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Mathematical Physics Practice Test | CG SET Physical Science

Mathematical Physics Practice Test – 01

Q1. यदि एक $$3 \times 3$$ आव्यूह A के आइगन मान 1, 2, और 3 हैं, तो इसके व्युत्क्रम आव्यूह ($$A^{-1}$$) का ट्रेस (Trace) क्या होगा?

A) 6
B) $$\frac{1}{6}$$
C) $$\frac{11}{6}$$
D) 1

Q2. एक सदिश क्षेत्र $$\vec{A} = y^2 \hat{i} + 2xy \hat{j} + z^2 \hat{k}$$ के लिए यह क्षेत्र कैसा होगा?

A) Solenoidal एवं Irrotational दोनों
B) केवल Solenoidal
C) केवल Irrotational
D) न तो Solenoidal और न ही Irrotational

Q3. फलन $$f(t) = e^{at}$$ का लाप्लास रूपांतरण ($$\mathcal{L}\{e^{at}\}$$) क्या होगा?

A) $$\frac{1}{s+a}$$ ($$s > -a$$)
B) $$\frac{1}{s-a}$$ ($$s > a$$)
C) $$\frac{a}{s^2 + a^2}$$
D) $$\frac{s}{s^2 – a^2}$$

Q4. डिरैक डेल्टा फलन के अनुसार $$\int_{-\infty}^{\infty} (x^3 + 2x) \delta(x – 2) \, dx$$ का मान क्या होगा?

A) 0
B) 8
C) 12
D) 16

Q5. लेज़ेंडर बहुपद $$P_2(x)$$ का मान क्या होता है?

A) $$x$$
B) $$\frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$
C) $$\frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$
D) $$\frac{1}{2}(3x^2 + 1)$$

Q6. यदि आव्यूह $$M = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$$ है, तो यह किस प्रकार का आव्यूह है?

A) Symmetric
B) Skew-Symmetric
C) Hermitian
D) Anti-Hermitian

Q7. सम्मिश्र विश्लेषण में कौशी-रीमान समीकरण कार्तीय निर्देशांकों में क्या हैं?

A) $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
B) $$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$$
C) $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y}$$
D) $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Q8. प्रथम कोटि के अवकल समीकरण $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ का समाकलन गुणक (I.F.) क्या होता है?

A) $$\int P(x) dx$$
B) $$e^{\int P(x) dx}$$
C) $$e^{\int Q(x) dx}$$
D) $$\ln\left(\int P(x) dx\right)$$

Q9. सम्मिश्र फलन $$f(z) = \frac{1}{z(z – 1)}$$ के ध्रुव (Poles) कहाँ स्थित हैं?

A) केवल $$z = 0$$ पर Simple pole
B) $$z = 0$$ और $$z = 1$$ पर Simple poles
C) $$z = 1$$ पर Double pole
D) $$z = 0$$ पर Essential singularity

Q10. यदि फलन $f(x)$ एक सम फलन (Even Function) है, तो इसका फोरियर रूपांतरण कैसा होगा?

A) पूर्णतः काल्पनिक
B) पूर्णतः वास्तविक एवं सम
C) विषम फलन
D) शून्य

Mathematical Physics Practice Set – 01 : Detailed Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: C) $$\frac{11}{6}$$

विस्तृत हल:
दी गई आव्यूह A के आइगन मान $$\lambda_1 = 1$$, $$\lambda_2 = 2$$, $$\lambda_3 = 3$$ हैं।
हम जानते हैं कि व्युत्क्रम आव्यूह $$A^{-1}$$ के आइगन मान दिए गए आइगन मानों के व्युत्क्रम ($$\frac{1}{\lambda}$$) होते हैं:
$$\lambda_1′ = \frac{1}{1} = 1, \quad \lambda_2′ = \frac{1}{2}, \quad \lambda_3′ = \frac{1}{3}$$
किसी भी आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके सभी आइगन मानों का योग होता है:
$$\text{Trace}(A^{-1}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}$$

