Table of Contents

Condensed Matter Physics Practice Set | Solid State Physics Quiz |CSIR-NET & CGSET

Condensed Matter Physics – Practice Set 01

Target Exams: CG SET Physical Science, CSIR-NET & PGT Physics

Q1. एक फलक केंद्रित घनीय (Face-Centered Cubic – FCC) जालक की समन्वय संख्या (Coordination Number) कितनी होती है?

A) 6
B) 8
C) 12
D) 14

Q2. ब्रैग के परावर्तन नियम (Bragg’s Law) का सही समीकरण क्या है?

A) d sinθ = nλ
B) 2d sinθ = nλ
C) 2d cosθ = nλ
D) d cosθ = 2nλ

Q3. अतिचालकता (Superconductivity) की स्थिति में पदार्थ का डायमैग्नेटिक व्यवहार और आंतरिक चुंबकीय क्षेत्र का शून्य हो जाना क्या कहलाता है?

A) जोसेफसन प्रभाव (Josephson Effect)
B) माइस्नर प्रभाव (Meissner Effect)
C) हॉल प्रभाव (Hall Effect)
D) सीबेक प्रभाव (Seebeck Effect)

Q4. एक p-प्रकार (p-type) अर्धचालक में मुख्य धारा वाहक (Majority Charge Carriers) कौन से होते हैं?

A) इलेक्ट्रॉन (Electrons)
B) कोटर / होल्स (Holes)
C) पॉज़िट्रॉन (Positrons)
D) न्यूट्रॉन (Neutrons)

Q5. फ्री इलेक्ट्रॉन थ्योरी के अनुसार, धातु की विशिष्ट ऊष्मा (Specific Heat) ताप T के किस प्रकार समानुपाती होती है?

A) T²
B) T³
C) T
D) 1/T

Q6. सिंपल क्युबिक (Simple Cubic – SC) लैटिस के लिए रेसिप्रोकल लैटिस (Reciprocal Lattice) की संरचना कैसी होती है?

A) Body-Centered Cubic (BCC)
B) Face-Centered Cubic (FCC)
C) Simple Cubic (SC)
D) Hexagonal Close-Packed (HCP)

Q7. क्यूरी-वाइस नियम (Curie-Weiss Law) के अनुसार फेरोमैग्नेटिक पदार्थ की चुंबकीय सुग्राहिता (χ) का सूत्र क्या है?

A) C / T
B) C / (T – Θ)
C) C × T
D) C / (T + Θ)²

Q8. एक ठोस में ड्यूबाय ताप (Θ_D) से बहुत कम तापमान (T << Θ_D) पर जालक विशिष्ट ऊष्मा (Lattice Specific Heat C_v) का मान किसके समानुपाती होता है?

A) T
B) T²
C) T³
D) T⁴

Q9. हॉल प्रभाव (Hall Effect) का उपयोग करके निम्नलिखित में से किस राशि का निर्धारण किया जा सकता है?

A) आवेश वाहक का प्रकार (n-type या p-type)
B) आवेश वाहक सांद्रता (Carrier Concentration)
C) वाहक गतिशीलता (Carrier Mobility)
D) उपर्युक्त सभी

Q10. डुलांग-पैटिट नियम (Dulong-Petit Law) के अनुसार उच्च तापमान पर एक मोल ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा (C_v) का मान कितना होता है?

A) R
B) 2R
C) 3R
D) 5R

Detailed Solutions (विस्तृत हल)

Q1 Solution:

सही उत्तर: C) 12

विस्तृत हल:
फलक केंद्रित घनीय (FCC) संरचना में प्रत्येक परमाणु 12 निकटतम पड़ोसी परमाणुओं से घिरा होता है, इसलिए इसकी समन्वय संख्या (Coordination Number) 12 होती है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: B) 2d sinθ = nλ

विस्तृत हल:
क्रिस्टल जालक तलों से एक्स-रे के रचनात्मक व्यतिकरण (Constructive Interference) के लिए ब्रैग का समीकरण 2d sinθ = nλ होता है।

Q3 Solution:

सही उत्तर: B) माइस्नर प्रभाव (Meissner Effect)

विस्तृत हल:
अतिचालक अवस्था में संक्रमण के दौरान पदार्थ के अंदर से चुंबकीय क्षेत्र पूरी तरह से निष्कासित हो जाता है (B = 0), इसे माइस्नर प्रभाव कहते हैं।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) कोटर / होल्स (Holes)

