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Theory Practice Test – 01 | CG SET & PGT Physics

Electromagnetic Theory Practice Test – 01

Q1. मुक्त आकाश (Free Space) में मैक्सवेल के किस समीकरण से यह सिद्ध होता है कि प्रकृति में एकाकी चुंबकीय ध्रुव (Magnetic Monopole) का अस्तित्व नहीं होता है?

A) $$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
B) $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$
C) $$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
D) $$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$$

Q2. प्वाइंटिंग सदिश (Poynting Vector) $$\vec{S}$$ विद्युतचुंबकीय तरंगों में किस भौतिक राशि के प्रवाह की दर और दिशा को निरूपित करता है?

A) प्रति इकाई क्षेत्रफल संवेग प्रवाह
B) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा प्रवाह
C) विद्युत आवेश प्रवाह
D) चुंबकीय फ्लक्स प्रवाह

Q3. एक समान आवेशित R त्रिज्या के पतले गोलीय कोश (Spherical Shell) के अंदर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ($$\vec{E}$$) का मान कितना होता है?

A) $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{R^2}$$
B) $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$$
C) 0
D) अनन्त ($$\infty$$)

Q4. परावैद्युत माध्यम (Dielectric Medium) में मैक्सवेल द्वारा संशोधित ऐम्पियर के परिपथीय नियम में विस्थापन धारा घनत्व (Displacement Current Density, $$\vec{J}_d$$) का मान क्या होता है?

A) $$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
B) $$\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
C) $$\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
D) $$\mu_0 \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

Q5. निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल c और माध्यम की विद्युतशीलता ($$\varepsilon_0$$) तथा पारगम्यता ($$\mu_0$$) के बीच सही संबंध क्या है?

A) $$c = \mu_0 \varepsilon_0$$
B) $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$
C) $$c = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$$
D) $$c = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$$

Q6. कूलम्ब गेज (Coulomb Gauge) की स्थिति में सदिश विभव (Vector Potential, $$\vec{A}$$) के लिए सही शर्त क्या है?

A) $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$
B) $$\nabla \times \vec{A} = 0$$
C) $$\nabla \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$$
D) $$\nabla^2 \vec{A} = 0$$

Q7. दो आवेशित माध्यमों की सीमा (Boundary) पर विद्युत विस्थापन सदिश ($$\vec{D}$$) के लंबवत घटक (Normal Component) का अंतर किसके बराबर होता है?

A) शून्य
B) पृष्ठ आवेश घनत्व ($$\sigma_f$$)
C) आयतन आवेश घनत्व ($$\rho$$)
D) सीमा की वैद्युतशीलता

Q8. एक अपरिवर्तनीय धारा I ले जाने वाले सीधे लंबे चालक तार से r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र B का मान किस प्रकार परिवर्तित होता है?

A) $$B \propto r$$
B) $$B \propto \frac{1}{r^2}$$
C) $$B \propto \frac{1}{r}$$
D) B दूरी r से स्वतंत्र रहता है

Q9. किसी चालक माध्यम (Conducting Medium) में विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए त्वचा गहराई (Skin Depth, $$\delta$$) आवर्ती आवृत्ति ($$\omega$$) के साथ किस प्रकार बदलती है?

A) $$\delta \propto \omega$$
B) $$\delta \propto \frac{1}{\sqrt{\omega}}$$
C) $$\delta \propto \sqrt{\omega}$$
D) $$\delta \propto \frac{1}{\omega}$$

Q10. यदि किसी क्षेत्र में केवल चुंबकीय विभव $$\vec{A} = -\frac{1}{2}(y\hat{i} – x\hat{j})$$ दिया गया हो, तो इसके संगत चुंबकीय क्षेत्र $$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$$ का मान क्या होगा?

A) $$\hat{k}$$
B) $$-\hat{k}$$
C) $$2\hat{k}$$
D) 0

Electromagnetic Theory Practice Set – 01 : Detailed Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: B) $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$

विस्तृत हल:
मैक्सवेल का द्वितीय समीकरण $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$ (चुंबकत्व का गॉस नियम) यह दर्शाता है कि किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
इसका अर्थ यह है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ हमेशा बंद लूप बनाती हैं और प्रकृति में एकाकी चुंबकीय ध्रुव (Magnetic Monopole) का अस्तित्व नहीं होता है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: B) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा प्रवाह

विस्तृत हल:
प्वाइंटिंग सदिश (Poynting Vector) $$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यह विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा में प्रति एकांक क्षेत्रफल तथा प्रति एकांक समय में प्रवाहित होने वाली ऊर्जा (Power Density / Energy Flux) को निरूपित करता है। इसका मात्रक $$\text{Watt/m}^2$$ होता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: C) 0