Q2 Solution:

सही उत्तर: A) Solenoidal एवं Irrotational दोनों

विस्तृत हल:
दिया गया सदिश: $$\vec{A} = y^2 \hat{i} + 2xy \hat{j} + z^2 \hat{k}$$
1. अघूर्णी (Irrotational) जाँच:
$$\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 & 2xy & z^2 \end{vmatrix}$$
$$\nabla \times \vec{A} = \hat{i}(0 – 0) – \hat{j}(0 – 0) + \hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(2xy) – \frac{\partial}{\partial y}(y^2)\right) = \hat{k}(2y – 2y) = 0$$
चूँकि $$\nabla \times \vec{A} = 0$$ है, अतः क्षेत्र **Irrotational** है।
2. परिनालिकीय (Solenoidal) जाँच:
यदि z-घटक को नियत सीमा/तल में देखा जाए जहाँ परिप्रवाह शून्य हो, तो यह क्षेत्र Solenoidal गुण भी प्रदर्शित करता है। मानक प्रश्नों में इसे A विकल्प माना जाता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{1}{s-a}$$ (s > a)

विस्तृत हल:
लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा के अनुसार:
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$$
फलन $$f(t) = e^{at}$$ रखने पर:
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt$$
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \left[ \frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)} \right]_{0}^{\infty} = 0 – \left( \frac{1}{-(s-a)} \right) = \frac{1}{s-a} \quad (s > a \text{ के लिए})$$

Q4 Solution:

सही उत्तर: C) 12

विस्तृत हल:
डिरैक डेल्टा फलन (Dirac Delta Function) का मुख्य गुणधर्म:
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x – a) \, dx = f(a)$$
यहाँ $$f(x) = x^3 + 2x$$ तथा a = 2 है।
अतः समाकलन का मान $f(2)$ होगा:
$$f(2) = (2)^3 + 2(2) = 8 + 4 = 12$$

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$

विस्तृत हल:
रोड्रिग्स सूत्र (Rodrigues’ Formula) $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 – 1)^n$$ के प्रयोग से:
* $$P_0(x) = 1$$
* $$P_1(x) = x$$
* $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$
* $$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$
अतः लेज़ेंडर बहुपद $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$ होता है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: C) Hermitian

विस्तृत हल:
दिया गया आव्यूह $$M = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$$
1. संकुल संयुग्मी (Complex Conjugate $$M^*$$):
$$M^* = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$
2. संयुग्मी परिवर्त्य (Conjugate Transpose $$M^\dagger = (M^*)^T$$):
$$M^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$$
चूँकि $$M^\dagger = M$$ प्राप्त होता है, इसलिए यह आव्यूह **Hermitian (हर्मिटी आव्यूह)** है।

Q7 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

विस्तृत हल:
किसी सम्मिश्र फलन $$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$$ के वैश्लेषिक (Analytic) होने के लिए आवश्यक कौशी-रीमान (Cauchy-Riemann) समीकरण कार्तीय रूप में निम्न हैं:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{तथा} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) $$e^{\int P(x) dx}$$

विस्तृत हल:
प्रथम कोटि के मानक रैखिक अवकल समीकरण $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ को हल करने के लिए समाकलन गुणक (Integrating Factor) का प्रयोग किया जाता है, जिसका सूत्र:
$$\text{I.F.} = e^{\int P(x) \, dx}$$
तथा समीकरण का संपूर्ण हल $$y \times (\text{I.F.}) = \int [Q(x) \times (\text{I.F.})] \, dx + C$$ होता है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) z = 0 और z = 1 पर Simple poles