विस्तृत हल:
p-प्रकार के अर्धचालकों में मुख्य धारा वाहक (Majority Carriers) होल्स (Holes) होते हैं और अल्पसंख्यक वाहक (Minority Carriers) इलेक्ट्रॉन होते हैं।

Q5 Solution:

सही उत्तर: C) T

विस्तृत हल:
मुक्त इलेक्ट्रॉन सिद्धांत (Free Electron Theory) के अनुसार धातुओं की इलेक्ट्रॉन विशिष्ट ऊष्मा परम ताप T के अनुक्रमानुपाती होती है (C_e = γT)।

Q6 Solution:

सही उत्तर: C) Simple Cubic (SC)

विस्तृत हल:
सिंपल क्युबिक (SC) लैटिस का रेसिप्रोकल लैटिस भी एक सिंपल क्युबिक (SC) लैटिस ही होता है। (BCC का FCC और FCC का BCC होता है)।

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) C / (T – Θ)

विस्तृत हल:
क्यूरी ताप (Θ) से अधिक तापमान पर फेरोमैग्नेटिक पदार्थों की चुंबकीय सुग्राहिता क्यूरी-वाइस नियम χ = C / (T – Θ) का पालन करती है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: C) T³

विस्तृत हल:
ड्यूबाय के T³ नियम (Debye T³ Law) के अनुसार अत्यंत कम तापमान पर ठोसों की जालक विशिष्ट ऊष्मा C_v ∝ T³ होती है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: D) उपर्युक्त सभी

विस्तृत हल:
हॉल प्रभाव के प्रयोग से अर्धचालक के प्रकार (n या p type), आवेश वाहक सांद्रता (n) तथा वाहक गतिशीलता (μ) तीनों का मापन किया जा सकता है।

Q10 Solution:

सही उत्तर: C) 3R

विस्तृत हल:
क्लासिकीय डुलांग-पैटिट नियम के अनुसार उच्च तापमान पर सभी ठोसों की मोलर विशिष्ट ऊष्मा स्थिर होती है और इसका मान C_v = 3R (लगभग 6 cal/mol-K) होता है।

Solid State Physics – Practice Set 02

Q1. Simple Cubic (SC), Body Centered Cubic (BCC) और Face Centered Cubic (FCC) जालक के लिए पैकिंग फ्रैक्शन का मान क्रमशः क्या होता है?

A) 52%, 68%, 74%
B) 74%, 68%, 52%
C) 52%, 74%, 68%
D) 68%, 52%, 74%

Q2. किसी क्रिस्टल के जालक तलों के मिलर सूचकांक (1, 2, 3) हैं। इन तलों द्वारा अक्षों पर काटे गए अंतःखंडों (Intercepts) का अनुपात क्या होगा?

A) 1 : 2 : 3
B) 6 : 3 : 2
C) 3 : 2 : 1
D) 1 : 1/2 : 1/3

Q3. मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस सिद्धांत के अनुसार, T = 0 K पर फर्मी-ड्रैक वितरण फलन f(E) का मान E < E_F के लिए कितना होता है?

A) 0
B) 0.5
C) 1
D) अनंत (&infty;)

Q4. अतिचालक पदार्थ अपनी क्रांतिक ताप (T_C) के नीचे पूर्ण प्रतिचुंबकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस घटना को क्या कहा जाता है?

A) जोसेफसन प्रभाव (Josephson Effect)
B) माइस्नर प्रभाव (Meissner Effect)
C) हॉल प्रभाव (Hall Effect)
D) सीबैक प्रभाव (Seebeck Effect)

Q5. एक-विमीय आवर्ती विभव में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार की व्याख्या करने वाले क्रोनिंग-पेनी मॉडल से किस महत्वपूर्ण अवधारणा की उत्पत्ति होती है?

A) केवल मुक्त इलेक्ट्रॉन अवस्था
B) ऊर्जा पट्टियों (Energy Bands) और वर्जित ऊर्जा अंतराल
C) केवल जालक कंपनों की
D) अतिचालकता की

Q6. किसी P-टाइप अर्धचालक के लिए हॉल गुणांक (R_H) का चिह्न कैसा होता है?