विस्तृत हल:
एक समान आवेशित पतले गोलीय कोश (Spherical Shell) पर कुल आवेश उसके केवल बाहरी पृष्ठ पर वितरित होता है।
कोश के अंदर किसी भी काल्पनिक गॉसियन पृष्ठ के भीतर परिबद्ध कुल आवेश शून्य ($$q_{in} = 0$$) होता है।
गॉस के नियम अनुसार:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} = 0 \implies \vec{E} = 0$$
अतः गोलीय कोश के अंदर सभी बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) $$\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

विस्तृत हल:
मैक्सवेल ने समय के साथ परिवर्तित होने वाले विद्युत क्षेत्र के कारण ऐम्पियर के नियम में विस्थापन धारा घनत्व ($$\vec{J}_d$$) का पद जोड़ा।
सूत्रानुसार: $$\vec{J}_d = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$
चूँकि $$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}$$ होता है, अतः:
$$\vec{J}_d = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$

विस्तृत हल:
निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों का वेग निर्वात की वैद्युतशीलता ($$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$$) तथा पारगम्यता ($$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$$) से सम्बंधित होता है:
$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$$

Q6 Solution:

सही उत्तर: A) $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$

विस्तृत हल:
विद्युतचुंबकत्व में गेज रूपांतरण (Gauge Transformation) के दौरान समस्याओं को सरल बनाने के लिए दो मुख्य गेज प्रयुक्त होते हैं:
1. **कूलम्ब गेज (Coulomb Gauge):** $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$ (इसे ट्रांसवर्स या अनुप्रस्थ गेज भी कहते हैं)।
2. **लोरेंट्ज़ गेज (Lorentz Gauge):** $$\nabla \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$$

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) पृष्ठ आवेश घनत्व ($$\sigma_f$$)

विस्तृत हल:
दो परावैद्युत माध्यमों के परिसीमा सम्बंध (Boundary Conditions) के अनुसार:
विद्युत विस्थापन सदिश के सामान्य (Normal) घटक का अंतर परिसीमा पर उपस्थित मुक्त पृष्ठ आवेश घनत्व ($$\sigma_f$$) के बराबर होता है:
$$D_{1n} – D_{2n} = \sigma_f \quad \text{अर्थात} \quad (\vec{D}_1 – \vec{D}_2) \cdot \hat{n} = \sigma_f$$
यदि परिसीमा पर कोई मुक्त आवेश न हो ($$\sigma_f = 0$$), तो D का सामान्य घटक सतत ($$D_{1n} = D_{2n}$$) रहता है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: C) $$B \propto \frac{1}{r}$$

विस्तृत हल:
ऐम्पियर के परिपथीय नियम से एक अनन्त लंबाई के सीधे चालक तार से r दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र:
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
अतः चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($$B \propto \frac{1}{r}$$)।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) $$\delta \propto \frac{1}{\sqrt{\omega}}$$

विस्तृत हल:
चालक माध्यम में त्वचा गहराई (Skin Depth, $$\delta$$) वह दूरी है जिस पर विद्युतचुंबकीय तरंग का आयाम अपने प्रारंभिक मान का 1/e रह जाता है।
इसका सूत्र निम्न है:
$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\sigma \mu \omega}}$$
यहाँ से स्पष्ट है कि skin depth आवर्ती आवृत्ति के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($$\delta \propto \frac{1}{\sqrt{\omega}}$$)।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$\hat{k}$$

विस्तृत हल:
दिया गया है: $$\vec{A} = -\frac{1}{2}y\hat{i} + \frac{1}{2}x\hat{j}$$
चुंबकीय क्षेत्र $$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$$ ज्ञात करने के लिए सारणिक (Determinant) का प्रयोग करते हैं:
$$\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{1}{2}y & \frac{1}{2}x & 0 \end{vmatrix}$$
$$\vec{B} = \hat{i}(0) – \hat{j}(0) + \hat{k} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}x\right) – \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{2}y\right) \right]$$
$$\vec{B} = \hat{k} \left( \frac{1}{2} – \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = \hat{k} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 1\hat{k} = \hat{k}$$

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 02

Q1. दो समानांतर धारावाही चालकों (Parallel Current-Carrying Conductors) के बीच प्रति इकाई लंबाई लगने वाले बल का परिमाण किस नियम द्वारा दिया जाता है?

A) कूलॉम का नियम
B) एम्पीयर का बल नियम
C) फैराडे का नियम
D) गाउस का नियम

Q2. मैक्सवेल के समीकरणों में विस्थापन धारा (Displacement Current) J_d का व्यंजक क्या होता है?

