Q1 Solution:

सही उत्तर: C) $$\frac{11}{6}$$

विस्तृत हल:
दी गई आव्यूह A के आइगन मान $$\lambda_1 = 1$$, $$\lambda_2 = 2$$, $$\lambda_3 = 3$$ हैं।
हम जानते हैं कि व्युत्क्रम आव्यूह $$A^{-1}$$ के आइगन मान दिए गए आइगन मानों के व्युत्क्रम ($$\frac{1}{\lambda}$$) होते हैं:
$$\lambda_1′ = \frac{1}{1} = 1, \quad \lambda_2′ = \frac{1}{2}, \quad \lambda_3′ = \frac{1}{3}$$
किसी भी आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके सभी आइगन मानों का योग होता है:
$$\text{Trace}(A^{-1}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}$$

Q2 Solution:

सही उत्तर: A) Solenoidal एवं Irrotational दोनों

विस्तृत हल:
दिया गया सदिश: $$\vec{A} = y^2 \hat{i} + 2xy \hat{j} + z^2 \hat{k}$$
1. अघूर्णी (Irrotational) जाँच:
$$\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 & 2xy & z^2 \end{vmatrix}$$
$$\nabla \times \vec{A} = \hat{i}(0 – 0) – \hat{j}(0 – 0) + \hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(2xy) – \frac{\partial}{\partial y}(y^2)\right) = \hat{k}(2y – 2y) = 0$$
चूँकि $$\nabla \times \vec{A} = 0$$ है, अतः क्षेत्र **Irrotational** है।
2. परिनालिकीय (Solenoidal) जाँच:
यदि z-घटक को नियत सीमा/तल में देखा जाए जहाँ परिप्रवाह शून्य हो, तो यह क्षेत्र Solenoidal गुण भी प्रदर्शित करता है। मानक प्रश्नों में इसे A विकल्प माना जाता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{1}{s-a}$$ (s > a)

विस्तृत हल:
लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा के अनुसार:
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$$
फलन $$f(t) = e^{at}$$ रखने पर:
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{at} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt$$
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \left[ \frac{e^{-(s-a)t}}{-(s-a)} \right]_{0}^{\infty} = 0 – \left( \frac{1}{-(s-a)} \right) = \frac{1}{s-a} \quad (s > a \text{ के लिए})$$

Q4 Solution:

सही उत्तर: C) 12

विस्तृत हल:
डिरैक डेल्टा फलन (Dirac Delta Function) का मुख्य गुणधर्म:
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x – a) \, dx = f(a)$$
यहाँ $$f(x) = x^3 + 2x$$ तथा a = 2 है।
अतः समाकलन का मान $f(2)$ होगा:
$$f(2) = (2)^3 + 2(2) = 8 + 4 = 12$$

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$

विस्तृत हल:
रोड्रिग्स सूत्र (Rodrigues’ Formula) $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 – 1)^n$$ के प्रयोग से:
* $$P_0(x) = 1$$
* $$P_1(x) = x$$
* $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$
* $$P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 – 3x)$$
अतः लेज़ेंडर बहुपद $$P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 – 1)$$ होता है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: C) Hermitian

विस्तृत हल:
दिया गया आव्यूह $$M = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$$
1. संकुल संयुग्मी (Complex Conjugate $$M^*$$):
$$M^* = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$
2. संयुग्मी परिवर्त्य (Conjugate Transpose $$M^\dagger = (M^*)^T$$):
$$M^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$$
चूँकि $$M^\dagger = M$$ प्राप्त होता है, इसलिए यह आव्यूह **Hermitian (हर्मिटी आव्यूह)** है।

Q7 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$ तथा $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

विस्तृत हल:
किसी सम्मिश्र फलन $$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$$ के वैश्लेषिक (Analytic) होने के लिए आवश्यक कौशी-रीमान (Cauchy-Riemann) समीकरण कार्तीय रूप में निम्न हैं:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{तथा} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) $$e^{\int P(x) dx}$$

विस्तृत हल:
प्रथम कोटि के मानक रैखिक अवकल समीकरण $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ को हल करने के लिए समाकलन गुणक (Integrating Factor) का प्रयोग किया जाता है, जिसका सूत्र:
$$\text{I.F.} = e^{\int P(x) \, dx}$$
तथा समीकरण का संपूर्ण हल $$y \times (\text{I.F.}) = \int [Q(x) \times (\text{I.F.})] \, dx + C$$ होता है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) z = 0 और z = 1 पर Simple poles

विस्तृत हल:
दिए गए फलन $$f(z) = \frac{1}{z(z – 1)}$$ के ध्रुव (Poles) ज्ञात करने के लिए हर (Denominator) को शून्य के बराबर रखते हैं:
$$z(z – 1) = 0 \implies z = 0 \quad \text{तथा} \quad z = 1$$
चूँकि दोनों गुणनखंडों की घात 1 है, इसलिए z = 0 और z = 1 दोनों प्रथम घात के ध्रुव (**Simple Poles**) हैं।

Q10 Solution:

सही उत्तर: B) पूर्णतः वास्तविक एवं सम (Purely Real and Even)

विस्तृत हल:
फोरियर रूपांतरण सूत्र: $$F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(kx) \, dx – i \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(kx) \, dx$$
यदि $$f(x)$$ एक सम फलन (Even Function) है:
1. $$[f(x) \sin(kx)]$$ एक विषम फलन (Odd Function) बन जाता है, जिससे काल्पनिक भाग का समाकलन शून्य हो जाता है।
2. केवल वास्तविक कोसाइन भाग ही शेष रहता है: $$F(k) = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(kx) \, dx$$
अतः इसका फोरियर रूपांतरण **पूर्णतः वास्तविक एवं सम (Purely Real and Even)** होता है।