A) ऋणात्मक (Negative)
B) धनात्मक (Positive)
C) शून्य (Zero)
D) समय के साथ बदलता रहता है

Q7. ब्रैग के एक्स-रे विवर्तन नियम (Bragg’s Law) का सही समीकरण क्या है?

A) d sinθ = nλ
B) 2d sinθ = nλ
C) 2d cosθ = nλ
D) d cosθ = 2nλ

Q8. ठोसों की विशिष्ट ऊष्मा के डिबाई मॉडल के अनुसार, अत्यधिक निम्न ताप (T → 0) पर विशिष्ट ऊष्मा C_v का तापमान के साथ क्या संबंध होता है?

A) C_v ∝ T
B) C_v ∝ T²
C) C_v ∝ T³
D) C_v = Constant

Q9. FCC (Face Centered Cubic) क्रिस्टल संरचना के व्युत्क्रम जालक (Reciprocal Lattice) की संरचना कैसी होती है?

A) SC (Simple Cubic)
B) BCC (Body Centered Cubic)
C) FCC (Face Centered Cubic)
D) HCP (Hexagonal Close Packed)

Q10. लौह-चुंबकीय पदार्थों के लिए क्यूरी-वेस नियम के अनुसार चुंबकीय प्रवृत्ति (χ) का सूत्र क्या है? (जहाँ T > T_C)

A) χ = C / T
B) χ = C / (T – T_C)
C) χ = C / (T + T_C)
D) χ = C (T – T_C)

Solid State Physics – Practice Se (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: A) 52%, 68%, 74%

हल: क्रिस्टल संरचनाओं के लिए पैकिंग दक्षता (Atomic Packing Factor) का मान: Simple Cubic (SC) = 52.4%, Body Centered Cubic (BCC) = 68%, तथा Face Centered Cubic (FCC) = 74% होता है।

Q2. उत्तर: D) 1 : 1/2 : 1/3

हल: मिलर सूचकांक (h, k, l) अंतःखंडों के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। इसलिए अंतःखंडों का अनुपात 1/h : 1/k : 1/l = 1/1 : 1/2 : 1/3 होता है।

Q3. उत्तर: C) 1

हल: फर्मी-ड्रैक वितरण फलन f(E) = 1 / [exp((E – E_F)/kT) + 1] होता है। T = 0 K पर, E < E_F के लिए exp(-&infty;) = 0 प्राप्त होता है, जिससे f(E) = 1/1 = 1 होता है (अर्थात् सभी अवस्थाएँ पूर्णतः भरी होती हैं)।

Q4. उत्तर: B) माइस्नर प्रभाव (Meissner Effect)

हल: जब किसी अतिचालक पदार्थ को उसके क्रांतिक ताप T_C से नीचे ठंडा किया जाता है, तो वह अपने अंदर से चुंबकीय बल रेखाओं को निष्कासित कर देता है (B = 0), इसे **माइस्नर प्रभाव** कहते हैं।

Q5. उत्तर: B) ऊर्जा पट्टियों (Energy Bands) और वर्जित ऊर्जा अंतराल

हल: क्रोनिंग-पेनी मॉडल एक-विमीय जालक में आवर्ती विभव (Periodic Potential) की उपस्थिति में ब्लॉक प्रमेय लागू करके ठोसों में ऊर्जा पट्टियों (Allowed and Forbidden Energy Bands) के बनने की सफल व्याख्या करता है।

Q6. उत्तर: B) धनात्मक (Positive)

हल: हॉल गुणांक R_H = 1 / (n · q) होता है। P-टाइप अर्धचालक के लिए मुख्य आवेश वाहक धनात्मक होल्स (p) होते हैं, इसलिए R_H का मान धनात्मक होता है।

Q7. उत्तर: B) 2d sinθ = nλ

हल: क्रिस्टल तलों से एक्स-रे के संपोषी व्यतिकरण (Constructive Interference) के लिए ब्रैग का नियम 2d sinθ = nλ दिया जाता है, जहाँ d तलों के बीच की दूरी है।

Q8. उत्तर: C) C_v ∝ T³

हल: डिबाई मॉडल के अनुसार अत्यधिक निम्न ताप पर ठोसों में केवल दीर्घ तरंगदैर्ध्य के फोनॉन उत्तेजित होते हैं, जिससे आयतन-स्थिर विशिष्ट ऊष्मा C_v तापमान के घन के समानुपाती (C_v ∝ T³) होती है।