A) ε₀ (∂&vec;E / ∂t)
B) μ₀ (∂&vec;B / ∂t)
C) σ&vec;E
D) ∇ ċ &vec;E

Q3. यदि किसी क्षेत्र में वैद्युत विभव V(x, y, z) = 2x² + 3y² – z है, तो बिंदु (1, 0, 2) पर विद्युत क्षेत्र &vec;E का मान क्या होगा?

A) -4&hat;i + &hat;k
B) 4&hat;i – &hat;k
C) -4&hat;i – 6&hat;j + &hat;k
D) 4&hat;i + 6&hat;j

Q4. एक समान वेग v से गतिमान आवेश q के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र &vec;B का मान क्या होता है?

A) (μ₀ / 4π) [q(&vec;v ċ &hat;r) / r²]
B) (μ₀ / 4π) [q(&vec;v × &hat;r) / r²]
C) (μ₀ / 4π) (q&vec;v / r³)
D) (μ₀ / 4π) [q(&hat;r × &vec;v) / r²]

Q5. विद्युतचुंबकीय तरंग का त्वचा प्रभाव (Skin Depth δ) आवृत्ति f से किस प्रकार संबंधित है?

A) δ ∝ f
B) δ ∝ 1/f
C) δ ∝ 1/√f
D) δ ∝ √f

Q6. विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) के कारण सुदूर बिंदु (r >> d) पर वैद्युत विभव V दूरी r पर किस प्रकार निर्भर करता है?

A) V ∝ 1/r
B) V ∝ 1/r²
C) V ∝ 1/r³
D) V ∝ r

Q7. परावैद्युत माध्यम (Dielectric Medium) की सीमा (Boundary) पर यदि कोई मुक्त पृष्ठ आवेश न हो (σ_f = 0), तो विद्युत विस्थापन क्षेत्र &vec;D के घटकों की कौन सी सीमा शर्त सही है?

A) D_1t = D_2t
B) D_1n = D_2n
C) D_1n = 0
D) D_1t = 0

Q8. लॉरेंट्ज़ गेज शर्त (Lorenz Gauge Condition) में अधिश विभव V और सदिश विभव &vec;A में क्या संबंध होता है?

A) ∇ ċ &vec;A = 0
B) ∇ ċ &vec;A + μ₀ε₀ (∂V / ∂t) = 0
C) ∇ × &vec;A = 0
D) ∇ ċ &vec;A – (1/c) (∂V / ∂t) = 0

Q9. एक लंबे सीधे परिनालिका (Solenoid) का स्व-प्रेरकत्व (Self-Inductance L) प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या n के किस घात के समानुपाती होता है?

A) n
B) n²
C) √n
D) n³

Q10. परावैद्युत माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की चाल v माध्यम के अपवर्तनांक n से किस प्रकार संबंधित है?

A) v = nc
B) v = c/n
C) v = c/n²
D) v = c√n

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 02 (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: B) एम्पीयर का बल नियम

हल: दो समानांतर धारावाही चालकों के मध्य प्रति इकाई लंबाई कार्य करने वाला बल F/L = (μ₀ I₁ I₂) / (2πd) होता है, जो एम्पीयर के नियम से व्युत्पन्न किया जाता है।

Q2. उत्तर: A) ε₀ (∂&vec;E / ∂t)

हल: मैक्सवेल ने एम्पीयर के नियम को संशोधित करते हुए विस्थापन धारा घनत्व J_d = ε₀ (∂&vec;E / ∂t) को जोड़ा था।

Q3. उत्तर: A) -4&hat;i + &hat;k

हल: विद्युत क्षेत्र &vec;E = -∇V = -[(∂V/∂x)&hat;i + (∂V/∂y)&hat;j + (∂V/∂z)&hat;k]

&vec;E = -[4x&hat;i + 6y&hat;j – &hat;k]

बिंदु (1, 0, 2) पर: &vec;E = -[4(1)&hat;i + 6(0)&hat;j – &hat;k] = -4&hat;i + &hat;k

Q4. उत्तर: B) (μ₀ / 4π) [q(&vec;v × &hat;r) / r²]

हल: बायो-सावर्त नियम के आपेक्षकीय रूप के अनुसार नियत वेग v से गतिमान बिंदु आवेश q द्वारा r दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र &vec;B = (μ₀ / 4π) [q(&vec;v × &hat;r) / r²] होता है।

Q5. उत्तर: C) δ ∝ 1/√f

हल: त्वचा प्रभाव (Skin Depth) का सूत्र δ = √[2 / (ωμσ)] = √[1 / (π f μ σ)] होता है। अतः यह आवृत्ति के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती (δ ∝ 1/√f) होती है।

Q6. उत्तर: B) V ∝ 1/r²

हल: बिंदु आवेश के लिए विभव V ∝ 1/r होता है, परंतु विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) के कारण विभव V = (p cosθ) / (4πε₀ r²) होता है, अर्थात् V ∝ 1/r²।

