अधिकतम दक्षता (Efficiency, η) कितनी होगी?

(A) 25%
(B) 50%
(C) 75%
(D) 100%

प्रश्न 3. रुद्धोष्म प्रक्रम (Adiabatic Process) के दौरान निकाय (System) और परिवेश के बीच स्थानांतरित ऊष्मा (ΔQ) का मान कितना होता है?

(A) ΔQ > 0
(B) ΔQ < 0
(C) ΔQ = 0
(D) ΔQ = ΔW

प्रश्न 4. मैक्सवेल के ऊष्मागतिकीय संबंधों में से (∂T/∂V)ₛ किसके बराबर होता है?

(A) (∂P/∂S)ᵥ
(B) -(∂P/∂S)ᵥ
(C) (∂V/∂T)ₚ
(D) -(∂S/∂P)ₜ

प्रश्न 5. क्लासियस-क्लेपेरॉन समीकरण (Clausius-Clapeyron Equation), जो प्रथम क्रम के प्रावस्था परिवर्तन को दर्शाती है, का सही रूप क्या है?

(A) dP/dT = L / [T(V₂ – V₁)]
(B) dP/dT = T / [L(V₂ – V₁)]
(C) dP/dT = L(V₂ – V₁) / T
(D) dP/dT = L / (V₂ – V₁)

प्रश्न 6. मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान सांख्यिकी (Maxwell-Boltzmann Statistics) किन कणों पर लागू होती है?

(A) समरूप और विभेद्य कण (Identical and Distinguishable Particles)
(B) समरूप और अविभेद्य कण (Spin ½)
(C) समरूप और अविभेद्य कण (Integer Spin)
(D) केवल फोटॉन पर

प्रश्न 7. फर्मी-डिरैक सांख्यिकी का पालन करने वाले कणों (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए एक सूक्ष्मअवस्था (Microstate) में अधिकतम कितने कण रह सकते हैं?

(A) कोई सीमा नहीं
(B) केवल 1 कण (पाउली अपवर्जन नियम के अनुसार)
(C) केवल 2 कण
(D) N कण

प्रश्न 8. बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी निम्नलिखित में से किस कण समूह पर लागू होती है?

(A) इलेक्ट्रॉन्स
(B) प्रोटॉन्स
(C) फोटॉन्स एवं पॉज़िट्रॉन्स
(D) फोटॉन्स एवं मेसॉन्स (पूर्णांक स्पिन वाले बोसॉन्स)

प्रश्न 9. परम शून्य ताप (T = 0 K) पर किसी शुद्ध क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रापी (S) का मान क्या होता है?

(A) अनंत (∞)
(B) शून्य (0)
(C) ऋणात्मक
(D) k₈ ln 2

प्रश्न 10. एकपरमाणुक आदर्श गैस (Monatomic Ideal Gas) के लिए स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा (Cᵥ) का मान क्या होता है?

(A) (1/2) R
(B) (3/2) R
(C) (5/2) R
(D) 3 R

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 4 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (C) शून्यवाँ नियम (Zeroth Law)
व्याख्या: ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम कहता है कि यदि दो निकाय किसी तीसरे निकाय के साथ तापीय साम्यावस्था में हैं, तो वे आपस में भी तापीय साम्यावस्था में होंगे। यह नियम ‘तापमान’ की अवधारणा का आधार है।

2. उत्तर: (B) 50%
व्याख्या: कारनो इंजन की दक्षता η = 1 – (T₂ / T₁) होती है। यहाँ T₁ = 600 K और T₂ = 300 K है। η = 1 – (300 / 600) = 1 – 0.5 = 0.5 या 50%।

3. उत्तर: (C) ΔQ = 0
व्याख्या: रुद्धोष्म प्रक्रम वह प्रक्रम है जिसमें निकाय और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता, अर्थात् ΔQ = 0।