Q9. उत्तर: B) BCC (Body Centered Cubic)

हल: व्युत्क्रम जालक (Reciprocal Lattice) की परिभाषा के अनुसार: FCC जालक का व्युत्क्रम जालक BCC जालक होता है, तथा BCC जालक का व्युत्क्रम जालक FCC होता है।

Q10. उत्तर: B) χ = C / (T – T_C)

हल: क्यूरी-ताप T_C से अधिक तापमान (T > T_C) पर लौह-चुंबकीय पदार्थ अनुचुंबकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, और उनकी चुंबकीय प्रवृत्ति χ = C / (T – T_C) के अनुसार बदलती है (इसे क्यूरी-वेस नियम कहते हैं)।

Condensed Matter Physics / Solid State Physics – Set 3

Q1. एक फलक केंद्रित घनीय (FCC) क्रिस्टल जालक में परमाण्विक त्रिज्या r और जालक नियतांक (Lattice Parameter) a के बीच सही संबंध क्या है?
(A) a = 2r
(B) a = 2√2 r
(C) a = 4r / √3
(D) a = 4r

Q2. ब्रैग के नियम (Bragg’s Law) 2d sinθ = nλ के अनुसार, प्रथम क्रम (n = 1) के विवर्तन (Diffraction) के लिए तरंगदैर्घ्य λ और तल दूरी (Interplanar spacing) d के बीच क्या प्रतिबंध होना चाहिए?
(A) λ > 2d
(B) λ ≤ 2d
(C) λ = d / 2
(D) λ > d

Q3. क्रिस्टल संरचना के व्युत्क्रम जालक (Reciprocal Lattice) के संदर्भ में, BCC (Body-Centered Cubic) जालक का व्युत्क्रम जालक कैसा होता है?
(A) Simple Cubic (SC)
(B) Body-Centered Cubic (BCC)
(C) Face-Centered Cubic (FCC)
(D) Hexagonal Close-Packed (HCP)

Q4. डुलांग-पेटिट नियम (Dulong-Petit Law) के अनुसार, उच्च तापमान पर ठोसों की मोलर विशिष्ट ऊष्मा (Molar Specific Heat, C_v) का मान कितना होता है?
(A) R
(B) 2R
(C) 3R
(D) 3/2 R

Q5. फ्री इलेक्ट्रॉन गैस मॉडल के अनुसार, 0 K तापमान पर फर्मी ऊर्जा E_F इलेक्ट्रॉन घनत्व n पर किस प्रकार निर्भर करती है?
(A) E_F ∝ n^1/3
(B) E_F ∝ n^2/3
(C) E_F ∝ n
(D) E_F ∝ n^3/2

Q6. क्रोनिग-पेनी मॉडल (Kronig-Penney Model) में जब विभव कूप की सामर्थ्य (Potential Barrier Strength) P → ∞ हो जाती है, तो इलेक्ट्रॉन का ऊर्जा बैंड किसमें बदल जाता है?
(A) सतत ऊर्जा बैंड (Continuous Energy Band)
(B) असतत (विविक्त) ऊर्जा स्तर (Discrete Energy Levels)
(C) चालकता बैंड (Conduction Band)
(D) अतिचालक अवस्था (Superconducting State)

Q7. हॉल प्रभाव (Hall Effect) के प्रयोग में यदि हॉल गुणांक R_H का मान ऋणात्मक (Negative) प्राप्त होता है, तो आवेश वाहक (Charge Carriers) मुख्य रूप से कौन से हैं?
(A) होल (Holes)
(B) इलेक्ट्रॉन (Electrons)
(C) प्रोटॉन (Protons)
(D) आयन (Ions)

Q8. अतिचालकता (Superconductivity) में माइसनर प्रभाव (Meissner Effect) क्या दर्शाता है?
(A) अतिचालक पदार्थ पूर्ण रूप से अनुचुंबकीय (Paramagnetic) होते हैं।
(B) अतिचालक पदार्थ पूर्ण रूप से प्रतिचुंबकीय (Perfect Diamagnetic, B = 0) होते हैं।
(C) प्रतिरोध पूर्णतः शून्य नहीं होता।
(D) चुंबकन तीव्रता का मान अनंत होता है।