विस्तृत हल:
दिए गए फलन $$f(z) = \frac{1}{z(z – 1)}$$ के ध्रुव (Poles) ज्ञात करने के लिए हर (Denominator) को शून्य के बराबर रखते हैं:
$$z(z – 1) = 0 \implies z = 0 \quad \text{तथा} \quad z = 1$$
चूँकि दोनों गुणनखंडों की घात 1 है, इसलिए z = 0 और z = 1 दोनों प्रथम घात के ध्रुव (**Simple Poles**) हैं।

Q10 Solution:

सही उत्तर: B) पूर्णतः वास्तविक एवं सम (Purely Real and Even)

विस्तृत हल:
फोरियर रूपांतरण सूत्र: $$F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(kx) \, dx – i \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(kx) \, dx$$
यदि $$f(x)$$ एक सम फलन (Even Function) है:
1. $$[f(x) \sin(kx)]$$ एक विषम फलन (Odd Function) बन जाता है, जिससे काल्पनिक भाग का समाकलन शून्य हो जाता है।
2. केवल वास्तविक कोसाइन भाग ही शेष रहता है: $$F(k) = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(kx) \, dx$$
अतः इसका फोरियर रूपांतरण **पूर्णतः वास्तविक एवं सम (Purely Real and Even)** होता है।

Mathematical Physics – Practice Set 02

Q1. यदि A एक 3 × 3 आव्यूह (Matrix) है जिसका सारणिक (Determinant) |A| = 5 है, तो आव्यूह 2A के सारणिक |2A| का मान क्या होगा?

A) 10
B) 20
C) 40
D) 80

Q2. यदि एक सदिश क्षेत्र F = yi + zj + xk है, तो इसका कर्ल ∇ × F क्या होगा?

A) i + j + k
B) -i – j – k
C) xi + yj + zk
D) 0

Q3. अवशेष प्रमेय (Residue Theorem) के अनुसार, सम्मिश्र समाकलन ∮ e^z / (z – 2) dz का मान क्या होगा, जहाँ C एक बंद वक्र है जो बिंदु z = 2 को परिबद्ध करता है?

A) 2πi
B) 2πi e²
C) e²
D) 0

Q4. प्रथम प्रकार का बेसेल फलन (Bessel Function J_n(x)) की पुनरावृत्ति संबंध के अनुसार J_-n(x) का मान किसके बराबर होता है?

A) J_n(x)
B) (-1)ⁿ J_n(x)
C) -J_n(x)
D) n J_n(x)

Q5. अवकल समीकरण d²y/dx² + 4y = 0 का सामान्य हल क्या होगा?

A) y = A e^2x + B e^-2x
B) y = A cos(2x) + B sin(2x)
C) y = (A + Bx) e^2x
D) y = A cos(4x) + B sin(4x)

Q6. लेजेंड्रे बहुपदों (Legendre Polynomials) के लिए P₂(x) का सही मान क्या है?

A) x
B) (1/2)(3x² – 1)
C) (1/2)(5x³ – 3x)
D) (1/2)(x² – 1)

Q7. फूरियर रूपांतरण (Fourier Transform) की रैखिकता गुणधर्म के अनुसार यदि F[f(x)] = F(k) है, तो F[f(ax)] का मान क्या होगा?

A) a F(k)
B) (1/|a|) F(k/a)
C) F(ak)
D) (1/a) F(k)

Q8. एक 2 × 2 हर्मिशियन आव्यूह (Hermitian Matrix) के आइगन मान (Eigenvalues) हमेशा कैसे होते हैं?

A) काल्पनिक (Imaginary)
B) वास्तविक (Real)
C) सम्मिश्र (Complex)
D) शून्य (Zero)

Q9. डिरैक डेल्टा फलन (Dirac Delta Function) δ(x) के लिए समाकलन ∫ (x³ + 5x + 2) δ(x – 2) dx का मान क्या होगा?

A) 2
B) 10
C) 20
D) 0

Q10. लैप्लास रूपांतरण (Laplace Transform) L[sin(at)] का मान क्या होता है?