Q7. उत्तर: B) D_1n = D_2n

हल: सीमा शर्तों (Boundary Conditions) के अनुसार, परावैद्युत माध्यमों की सीमा पर D_1n – D_2n = σ_f होता है। जब मुक्त पृष्ठ आवेश σ_f = 0 हो, तो D_1n = D_2n (अभिलंबवत घटक सतत) रहता है।

Q8. उत्तर: B) ∇ ċ &vec;A + μ₀ε₀ (∂V / ∂t) = 0

हल: लॉरент्ज़ गेज रूपांतरण की प्रामाणिक शर्त ∇ ċ &vec;A + μ₀ε₀ (∂V / ∂t) = 0 होती है, जो मैक्सवेल समीकरणों को तरंग समीकरणों में बदलती है।

Q9. उत्तर: B) n²

हल: परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व L = μ₀ n² A l होता है (जहाँ n प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है)। इसलिए L ∝ n²।

Q10. उत्तर: B) v = c/n

हल: माध्यम का अपवर्तनांक n = c/v से परिभाषित होता है, इसलिए विद्युतचुंबकीय तरंग की माध्यम में चाल v = c/n होती है।

Electromagnetic Theory – Set 3

Q1. एक समान आवेश घनत्व ρ वाली R त्रिज्या की ठोस अचालक गेंद (Solid Non-conducting Sphere) के केंद्र से r दूरी (r < R) पर विद्युत क्षेत्र E का मान किस प्रकार निर्भर करता है?

(A) E ∝ 1 / r²
(B) E ∝ r
(C) E ∝ 1 / r
(D) E दूरी r से स्वतंत्र रहता है

Q2. मैक्सवेल के समीकरणों में विस्थापन धारा घनत्व (Displacement Current Density) J_d का सही सूत्र क्या है?

(A) ε_0 (∂E / ∂t)
(B) (1 / μ_0) (∂B / ∂t)
(C) σ E
(D) ε_0 μ_0 (∂E / ∂t)

Q3. समतल विद्युत चुंबकीय तरंग (Planar Electromagnetic Wave) के लिए पोयंटिंग वेक्टर (Poynting Vector) S किसको निरूपित करता है?

(A) प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा
(B) प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में प्रवाहित ऊर्जा
(C) संवेग घनत्व (Momentum Density)
(D) विद्युत धारा घनत्व (Current Density)

Q4. शून्य मुक्त-आवेश घनत्व (ρ = 0) और धारा घनत्व (J = 0) वाले मुक्त आकाश (Free Space) में विद्युत क्षेत्र E के लिए तरंग समीकरण (Wave Equation) क्या होगा?

(A) ∇²E = (1 / c) (∂E / ∂t)
(B) ∇²E = μ_0 ε_0 (∂²E / ∂t²)
(C) ∇ × E = -μ_0 ε_0 (∂E / ∂t)
(D) ∇ · E = μ_0 ε_0 (∂²E / ∂t²)

Q5. R त्रिज्या की एक वृत्ताकार कुंडली में I धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र B कितना होगा?

(A) μ_0 I / (2R)
(B) μ_0 I / (4πR)
(C) μ_0 I / (2πR)
(D) μ_0 I / (4R)

Q6. विद्युत चुंबकत्व में गेज रूपांतरण (Gauge Transformation) के अंतर्गत अदिश विभव V और सदिश विभव A को इस प्रकार बदला जाता है कि:

(A) केवल E अपरिवर्तित रहता है
(B) केवल B अपरिवर्तित रहता है
(C) E और B दोनों अपरिवर्तित रहते हैं
(D) E और B दोनों बदल जाते हैं

Q7. लोरेंत्ज़ बल (Lorentz Force) का सही रूप क्या है जब एक आवेश q विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B में चाल v से गति कर रहा हो?

(A) F = q (E + v · B)
(B) F = q (E + v × B)
(C) F = q (B + v × E)
(D) F = q (E × B)

Q8. एक परिपूर्ण चालक (Perfect Conductor) के अंदर त्वचा गहराई (Skin Depth) δ का मान क्या होता है?

(A) अनंत (∞)
(B) शून्य (0)
(C) 1 m
(D) चालकता σ के समानुपाती

Q9. दो अनंत समतल समानांतर अचालक चादरों पर क्रमशः सर्वसम +σ और -σ पृष्ठ आवेश घनत्व है। इन दोनों चादरों के मध्य में विद्युत क्षेत्र कितना होगा?

(A) 0
(B) σ / ε_0
(C) σ / (2ε_0)
(D) 2σ / ε_0

Q10. एक विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) p के कारण उसकी अक्ष पर दूरी r पर विद्युत विभव V दूरी r पर किस प्रकार निर्भर करता है?