Q9. अतिचालकता के BCS सिद्धांत के अनुसार, इलेक्ट्रॉनों के बीच आकर्षक बल (Attractive Interaction) किसके विनिमय (Exchange) के कारण उत्पन्न होता है?
(A) फोटॉन (Photon)
(B) फोनॉन (Phonon)
(C) मैग्नॉन (Magnon)
(D) पॉज़िट्रॉन (Positron)

Q10. फेरोमैग्नेटिक (लौह-चुंबकीय) पदार्थों के लिए क्यूरी-वेइस नियम (Curie-Weiss Law) के अनुसार चुंबकीय सुग्राहिता χ का सही सूत्र क्या है? (जहाँ T > T_C)
(A) χ = C / T
(B) χ = C / (T – T_C)
(C) χ = C / (T + T_C)
(D) χ = C (T – T_C)

Condensed Matter Physics Detailed Solution

Q1. सही उत्तर: (B) a = 2√2 r
व्याख्या: FCC जालक में परमाणु फलक के विकर्ण (Face Diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। फलक विकर्ण की लंबाई = √2 a = 4r ⇒ a = 4r / √2 = 2√2 r।

Q2. सही उत्तर: (B) λ ≤ 2d
व्याख्या: ब्रैग समीकरण 2d sinθ = nλ है। प्रथम क्रम (n = 1) के लिए sinθ = λ / 2d। चूँकि sinθ ≤ 1 होता है, अतः λ / 2d ≤ 1 ⇒ λ ≤ 2d होना आवश्यक है।

Q3. सही उत्तर: (C) Face-Centered Cubic (FCC)
व्याख्या: BCC क्रिस्टल जालक का व्युत्क्रम जालक (Reciprocal Lattice) FCC होता है, और FCC का व्युत्क्रम जालक BCC होता है।

Q4. सही उत्तर: (C) 3R
व्याख्या: डुलांग-पेटिट नियम के अनुसार, उच्च ताप पर ठोसों में परमाणुओं की 3 त्रिविमीय दोलनों के कारण प्रति मोल स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा C_v = 3R ≈ 6 cal/mol·K होती है।

Q5. सही उत्तर: (B) E_F ∝ n^2/3
व्याख्या: त्रिविमीय मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस के लिए फर्मी ऊर्जा का सूत्र E_F = (ℏ² / 2m) (3π²n)^2/3 होता है, जिससे स्पष्ट है कि E_F ∝ n^2/3।

Q6. सही उत्तर: (B) असतत (विविक्त) ऊर्जा स्तर (Discrete Energy Levels)
व्याख्या: जब विभव रोधिका सामर्थ्य P → ∞ हो जाती है, तो इलेक्ट्रॉन पूरी तरह से विभव कूप में परिबद्ध (Bound) हो जाता है, जिससे ऊर्जा बैंड सिकुड़कर विविक्त (Discrete) रेखाओं में बदल जाते हैं।

Q7. सही उत्तर: (B) इलेक्ट्रॉन (Electrons)
व्याख्या: हॉल गुणांक R_H = 1 / (n q) होता है। इलेक्ट्रॉनों के लिए आवेश q = -e होने के कारण R_H ऋणात्मक होता है। (होल के लिए यह धनात्मक होता है)।

Q8. सही उत्तर: (B) अतिचालक पदार्थ पूर्ण रूप से प्रतिचुंबकीय (Perfect Diamagnetic, B = 0) होते हैं।
व्याख्या: माइसनर प्रभाव के अनुसार, जब किसी अतिचालक को उसके संक्रमण ताप T_c से नीचे ठंडा किया जाता है, तो वह अपने अंदर से चुंबकीय बल रेखाओं को पूर्णतः बाहर निष्कासित कर देता है (B = 0)।

Q9. सही उत्तर: (B) फोनॉन (Phonon)
व्याख्या: BCS सिद्धांत में, दो इलेक्ट्रॉन जालक कंपनों (Lattice Vibrational Quanta अर्थात Phonons) के विनिमय द्वारा परस्पर क्रिया करके कुपर युग्म (Cooper Pairs) बनाते हैं।

Q10. सही उत्तर: (B) χ = C / (T – T_C)
व्याख्या: क्यूरी-तापमान (T_C) से अधिक तापमान पर लौह-चुंबकीय पदार्थ अनुचुंबकीय की तरह व्यवहार करते हैं और इनकी चुंबकीय सुग्राहिता χ = C / (T – T_C) होती है।

Solid State Physics / Condensed Matter Physics – Practice Set 4 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. फलक केंद्रित घनीय संरचना (Face-Centered Cubic / FCC Crystal Structure) की संकुलन क्षमता (Atomic Packing Factor) कितनी होती है?