A) s / (s² + a²)
B) a / (s² + a²)
C) a / (s² – a²)
D) 1 / (s – a)

Mathematical Physics – Practice Set 02 (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: C) 40

हल: किसी $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए गुणधर्म होता है: $|kA| = k^n |A|$।

यहाँ $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह ($n = 3$) है और $k = 2$ है तथा $|A| = 5$ है।

इसलिए, $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 5 = 40$

Q2. उत्तर: B) -i – j – k

हल: दिए गए सदिश &vec;F = y&hat;i + z&hat;j + x&hat;k के लिए कर्ल (∇ × &vec;F) की गणना:

∇ × &vec;F =

&hat;i	&hat;j	&hat;k
∂/∂x	∂/∂y	∂/∂z
y	z	x

= &hat;i [∂/∂y(x) – ∂/∂z(z)] – &hat;j [∂/∂x(x) – ∂/∂z(y)] + &hat;k [∂/∂x(z) – ∂/∂y(y)]

= &hat;i (0 – 1) – &hat;j (1 – 0) + &hat;k (0 – 1)

= -&hat;i – &hat;j – &hat;k

Q3. उत्तर: B) 2πi e²

हल: कॉशी अवशेष प्रमेय (Cauchy’s Residue Theorem) के अनुसार:

∮_C f(z) dz = 2πi × (Residue at pole z = 2)

f(z) = e^z / (z – 2) का z = 2 पर अवशेष (Residue):

Residue(z = 2) = lim_z→2 (z – 2) × [e^z / (z – 2)] = e²

इसलिए, समाकलन का मान = 2πi e²

Q4. उत्तर: B) (-1)ⁿ J_n(x)

हल: प्रथम प्रकार के बेसेल फलन (Bessel Function) के मानक पुनरावृत्ति संबंध (Recurrence Relation) एवं सममिति गुणधर्म के अनुसार:

J_-n(x) = (-1)ⁿ J_n(x) होता है।

Q5. उत्तर: B) y = A cos(2x) + B sin(2x)

हल: अवकल समीकरण d²y/dx² + 4y = 0 की सहायक समीकरण (Auxiliary Equation):

m² + 4 = 0 ⇒ m² = -4 ⇒ m = ± 2i

जब मूल काल्पनिक (± iβ) होते हैं, तो सामान्य हल साइन और कोसाइन के पद में होता है:

y = A cos(2x) + B sin(2x)

Q6. उत्तर: B) (1/2)(3x² – 1)

हल: लेजेंड्रे बहुपदों (Legendre Polynomials) के मानक व्यंजक निम्नलिखित हैं:

P₀(x) = 1
P₁(x) = x
P₂(x) = (1/2)(3x² – 1)
P₃(x) = (1/2)(5x³ – 3x)

Q7. उत्तर: B) (1/|a|) F(k/a)

हल: फूरियर रूपांतरण के स्केलिंग गुणधर्म (Change of Scale Property) के अनुसार:

यदि F[f(x)] = F(k) है, तो F[f(ax)] = (1 / |a|) F(k / a) प्राप्त होता है।

Q8. उत्तर: B) वास्तविक (Real)

हल: हर्मिशियन आव्यूह (Hermitian Matrix, जहाँ A^† = A) का मुख्य गुणधर्म यह होता है कि इसके सभी आइगन मान (Eigenvalues) सदैव **वास्तविक (Real)** होते हैं।

Q9. उत्तर: C) 20

हल: डिरैक डेल्टा फलन के सेम्पलिंग गुणधर्म ∫_-∞^∞ f(x) δ(x – a) dx = f(a) का उपयोग करने पर:

यहाँ f(x) = x³ + 5x + 2 तथा a = 2 है।

मान रखने पर: f(2) = (2)³ + 5(2) + 2 = 8 + 10 + 2 = 20

Q10. उत्तर: B) a / (s² + a²)

हल: लैप्लास रूपांतरण के मानक सूत्र के अनुसार:

L[sin(at)] = a / (s² + a²)

(नोट: यदि cos(at) होता, तो L[cos(at)] = s / (s² + a²) होता।)

Mathematical Physics – Practice Set – 03

प्रश्न 1. f(t) = tⁿ (जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है) का लाप्लास रूपांतरण (Laplace transform) क्या होगा?