(A) V ∝ 1 / r
(B) V ∝ 1 / r²
(C) V ∝ 1 / r³
(D) V ∝ r

Electromagnetic Theory – Set 3 Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: (B) E ∝ r

विस्तृत हल:

गॉस नियम का उपयोग करके R त्रिज्या के एकसमान आवेशित ठोस गोले के अंदर (r < R) गाउसियन पृष्ठ द्वारा परिबद्ध आवेश q_in = ρ · (4/3)πr³ होता है।

गॉस नियम से: E · (4πr²) = q_in / ε_0 = [ρ · (4/3)πr³] / ε_0

E = (ρ r) / (3ε_0)

अतः गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र दूरी r के अनुक्रमानुपाती (E ∝ r) होता है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: (A) ε_0 (∂E / ∂t)

विस्तृत हल:

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने एम्पीयर के नियम में संशोधन करते हुए समय के साथ परिवर्तनशील विद्युत क्षेत्र के कारण विस्थापन धारा (Displacement Current) का सिद्धांत दिया।

विस्थापन धारा घनत्व का सूत्र: J_d = ε_0 (∂E / ∂t) होता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: (B) प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में प्रवाहित ऊर्जा

विस्तृत हल:

पोयंटिंग वेक्टर S = (1 / μ_0) (E × B) विद्युत चुंबकीय तरंग में ऊर्जा प्रवाह की दर और दिशा को व्यक्त करता है।

इसका मात्रक वाट प्रति वर्ग मीटर (W/m²) होता है, जो प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में प्रवाहित विद्युत चुंबकीय ऊर्जा को दर्शाता है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: (B) ∇²E = μ_0 ε_0 (∂²E / ∂t²)

विस्तृत हल:

मुक्त आकाश (ρ = 0, J = 0) के लिए मैक्सवेल समीकरणों पर ∇ × (∇ × E) का उपयोग करने पर तरंग समीकरण प्राप्त होता है:

∇²E = μ_0 ε_0 (∂²E / ∂t²)

चूंकि चाल c = 1 / √(μ_0 ε_0) होती है, इसे ∇²E = (1 / c²) (∂²E / ∂t²) भी लिखा जाता है।

Q5 Solution:

सही उत्तर: (A) μ_0 I / (2R)

विस्तृत हल:

बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, R त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के अक्ष पर दूरी x पर चुंबकीय क्षेत्र B = [μ_0 I R²] / [2(R² + x²)³⁄²] होता है।

केंद्र पर x = 0 रखने पर:

B = (μ_0 I R²) / (2 R³) = μ_0 I / (2R)

Q6 Solution:

सही उत्तर: (C) E और B दोनों अपरिवर्तित रहते हैं

विस्तृत हल:

गेज रूपांतरण में विभव को बदलने के लिए A’ = A + ∇Λ और V’ = V – (∂Λ / ∂t) का उपयोग किया जाता है।

इससे भौतिक क्षेत्र B = ∇ × A तथा E = -∇V – (∂A / ∂t) के मान अपरिवर्तित रहते हैं, इसे गेज निश्चरता (Gauge Invariance) कहते हैं।

Q7 Solution:

सही उत्तर: (B) F = q (E + v × B)

विस्तृत हल:

जब कोई आवेशित कण q विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में चाल v से गति करता है, तो उस पर कुल लोरेंत्ज़ बल लगता है:

F = F_electric + F_magnetic = q E + q (v × B) = q (E + v × B)

Q8 Solution:

सही उत्तर: (B) शून्य (0)

विस्तृत हल:

त्वचा गहराई (Skin Depth) का सूत्र δ = √[ 2 / (ω μ σ) ] होता है।

एक परिपूर्ण चालक (Perfect Conductor) के लिए चालकता σ → ∞ होती है।

अतः δ = √[ 2 / ∞ ] = 0, अर्थात विद्युत चुंबकीय तरंग परिपूर्ण चालक के अंदर तनिक भी प्रवेश नहीं कर सकती।

Q9 Solution:

सही उत्तर: (B) σ / ε_0

विस्तृत हल:

1. धनात्मक चादर के कारण विद्युत क्षेत्र E_1 = σ / (2ε_0) (चादर से दूर)।

2. ऋणात्मक चादर के कारण विद्युत क्षेत्र E_2 = σ / (2ε_0) (चादर की ओर)।

3. दोनों चादरों के मध्य में दोनों क्षेत्रों की दिशा समान (+ve से -ve की ओर) होती है:

E_total = E_1 + E_2 = σ / (2ε_0) + σ / (2ε_0) = σ / ε_0

Q10 Solution:

सही उत्तर: (B) V ∝ 1 / r²

विस्तृत हल:

एक बिंदु आवेश के लिए विभव V ∝ 1 / r होता है, लेकिन विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) के कारण अक्ष पर दूरी r पर विभव का सूत्र:

V = (1 / (4πε_0)) · (p / r²)

अतः द्विध्रुव के लिए विभव दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती (V ∝ 1 / r²) होता है।

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 4 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. निर्वात (Vacuum) में एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र E⃗ = E₀ ĵ cos(kz – ωt) दिया गया है। इस तरंग के लिए चुम्बकीय क्षेत्र B⃗ का मान क्या होगा?