(A) 52%
(B) 68%
(C) 74%
(D) 34%

प्रश्न 2. क्रिस्टल विज्ञान में ब्रैग के नियम (Bragg’s Law for X-ray diffraction) का सही समीकरण क्या है?

(A) 2d sinθ = nλ
(B) d sinθ = 2nλ
(C) 2d cosθ = nλ
(D) d cosθ = nλ

प्रश्न 3. एक सरल घनीय लैटिस (Simple Cubic Lattice) का प्रतिलोम लैटिस (Reciprocal Lattice) किस प्रकार की संरचना प्रस्तुत करता है?

(A) Body-Centered Cubic (BCC)
(B) Face-Centered Cubic (FCC)
(C) Simple Cubic (SC)
(D) Hexagonal Close-Packed (HCP)

प्रश्न 4. ठोसों की विशिष्ट ऊष्मा के लिए आइंस्टीन मॉडल के अनुसार, उच्च ताप (T ≫ T_E) पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा (Cv) का मान क्या होता है?

(A) R
(B) 3R
(C) (3/2)R
(D) 0

प्रश्न 5. फ्री इलेक्ट्रॉन गैस मॉडल के अनुसार, फर्मी ऊर्जा (E_F) और इलेक्ट्रॉन घनत्व (n) के बीच क्या संबंध होता है?

(A) E_F ∝ n¹/³
(B) E_F ∝ n²/³
(C) E_F ∝ n³/²
(D) E_F ∝ n²

प्रश्न 6. हॉल प्रभाव (Hall Effect) का मुख्य उपयोग निम्नलिखित में से क्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है?

(A) अर्धचालक के प्रकार (n-टाइप या p-टाइप) और आवेश वाहक घनत्व
(B) केवल पदार्थ का तापमान
(C) केवल क्रिस्टल का घनत्व
(D) केवल आपतित प्रकाश की तीव्रता

प्रश्न 7. क्रॉनिग-पेनी मॉडल (Kronig-Penney Model) में जब विभव प्राचीर का सामर्थ्य (P → ∞) अनंत हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा स्थिति कैसी हो जाती है?

(A) इलेक्ट्रॉन पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है
(B) इलेक्ट्रॉन एक बाउंड स्टेट (Discrete Energy Levels) में आ जाता है
(C) सभी ऊर्जा बैंड आपस में मिल जाते हैं
(D) ऊर्जा बैंड गैप शून्य हो जाता है

प्रश्न 8. एक निज अर्धचालक (Intrinsic Semiconductor) का फर्मी ऊर्जा स्तर (Fermi Level) परम शून्य ताप (T = 0 K) पर कहाँ स्थित होता है?

(A) केवल संयोजकता बैंड के अंदर
(B) केवल चालन बैंड के अंदर
(C) वर्जित ऊर्जा अंतराल (Forbidden Energy Gap) के ठीक मध्य में
(D) चालन बैंड के शीर्ष पर

प्रश्न 9. अतिचालकता (Superconductivity) में मीसनर प्रभाव (Meissner Effect) क्या दर्शाता है?

(A) अतिचालक अवस्था में चुंबकीय क्षेत्र का पूर्ण निष्कासन (B = 0, पूर्ण प्रतिचुंबकत्व)
(B) अतिचालक अवस्था में प्रतिरोध का अनंत होना
(C) चुंबकीय क्षेत्र का बढ़ना
(D) तापक्रम का तेजी से बढ़ना

प्रश्न 10. BCS सिद्धांत के अनुसार, अतिचालकता के लिए कौन से युग्म (Pairs) जिम्मेदार होते हैं?