4. उत्तर: (B) -(∂P/∂S)ᵥ
व्याख्या: आन्तरिक ऊर्जा समीकरण dU = T dS – P dV से प्राप्त प्रथम मैक्सवेल संबंध के अनुसार, (∂T/∂V)ₛ = -(∂P/∂S)ᵥ होता है।

5. उत्तर: (A) dP/dT = L / [T(V₂ – V₁)]
व्याख्या: क्लासियस-क्लेपेरॉन समीकरण प्रावस्था परिवर्तन (Phase Transition) के दौरान दाब और ताप के परिवर्तन की दर को गुप्त ऊष्मा (L) और आयतन परिवर्तन (ΔV) के पदों में दर्शाती है।

6. उत्तर: (A) समरूप और विभेद्य कण
व्याख्या: क्लासिकल सांख्यिकी (Maxwell-Boltzmann) उन कणों पर लागू होती है जो समरूप तो होते हैं परंतु आपस में पृथक/विभेद्य (Distinguishable) पहचाने जा सकते हैं।

7. उत्तर: (B) केवल 1 कण
व्याख्या: फर्मी-डिरैक सांख्यिकी पाउली अपवर्जन नियम का पालन करती है, जिसके अनुसार एक ही क्वांटम अवस्था में 1 से अधिक फर्मिऑन नहीं रह सकते।

8. उत्तर: (D) फोटॉन्स एवं मेसॉन्स (पूर्णांक स्पिन वाले बोसॉन्स)
व्याख्या: बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी पूर्णांक स्पिन (0, 1, 2…) वाले अविभेद्य कणों (Bosons) पर लागू होती है, जैसे फोटॉन, मेसॉन और अल्फा कण।

9. उत्तर: (B) शून्य (0)
व्याख्या: ऊष्मागतिकी का तृतीय नियम (Nernst Heat Theorem) कहता है कि परम शून्य ताप (0 K) पर किसी शुद्ध क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रापी शून्य हो जाती है।

10. उत्तर: (B) (3/2) R
व्याख्या: एकपरमाणुक गैस के पास केवल 3 स्थानांतरी स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of freedom, f=3) होती है। Cᵥ = (f/2) R = (3/2) R।

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 5 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. एक कारनो इंजन जो 400 K और 300 K के बीच कार्य कर रहा है, उसकी दक्षता (Efficiency, η) क्या होगी?

(A) 25%
(B) 33.3%
(C) 50%
(D) 75%

प्रश्न 2. समतापी प्रक्रम (Isothermal Process) में किसी आदर्श गैस की आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन (ΔU) कितना होता है?

(A) ΔU > 0
(B) ΔU < 0
(C) ΔU = 0
(D) ΔU = Cᵥ ΔT

प्रश्न 3. एन्थैल्पी (Enthalpy, H) का सही ऊष्मागतिकीय व्यंजक क्या है?

(A) H = U – PV
(B) H = U + PV
(C) H = F + TS
(D) H = G – TS

प्रश्न 4. मैक्सवेल के ऊष्मागतिकीय संबंधों में से (∂S/∂P)ₜ किसके बराबर होता है?

(A) (∂V/∂T)ₚ
(B) -(∂V/∂T)ₚ
(C) (∂P/∂T)ᵥ
(D) -(∂P/∂T)ᵥ

प्रश्न 5. हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा (Helmholtz Free Energy, F) को किस रूप में परिभाषित किया जाता है?

(A) F = U – TS
(B) F = H – TS
(C) F = U + PV
(D) F = U + TS

प्रश्न 6. फर्मी ऊर्जा (Fermi Energy, E_F) परम शून्य ताप (T = 0 K) पर इलेक्ट्रॉनों द्वारा ग्रहण की जाने वाली किस ऊर्जा को दर्शाती है?

(A) न्यूनतम ऊर्जा
(B) औसत ऊर्जा
(C) अधिकतम ऊर्जा
(D) शून्य ऊर्जा

प्रश्न 7. फोटॉन गैस (Photon Gas) के लिए रासायनिक विभव (Chemical Potential, μ) का मान कितना होता है?