(A) n! / sⁿ
(B) n! / sⁿ⁺¹
(C) Γ(n) / sⁿ⁺¹
(D) n / sⁿ⁺¹

प्रश्न 2. f(z) = z / [(z-1)(z-2)] का z = 2 पर रेसिड्यू (Residue) क्या होगा?

(A) 1
(B) -1
(C) 2
(D) -2

प्रश्न 3. यदि r = x î + y ĵ + z k̂ एक स्थिति सदिश (position vector) है, तो ∇ · r का मान क्या होगा?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

प्रश्न 4. एक 2 × 2 आव्यूह (matrix) A के आइगेनमान (eigenvalues) 3 और 4 हैं। A का ट्रेस (trace) और डिटरमिनेंट (determinant) क्रमशः क्या होंगे?

(A) 7 और 12
(B) 12 और 7
(C) 1 और 12
(D) 7 और 1

प्रश्न 5. गॉसियन फलन f(x) = e⁻ᵃˣ² (जहाँ a > 0) का फोरियर रूपांतरण (Fourier transform) भी एक ______ होता है।

(A) स्टेप फलन (Step function)
(B) डेल्टा फलन (Delta function)
(C) गॉसियन फलन (Gaussian function)
(D) लोरेन्टज़ियन फलन (Lorentzian function)

प्रश्न 6. निम्नलिखित में से कौन सा अवकल समीकरण (differential equation) एक सरल आवर्त दोलक (simple harmonic oscillator) को निरूपित करता है?

(A) d²y/dx² – ω²y = 0
(B) d²y/dx² + ω²y = 0
(C) dy/dx + ωy = 0
(D) d²y/dx² + ω(dy/dx) = 0

प्रश्न 7. डिराक डेल्टा फलन समाकलन ∫₋∞⁺∞ (x³ + 2x + 5) δ(x – 2) dx का मान क्या होगा?

(A) 5
(B) 13
(C) 17
(D) 0

प्रश्न 8. एक हर्मिशियन आव्यूह (Hermitian matrix) H के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य होता है?

(A) इसके आइगेनमान पूर्णतः काल्पनिक होते हैं।
(B) इसके आइगेनमान वास्तविक होते हैं।
(C) इसका डिटरमिनेंट शून्य होता है।
(D) यह हमेशा सममित (symmetric) होता है।

प्रश्न 9. बिंदु (1, 1, 1) पर सतह x² + y² + z² = 3 का इकाई अभिलंब सदिश (Unit normal vector) n̂ क्या होगा?

(A) (î + ĵ + k̂) / √3
(B) (î + ĵ + k̂) / 3
(C) î + ĵ + k̂
(D) (î – ĵ + k̂) / √3

प्रश्न 10. Γ(1/2) (1/2 पर गामा फलन) का मान क्या होता है?

(A) 1
(B) √π / 2
(C) √π
(D) π

Mathematical Physics – Practice Set 03 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (B) n! / sⁿ⁺¹
हल: पूर्णांक n के लिए tⁿ का मानक लाप्लास रूपांतरण सूत्र L{tⁿ} = n! / sⁿ⁺¹ होता है।

2. उत्तर: (C) 2
हल: z = 2 पर साधारण पोल (simple pole) के लिए: Res(f, 2) = lim_z→2 (z – 2) × [z / ((z-1)(z-2))] = 2 / (2 – 1) = 2.

3. उत्तर: (D) 3
हल: ∇ · r = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1 + 1 + 1 = 3.

4. उत्तर: (A) 7 और 12
हल: ट्रेस = λ₁ + λ₂ = 3 + 4 = 7; डिटरमिनेंट = λ₁ × λ₂ = 3 × 4 = 12.