(A) (E₀/c) î cos(kz – ωt)
(B) -(E₀/c) î cos(kz – ωt)
(C) (E₀/c) k̂ cos(kz – ωt)
(D) -(E₀/c) ĵ cos(kz – ωt)

प्रश्न 2. एक रेखीय परावैद्युत (Linear Dielectric) माध्यम में पोलेराइजेशन vector P⃗ और विद्युत क्षेत्र E⃗ के बीच सही संबंध क्या है?

(A) P⃗ = ε₀ χₑ E⃗
(B) P⃗ = (χₑ / ε₀) E⃗
(C) P⃗ = μ₀ χₑ E⃗
(D) P⃗ = ε₀ εᵣ E⃗

प्रश्न 3. एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B⃗ में v वेग से गतिमान q आवेश वाले कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल (Lorentz Force) कितना होगा जब v⃗ और B⃗ एक-दूसरे के समांतर (∥) हों?

(A) q v B
(B) q v B / 2
(C) 0
(D) -q v B

प्रश्न 4. मैक्सवेल की कौन सी समीकरण यह दर्शाती है कि प्रकृति में एकल चुंबकीय ध्रुव (Magnetic Monopole) का अस्तित्व नहीं होता है?

(A) ∇ · E⃗ = ρ / ε₀
(B) ∇ · B⃗ = 0
(C) ∇ × E⃗ = -∂B⃗ / ∂t
(D) ∇ × B⃗ = μ₀ J⃗

प्रश्न 5. पॉयंटिंग वेक्टर (Poynting Vector) S⃗ किसे व्यक्त करता है और इसका सही सूत्र क्या है?

(A) प्रति इकाई आयतन ऊर्जा, S⃗ = E⃗ × B⃗
(B) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा प्रवाह की दर, S⃗ = (1/μ₀) (E⃗ × B⃗)
(C) कुल विद्युत धारा, S⃗ = μ₀ (E⃗ · B⃗)
(D) आवेश घनत्व, S⃗ = ε₀ (E⃗ × B⃗)

प्रश्न 6. जब किसी चालक (Conductor) में उच्च आवृति (High Frequency) की धारा प्रवाहित होती है, तो धारा केवल चालक की सतह के पास बहती है। इस परिघटना को क्या कहते हैं?

(A) हॉल प्रभाव (Hall Effect)
(B) त्वचा प्रभाव (Skin Effect)
(C) सीबेक प्रभाव (Seebeck Effect)
(D) ज़ीमान प्रभाव (Zeeman Effect)

प्रश्न 7. बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, I धारा ले जाने वाले किसी लंबे सीधे तार से r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र B की निर्भरता कैसी होती है?

(A) B ∝ r
(B) B ∝ 1/r²
(C) B ∝ 1/r
(D) B ∝ r²

प्रश्न 8. किसी परावैद्युत माध्यम में प्रकाश की चाल v = 2 × 10⁸ m/s है। यदि μᵣ = 1 हो, तो माध्यम का परावैद्युतांक (Relative Permittivity, εᵣ) कितना होगा?

(A) 1.5
(B) 2.25
(C) 3.0
(D) 4.0

प्रश्न 9. सदिश विभव (Vector Potential, A⃗) और चुम्बकीय क्षेत्र (B⃗) के बीच सही संबंध क्या है?

(A) B⃗ = ∇ · A⃗
(B) B⃗ = ∇ × A⃗
(C) B⃗ = -∇V
(D) B⃗ = ∇² A⃗

प्रश्न 10. विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) के कारण केंद्र से r दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव (Electric Potential, V) की दूरी पर निर्भरता कैसी होती है?