(A) μ > 0
(B) μ < 0
(C) μ = 0
(D) μ = k_B T

प्रश्न 8. किसी गैस अणु का माध्य मुक्त पथ (Mean Free Path, λ) गैस के घनत्व (n) और आणविक व्यास (d) पर किस प्रकार निर्भर करता है?

(A) λ = 1 / (√2 π n d²)
(B) λ = √2 π n d²
(C) λ = 1 / (π n d)
(D) λ = n / (√2 π d²)

प्रश्न 9. फर्मी-डिरैक वितरण फलन f(E) = 1 / [e^((E – E_F)/k_B T) + 1] में E = E_F पर किसी ऊर्जा स्तर के भरे होने की प्रायिकता कितनी होती है?

(A) 0
(B) 1/2
(C) 1
(D) अनिश्चित

प्रश्न 10. द्विपरमाणुक आदर्श गैस (Diatomic Ideal Gas) के लिए कमरे के ताप पर स्वतंत्रता की कोटियाँ (Degrees of Freedom) कितनी होती हैं?

(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 7

Thermodynamics & Statistical Physics – Practice Set 5 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (A) 25%
व्याख्या: कारनो इंजन की दक्षता η = 1 – (T₂ / T₁) होती है। यहाँ T₁ = 400 K और T₂ = 300 K है। η = 1 – (300 / 400) = 1 – 0.75 = 0.25 या 25%।

2. उत्तर: (C) ΔU = 0
व्याख्या: समतापी प्रक्रम में ताप नियत रहता है (ΔT = 0)। चूकी आदर्श गैस की आन्तरिक ऊर्जा केवल ताप पर निर्भर करती है, इसलिए ΔU = 0 होगा।

3. उत्तर: (B) H = U + PV
व्याख्या: एन्थैल्पी (Enthalpy) निकाय की कुल ऊष्मा सामग्री को दर्शाती है, जिसे H = U + PV के रूप में परिभाषित किया जाता है।

4. उत्तर: (B) -(∂V/∂T)ₚ
व्याख्या: गिब्स मुक्त ऊर्जा dG = V dP – S dT से प्राप्त चौथे मैक्सवेल संबंध के अनुसार, (∂S/∂P)ₜ = -(∂V/∂T)ₚ होता है।

5. उत्तर: (A) F = U – TS
व्याख्या: हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा F = U – TS द्वारा दी जाती है, जो स्थिर आयतन और ताप पर निकाय के कार्य करने की क्षमता दर्शाती है।

6. उत्तर: (C) अधिकतम ऊर्जा
व्याख्या: T = 0 K पर इलेक्ट्रॉन न्यूनतम ऊर्जा स्तरों को भरना शुरू करते हैं और जिस उच्चतम ऊर्जा स्तर तक पहुँचते हैं, उसे फर्मी ऊर्जा (E_F) कहते हैं।

7. उत्तर: (C) μ = 0
व्याख्या: फोटॉन गैस में फोटॉनों का अवशोषण या उत्सर्जन स्वतः होता है (कणों की संख्या निश्चित नहीं रहती), अतः फोटॉन गैस के लिए रासायनिक विभव μ = 0 होता है।

8. उत्तर: (A) λ = 1 / (√2 π n d²)
व्याख्या: क्लॉसियस और मैक्सवेल के अनुसार दो क्रमिक टक्करों के बीच की औसत दूरी λ = 1 / (√2 π n d²) होती है।

9. उत्तर: (B) 1/2
व्याख्या: E = E_F रखने पर घातांक e^0 = 1 हो जाता है। अतः f(E_F) = 1 / (1 + 1) = 1/2 (अर्थात् 50% प्रायिकता होती है)।

10. उत्तर: (B) 5
व्याख्या: द्विपरमाणुक गैसों में कमरे के ताप पर 3 स्थानांतरी (Translational) और 2 घूर्णी (Rotational) स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, कुल f = 5।