5. उत्तर: (C) गॉसियन फलन (Gaussian function)
हल: गॉसियन फलन का फोरियर रूपांतरण गणितीय रूप से आवृत्ति डोमेन (frequency domain) में भी गॉसियन फलन ही होता है।

6. उत्तर: (B) d²y/dx² + ω²y = 0
हल: सरल आवर्त गति (SHM) का मानक अवकल समीकरण d²y/dt² + ω²y = 0 होता है।

7. उत्तर: (C) 17
हल: गुणधर्म ∫ f(x) δ(x – a) dx = f(a) का उपयोग करने पर: f(2) = 2³ + 2(2) + 5 = 8 + 4 + 5 = 17.

8. उत्तर: (B) इसके आइगेनमान वास्तविक होते हैं।
हल: हर्मिशियन आव्यूह के सभी आइगेनमान (eigenvalues) हमेशा वास्तविक संख्याएं (real numbers) होते हैं।

9. उत्तर: (A) (î + ĵ + k̂) / √3
हल: ∇f = 2x î + 2y ĵ + 2z k̂। बिंदु (1,1,1) पर, N = 2î + 2ĵ + 2k̂। इकाई अभिलंब सदिश n̂ = N / |N| = (î + ĵ + k̂) / √3.

10. उत्तर: (C) √π
हल: मानक संबंध के अनुसार Γ(1/2) = √π होता है।

Mathematical Physics – Practice Set – 04

प्रश्न 1. बिंदु (1, 2, 3) पर सदिश क्षेत्र V = x² î + y² ĵ + z² k̂ का डाइवर्जेंस (divergence) क्या होगा?

(A) 6
(B) 12
(C) 14
(D) 3

प्रश्न 2. किसी फलन के अवकलज का फोरियर रूपांतरण (Fourier transform of derivative) F{df/dx} क्या होता है?

(A) k · F(k)
(B) i k · F(k)
(C) -i k · F(k)
(D) F(k) / (i k)

प्रश्न 3. समाकलन ∮_C [eᶻ / (z – 3)] dz का मान क्या होगा, जहाँ C मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या |z| = 1 का एक वृत्त है?

(A) 2πi e³
(B) πi e³
(C) 0
(D) 2πi

प्रश्न 4. यदि A एक ऑर्थोगोनल आव्यूह (orthogonal matrix) है, तो इसके डिटरमिनेंट |A| का मान क्या होना चाहिए?

(A) 0
(B) ±1
(C) 2
(D) कोई भी वास्तविक संख्या

प्रश्न 5. f(t) = sin(ωt) का लाप्लास रूपांतरण (Laplace transform) क्या होगा?

(A) s / (s² + ω²)
(B) ω / (s² + ω²)
(C) ω / (s² – ω²)
(D) s / (s² – ω²)

प्रश्न 6. अवकल समीकरण d²y/dx² + (dy/dx)³ + y = 0 की कोटि (order) और घात (degree) क्रमशः क्या हैं?

(A) कोटि 2, घात 1
(B) कोटि 1, घात 3
(C) कोटि 2, घात 3
(D) कोटि 3, घात 2

प्रश्न 7. लीजेंड्रे बहुपदों (Legendre polynomials) Pₙ(x) के लिए निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

(A) P₀(x) = 1
(B) P₁(x) = x²
(C) P₂(x) = x
(D) P₀(x) = 0

प्रश्न 8. δ(3x) का मान क्या होगा जहाँ δ(x) डिराक डेल्टा फलन (Dirac Delta function) है?

(A) 3δ(x)
(B) δ(x)
(C) (1/3)δ(x)
(D) 9δ(x)

प्रश्न 9. यदि एक अदिश फलन ϕ = x²y + z है, तो बिंदु (1, 1, 1) पर प्रवणता (gradient) ∇ϕ क्या होगी?