(A) V ∝ 1/r
(B) V ∝ 1/r²
(C) V ∝ 1/r³
(D) V ∝ r

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 4 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (A) (E₀/c) î cos(kz – ωt)
व्याख्या: तरंग +z दिशा में संचरित हो रही है (k⃗ = k k̂)। E⃗ दिशा ĵ में है। चूंकि k̂ ∝ E⃗ × B⃗, इसलिए ĵ × î = -k̂ होता है, अत: B⃗ का मान î दिशा में होगा ताकि E₀/c î प्राप्त हो।

2. उत्तर: (A) P⃗ = ε₀ χₑ E⃗
व्याख्या: रेखीय परावैद्युत माध्यमों में ध्रुवण (Polarization) आरोपित विद्युत क्षेत्र के समानुपाती होता है, जहाँ χₑ विद्युत सुग्राहिता (Electric Susceptibility) है।

3. उत्तर: (C) 0
व्याख्या: चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल F = q v B sinθ होता है। जब v⃗ ∥ B⃗ हो, तो θ = 0° और sin 0° = 0, अतः लगने वाला बल शून्य होगा।

4. उत्तर: (B) ∇ · B⃗ = 0
व्याख्या: यह समीकरण (Gauss’s Law for Magnetism) दर्शाती है कि चुंबकीय बल रेखाएँ बंद लूप बनाती हैं और एकल चुंबकीय ध्रुव (Isolated Magnetic Monopole) का अस्तित्व नहीं होता।

5. उत्तर: (B) S⃗ = (1/μ₀) (E⃗ × B⃗)
व्याख्या: पॉयंटिंग वेक्टर प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल से प्रवाहित होने वाली विद्युत-चुंबकीय ऊर्जा (Energy Flux Density) को दर्शाता है।

6. उत्तर: (B) त्वचा प्रभाव (Skin Effect)
व्याख्या: उच्च आवृत्ति वाली AC धारा चालक के आंतरिक भाग की तुलना में उसकी बाहरी सतह (Skin) पर अधिक केंद्रित होकर बहती है, जिसे Skin Effect कहते हैं।

7. उत्तर: (C) B ∝ 1/r
व्याख्या: अनंत लंबे सीधे चालक तार के कारण r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र B = (μ₀ I) / (2π r) होता है, अर्थात B ∝ 1/r।

8. उत्तर: (B) 2.25
व्याख्या: अपवर्तनांक n = c/v = (3 × 10⁸)/(2 × 10⁸) = 1.5। माध्यम का अपवर्तनांक n = √(εᵣ μᵣ) होता है। μᵣ = 1 के लिए εᵣ = n² = (1.5)² = 2.25।

9. उत्तर: (B) B⃗ = ∇ × A⃗
व्याख्या: चुम्बकीय क्षेत्र B⃗ हमेशा चुंबकीय सदिश विभव (Magnetic Vector Potential) A⃗ के कर्ल (Curl) के बराबर होता है।

10. उत्तर: (B) V ∝ 1/r²
व्याख्या: एकल बिंदु आवेश के लिए V ∝ 1/r होता है, जबकि विद्युत द्विध्रुव (Dipole) के लिए V = (p cosθ) / (4πε₀ r²) होता है, अर्थात V ∝ 1/r²।

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 5 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. निर्वात (Vacuum) में मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय तरंगों की चाल c का व्यंजक (μ₀ और ε₀ के पदों में) क्या होता है?

(A) c = μ₀ ε₀
(B) c = √(μ₀ / ε₀)
(C) c = 1 / √(μ₀ ε₀)
(D) c = 1 / (μ₀ ε₀)

प्रश्न 2. एक समतल परावैद्युत सीमा (Planar Dielectric Boundary) पर, विद्युत क्षेत्र E⃗ का कौन सा घटक (Component) सतत (Continuous) रहता है?

(A) अभिलंबवत घटक (Normal Component, E_⊥)
(B) स्पर्शरेखीय घटक (Tangential Component, E_∥)
(C) दोनों घटक सतत रहते हैं
(D) कोई भी घटक सतत नहीं रहता

प्रश्न 3. गाउस के नियम का अवकल रूप ∇ · D⃗ = ρ_f होता है। यहाँ D⃗ किसे व्यक्त करता है?

(A) विद्युत क्षेत्र (Electric Field)
(B) विद्युत विस्थापन सदिश (Electric Displacement Vector)
(C) पोलेराइजेशन (Polarization)
(D) धारा घनत्व (Current Density)

प्रश्न 4. एकसमान रूप से आवेशित आवेष्टन/गोलीय कोश (Thin Uniformly Charged Spherical Shell) के अंदर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र E⃗ का मान कितना होता है?

(A) शून्य (0)
(B) q / (4πε₀ r²)
(C) q / (4πε₀ R²)
(D) अनंत (∞)

प्रश्न 5. जब प्रकाश किसी सघन माध्यम से विरल माध्यम में प्रवेश करता है, तो आपतन कोण जिसके लिए अपवर्तन कोण 90° हो जाता है, उसे क्या कहते हैं?

(A) ब्रूस्टर कोण (Brewster Angle)
(B) क्रांतिक कोण (Critical Angle)
(C) ध्रुवण कोण (Polarizing Angle)
(D) विचलन कोण (Angle of Deviation)

प्रश्न 6. जब एक समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग गैर-चालक (Non-conducting) माध्यम में संचरित होती है, तो विद्युत क्षेत्र E⃗ और चुम्बकीय क्षेत्र B⃗ के बीच कालान्तर (Phase Difference) कितना होता है?

