सही उत्तर: B) $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$

विस्तृत हल:
मैक्सवेल का द्वितीय समीकरण $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$ (चुंबकत्व का गॉस नियम) यह दर्शाता है कि किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
इसका अर्थ यह है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ हमेशा बंद लूप बनाती हैं और प्रकृति में एकाकी चुंबकीय ध्रुव (Magnetic Monopole) का अस्तित्व नहीं होता है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: B) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा प्रवाह

विस्तृत हल:
प्वाइंटिंग सदिश (Poynting Vector) $$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यह विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा में प्रति एकांक क्षेत्रफल तथा प्रति एकांक समय में प्रवाहित होने वाली ऊर्जा (Power Density / Energy Flux) को निरूपित करता है। इसका मात्रक $$\text{Watt/m}^2$$ होता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: C) 0

विस्तृत हल:
एक समान आवेशित पतले गोलीय कोश (Spherical Shell) पर कुल आवेश उसके केवल बाहरी पृष्ठ पर वितरित होता है।
कोश के अंदर किसी भी काल्पनिक गॉसियन पृष्ठ के भीतर परिबद्ध कुल आवेश शून्य ($$q_{in} = 0$$) होता है।
गॉस के नियम अनुसार:
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} = 0 \implies \vec{E} = 0$$
अतः गोलीय कोश के अंदर सभी बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) $$\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

विस्तृत हल:
मैक्सवेल ने समय के साथ परिवर्तित होने वाले विद्युत क्षेत्र के कारण ऐम्पियर के नियम में विस्थापन धारा घनत्व ($$\vec{J}_d$$) का पद जोड़ा।
सूत्रानुसार: $$\vec{J}_d = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$
चूँकि $$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}$$ होता है, अतः:
$$\vec{J}_d = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$

विस्तृत हल:
निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों का वेग निर्वात की वैद्युतशीलता ($$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$$) तथा पारगम्यता ($$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$$) से सम्बंधित होता है:
$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$$

Q6 Solution:

सही उत्तर: A) $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$

विस्तृत हल:
विद्युतचुंबकत्व में गेज रूपांतरण (Gauge Transformation) के दौरान समस्याओं को सरल बनाने के लिए दो मुख्य गेज प्रयुक्त होते हैं:
1. **कूलम्ब गेज (Coulomb Gauge):** $$\nabla \cdot \vec{A} = 0$$ (इसे ट्रांसवर्स या अनुप्रस्थ गेज भी कहते हैं)।
2. **लोरेंट्ज़ गेज (Lorentz Gauge):** $$\nabla \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$$

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) पृष्ठ आवेश घनत्व ($$\sigma_f$$)

विस्तृत हल:
दो परावैद्युत माध्यमों के परिसीमा सम्बंध (Boundary Conditions) के अनुसार:
विद्युत विस्थापन सदिश के सामान्य (Normal) घटक का अंतर परिसीमा पर उपस्थित मुक्त पृष्ठ आवेश घनत्व ($$\sigma_f$$) के बराबर होता है:
$$D_{1n} – D_{2n} = \sigma_f \quad \text{अर्थात} \quad (\vec{D}_1 – \vec{D}_2) \cdot \hat{n} = \sigma_f$$
यदि परिसीमा पर कोई मुक्त आवेश न हो ($$\sigma_f = 0$$), तो D का सामान्य घटक सतत ($$D_{1n} = D_{2n}$$) रहता है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: C) $$B \propto \frac{1}{r}$$

विस्तृत हल:
ऐम्पियर के परिपथीय नियम से एक अनन्त लंबाई के सीधे चालक तार से r दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र:
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
अतः चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($$B \propto \frac{1}{r}$$)।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) $$\delta \propto \frac{1}{\sqrt{\omega}}$$

विस्तृत हल:
चालक माध्यम में त्वचा गहराई (Skin Depth, $$\delta$$) वह दूरी है जिस पर विद्युतचुंबकीय तरंग का आयाम अपने प्रारंभिक मान का 1/e रह जाता है।
इसका सूत्र निम्न है:
$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\sigma \mu \omega}}$$
यहाँ से स्पष्ट है कि skin depth आवर्ती आवृत्ति के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($$\delta \propto \frac{1}{\sqrt{\omega}}$$)।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$\hat{k}$$

विस्तृत हल:
दिया गया है: $$\vec{A} = -\frac{1}{2}y\hat{i} + \frac{1}{2}x\hat{j}$$
चुंबकीय क्षेत्र $$\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$$ ज्ञात करने के लिए सारणिक (Determinant) का प्रयोग करते हैं:
$$\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{1}{2}y & \frac{1}{2}x & 0 \end{vmatrix}$$
$$\vec{B} = \hat{i}(0) – \hat{j}(0) + \hat{k} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}x\right) – \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{2}y\right) \right]$$
$$\vec{B} = \hat{k} \left( \frac{1}{2} – \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = \hat{k} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 1\hat{k} = \hat{k}$$