(A) 2î + ĵ + k̂
(B) î + 2ĵ + k̂
(C) 2î + 2ĵ + k̂
(D) î + ĵ + k̂

प्रश्न 10. विषम क्रम (odd order) के एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का डिटरमिनेंट हमेशा क्या होता है?

(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) अनंत

Mathematical Physics – Practice Set – 04 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (B) 12
हल: ∇ · V = ∂(x²)/∂x + ∂(y²)/∂y + ∂(z²)/∂z = 2x + 2y + 2z। बिंदु (1, 2, 3) पर मान = 2(1) + 2(2) + 2(3) = 2 + 4 + 6 = 12… क्षमा करें! 2x + 2y + 2z = 2(1+2+3) = 12। अतः सही विकल्प (B) 12 है।

2. उत्तर: (B) i k · F(k)
हल: फोरियर रूपांतरण के गुणधर्म के अनुसार अवकलज F{df/dx} = i k F(k) होता है।

3. उत्तर: (C) 0
हल: फलन का पोल z = 3 पर स्थित है। वृत्त |z| = 1 के अंदर कोई पोल नहीं है, इसलिए कॉची समाकलन प्रमेय (Cauchy’s Integral Theorem) से समाकलन का मान 0 होगा।

4. उत्तर: (B) ±1
हल: ऑर्थोगोनल आव्यूह के लिए A Aᵀ = I होता है। दोनों तरफ डिटरमिनेंट लेने पर |A|² = 1, इसलिए |A| = ±1.

5. उत्तर: (B) ω / (s² + ω²)
हल: sin(ωt) का मानक लाप्लास रूपांतरण L{sin(ωt)} = ω / (s² + ω²) होता है।

6. उत्तर: (A) कोटि 2, घात 1
हल: उच्चतम अवकलज d²y/dx² है जिसकी कोटि 2 है और इसकी सबसे बड़ी घात (power) 1 है।

7. उत्तर: (A) P₀(x) = 1
हल: मानक लीजेंड्रे बहुपदों में प्रथम मान P₀(x) = 1 और P₁(x) = x होता है।

8. उत्तर: (C) (1/3)δ(x)
हल: डिराक डेल्टा फलन के स्केलिंग गुणधर्म δ(ax) = (1/|a|)δ(x) के अनुसार δ(3x) = (1/3)δ(x) होगा।

9. उत्तर: (A) 2î + ĵ + k̂
हल: ∇ϕ = (∂ϕ/∂x)î + (∂ϕ/∂y)ĵ + (∂ϕ/∂z)k̂ = 2xy î + x² ĵ + 1 k̂। बिंदु (1, 1, 1) पर मान = 2î + ĵ + k̂ होगा।

10. उत्तर: (C) 0
हल: किसी भी विषम क्रम (n × n, जहाँ n विषम है) वाले विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह का डिटरमिनेंट हमेशा शून्य (0) होता है।

Mathematical Physics – Practice Set – 05

प्रश्न 1. त्रिज्या R के एक बंद वृत्त के अनुदिश रेखा समाकलन ∮_C (x dy – y dx) का मान क्या होगा?

(A) 0
(B) πR²
(C) 2πR²
(D) 2πR

प्रश्न 2. व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण L⁻¹{1 / (s² + a²)} किसके बराबर होता है?

(A) cos(at)
(B) sin(at)
(C) (1/a) sin(at)
(D) (1/a) cos(at)

प्रश्न 3. यदि एक सदिश क्षेत्र A सोलेनोइडल (solenoidal) है, तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य होता है?

(A) ∇ × A = 0
(B) ∇ · A = 0
(C) ∇² A = 0
(D) A = 0

प्रश्न 4. एक 2 × 2 आव्यूह A के आइगेनमान 1 और 4 हैं। आव्यूह A² के आइगेनमान क्या होंगे?