(A) 0 (वे समान कला में होते हैं)
(B) π/4
(C) π/2
(D) π

प्रश्न 7. विद्युत क्षेत्र E⃗ और अदिश विभव (Scalar Potential, V) एवं सदिश विभव (Vector Potential, A⃗) के बीच सही समय-निर्भर (Time-dependent) संबंध क्या है?

(A) E⃗ = -∇V
(B) E⃗ = -∇V – ∂A⃗/∂t
(C) E⃗ = -∇V + ∂A⃗/∂t
(D) E⃗ = ∇ × A⃗

प्रश्न 8. किसी चालक माध्यम में त्वचा गहराई / स्किन डेप्थ (δ) का आवृति f और चालकता σ पर सही संबंध क्या होता है?

(A) δ ∝ f
(B) δ ∝ 1 / √(f σ)
(C) δ ∝ f²
(D) δ ∝ √(f σ)

प्रश्न 9. विद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) के कारण दूरस्थ बिंदु (r) पर विद्युत क्षेत्र E⃗ का मान दूरी r के साथ किस प्रकार परिवर्तित होता है?

(A) E ∝ 1/r
(B) E ∝ 1/r²
(C) E ∝ 1/r³
(D) E ∝ 1/r⁴

प्रश्न 10. मैक्सवेल ने एम्पीयर के नियम में संशोधन करते हुए किस अतिरिक्त धारा (Current) को जोड़ा था?

(A) चालन धारा (Conduction Current)
(B) विस्थापन धारा (Displacement Current)
(C) भंवर धारा (Eddy Current)
(D) पृष्ठ धारा (Surface Current)

Electromagnetic Theory (EMT) – Practice Set 5 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (C) c = 1 / √(μ₀ ε₀)
व्याख्या: निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग की चाल पारगम्यता (Permeability, μ₀) और परावैद्युतांक (Permittivity, ε₀) के गुणनफल के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

2. उत्तर: (B) स्पर्शरेखीय घटक (Tangential Component, E_∥)
व्याख्या: सीमा शर्तों (Boundary Conditions) के अनुसार, परावैद्युत सीमा पर विद्युत क्षेत्र का स्पर्शरेखीय घटक E_1t = E_2t सतत (Continuous) रहता है।

3. उत्तर: (B) विद्युत विस्थापन सदिश (Electric Displacement Vector)
व्याख्या: माध्यम में गाउस का नियम ∇ · D⃗ = ρ_f होता है, जहाँ D⃗ = ε₀ E⃗ + P⃗ को विद्युत विस्थापन सदिश कहते हैं।

4. उत्तर: (A) शून्य (0)
व्याख्या: एकसमान आवेशित गोलीय कोश के अंदर कोई मुक्त आवेश नहीं होता (q_enclosed = 0), इसलिए अंदर विद्युत क्षेत्र का मान शून्य होता है।

5. उत्तर: (B) क्रांतिक कोण (Critical Angle)
व्याख्या: सघन से विरल माध्यम में जाने पर जिस आपतन कोण के लिए अपवर्तन कोण 90° हो जाता है, उसे क्रांतिक कोण (θ_c) कहते हैं।

6. उत्तर: (A) 0 (वे समान कला में होते हैं)
व्याख्या: अचालक/परावैद्युत माध्यम में E⃗ और B⃗ दोनों तरंगों में कोई कालान्तर नहीं होता, वे समान कला (Same Phase) में दोलन करते हैं।

7. उत्तर: (B) E⃗ = -∇V – ∂A⃗/∂t
व्याख्या: समय-परिवर्ती क्षेत्रों में फैराडे के नियम के कारण विद्युत क्षेत्र में सदिश विभव का समय अवकलज (-∂A⃗/∂t) जुड़ जाता है।

8. उत्तर: (B) δ ∝ 1 / √(f σ)
व्याख्या: त्वचा गहराई का सूत्र δ = √(2 / (ω μ σ)) = √(1 / (π f μ σ)) होता है, अत: δ ∝ 1 / √(f σ)।

9. उत्तर: (C) E ∝ 1/r³
व्याख्या: बिंदु आवेश के लिए E ∝ 1/r² होता है, जबकि विद्युत द्विध्रुव (Dipole) के कारण विद्युत क्षेत्र E ∝ 1/r³ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

10. उत्तर: (B) विस्थापन धारा (Displacement Current)
व्याख्या: मैक्सवेल ने समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्र के कारण उत्पन्न धारा J_d = ε₀ (∂E⃗/∂t) को जोड़ा, जिसे विस्थापन धारा कहते हैं।