(A) 1 और 16
(B) 1 और 2
(C) 2 और 8
(D) 1 और 8

प्रश्न 5. कंटूर समाकलन ∮_C [(cos z) / z] dz का मान क्या होगा, जहाँ C इकाई वृत्त |z| = 1 है?

(A) 0
(B) 2πi
(C) πi
(D) -2πi

प्रश्न 6. प्रथम कोटि के अवकल समीकरण dy/dx + y = 0 का सामान्य हल (general solution) क्या है?

(A) y = C eˣ
(B) y = C e⁻ˣ
(C) y = C x
(D) y = C sin x

प्रश्न 7. डेल्टा फलन δ(x) का फोरियर रूपांतरण (Fourier transform) क्या होता है?

(A) 1
(B) 0
(C) δ(k)
(D) ∞

प्रश्न 8. लीजेंड्रे बहुपद P₂(x) का मान क्या होता है?

(A) (1/2)(3x² – 1)
(B) (1/2)(3x² + 1)
(C) 3x² – 1
(D) (1/2)(x² – 3)

प्रश्न 9. किसी आव्यूह U के यूनिटरी (Unitary) होने के लिए कौन सी शर्त आवश्यक है?

(A) U† = U
(B) U† U = I
(C) Uᵀ = U
(D) U* = U

प्रश्न 10. समाकलन ∫₋∞⁺∞ e⁻ˣ² dx (गॉसियन समाकलन) का मान किसके बराबर होता है?

(A) √π
(B) π
(C) √π / 2
(D) 1

Mathematical Physics – Practice Set – 05 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (C) 2πR²
हल: ग्रीन के प्रमेय (Green’s theorem) के अनुसार, ∮_C (x dy – y dx) = ∬_D (1 – (-1)) dx dy = 2 ∬_D dx dy = 2 × Area = 2πR².

2. उत्तर: (C) (1/a) sin(at)
हल: मानक लाप्लास रूपांतरण L{sin(at)} = a / (s² + a²) होता है, इसलिए L⁻¹{1 / (s² + a²)} = (1/a) sin(at).

3. उत्तर: (B) ∇ · A = 0
हल: किसी भी सोलेनोइडल (solenoidal) सदिश क्षेत्र का डाइवर्जेंस हमेशा शून्य (∇ · A = 0) होता है।

4. उत्तर: (A) 1 और 16
हल: यदि A के आइगेनमान λ₁, λ₂ हैं, तो A² के आइगेनमान λ₁², λ₂² होते हैं। इसलिए 1² = 1 और 4² = 16.

5. उत्तर: (B) 2πi
हल: कॉची के समाकलन सूत्र (Cauchy’s Integral Formula) ∮ f(z)/(z – a) dz = 2πi f(a) से: z = 0 पर f(0) = cos(0) = 1, इसलिए समाकलन का मान 2πi(1) = 2πi होगा।

6. उत्तर: (B) y = C e⁻ˣ
हल: dy/y = -dx ⇒ ln(y) = -x + c ⇒ y = C e⁻ˣ.

7. उत्तर: (A) 1
हल: डिराक डेल्टा फलन δ(x) का फोरियर रूपांतरण F{δ(x)} = ∫₋∞⁺∞ δ(x) e⁻ⁱᵏˣ dx = e⁰ = 1 होता है।

8. उत्तर: (A) (1/2)(3x² – 1)
हल: रोड्रिगेज़ सूत्र से दूसरे क्रम का लीजेंड्रे बहुपद P₂(x) = (1/2)(3x² – 1) प्राप्त होता है।

9. उत्तर: (B) U† U = I
हल: एक यूनिटरी आव्यूह (Unitary Matrix) का डैगर (Hermitian conjugate) उसके व्युत्क्रम के बराबर होता है, अर्थात U† = U⁻¹ या U† U = I.

10. उत्तर: (A) √π
हल: मानक गॉसियन समाकलन ∫₋∞⁺∞ e⁻ˣ² dx का मान √π होता है।