(A) प्रोटॉन-प्रोटॉन युग्म
(B) इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्म (कूपर युग्म / Cooper Pairs)
(C) न्यूट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्म
(D) पॉज़िट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्म

Solid State Physics / Condensed Matter Physics – Practice Set 4 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (C) 74%
व्याख्या: FCC और HCP संरचनाओं का परमाणु संकुलन गुणांक (APF) सर्वाधिक 0.74 (या 74%) होता है। (Simple Cubic का 52% तथा BCC का 68% होता है)।

2. उत्तर: (A) 2d sinθ = nλ
व्याख्या: ब्रैग का नियम दर्शाता है कि X-किरणों के रचनात्मक व्यतिकरण (Constructive Interference) के लिए पथांतर 2d sinθ, तरंगदैर्घ्य के पूर्ण गुणज (nλ) के बराबर होना चाहिए।

3. उत्तर: (C) Simple Cubic (SC)
व्याख्या: Simple Cubic लैटिस का प्रतिलोम लैटिस भी Simple Cubic ही रहता है। जबकि BCC का प्रतिलोम FCC और FCC का प्रतिलोम BCC होता है।

4. उत्तर: (B) 3R
व्याख्या: उच्च ताप पर आइंस्टीन मॉडल और डिबाई मॉडल दोनों क्लासिकल डुलोंग-पेटिट नियम (Cv = 3R) में बदल जाते हैं।

5. उत्तर: (B) E_F ∝ n²/³
व्याख्या: 3D में फर्मी ऊर्जा सूत्र E_F = (ℏ² / 2m) · (3π²n)²/³ होता है, अतः फर्मी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन घनत्व n के 2/3 घात के समानुपाती (n²/³) होती है।

6. उत्तर: (A) अर्धचालक के प्रकार (n-टाइप या p-टाइप) और आवेश वाहक घनत्व
व्याख्या: हॉल गुणांक (R_H = 1/nq) के चिह्न से आवेश वाहक के प्रकार (इलेक्ट्रॉन या होल) का तथा इसके मान से वाहक सांद्रता n का पता चलता है।

7. उत्तर: (B) इलेक्ट्रॉन एक बाउंड स्टेट (Discrete Energy Levels) में आ जाता है
व्याख्या: जब विभव प्राचीर अनंत (P → ∞) हो जाती है, तो इलेक्ट्रॉन पोटेंशियल वेल में कैद हो जाता है, जिससे स्वीकृत ऊर्जा बैंड एक बिंदु (विविक्त ऊर्जा स्तर) में बदल जाते हैं।

8. उत्तर: (C) वर्जित ऊर्जा अंतराल (Forbidden Energy Gap) के ठीक मध्य में
व्याख्या: शुद्ध/निज अर्धचालक में मुक्त इलेक्ट्रॉनों और होलों की संख्या बराबर होती है, इसलिए फर्मी स्तर E_F ठीक संयोजकता बैंड (Ev) और चालन बैंड (Ec) के बीचों-बीच स्थित होता है।

9. उत्तर: (A) अतिचालक अवस्था में चुंबकीय क्षेत्र का पूर्ण निष्कासन (B = 0, पूर्ण प्रतिचुंबकत्व)
व्याख्या: जब किसी पदार्थ को उसके क्रांतिक ताप T_c से नीचे ठंडा करके अतिचालक अवस्था में लाया जाता है, तो वह अपने भीतर से चुंबकीय बल रेखाओं को पूरी तरह बाहर धकेल देता है (B = 0), जिसे मीसनर प्रभाव कहते हैं।

10. उत्तर: (B) इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन युग्म (कूपर युग्म / Cooper Pairs)
व्याख्या: BCS सिद्धांत के अनुसार, फोनॉन अन्योन्यक्रिया के माध्यम से दो इलेक्ट्रॉन विपरीत चक्रण और संवेग के साथ मिलकर ‘कूपर युग्म’ बनाते हैं जो बिना किसी प्रतिरोध के प्रवाहित होते हैं।

Solid State Physics / Condensed Matter Physics – Practice Set 5 (महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न)

प्रश्न 1. क्रिस्टल तल (Crystal Planes) के लिए मिलर सूचकांक (Miller Indices) (hkl) और अंतःखंडों (Intercepts a, b, c) के बीच सही संबंध क्या होता है?

(A) मिलर सूचकांक अंतःखंडों के अनुपातों के सीधे समानुपाती होते हैं
(B) मिलर सूचकांक अंतःखंडों के अनुपातों के व्युत्क्रमानुपाती (Reciprocal) होते हैं
(C) मिलर सूचकांक का मान हमेशा शून्य होता है
(D) मिलर सूचकांक का अंतःखंडों से कोई संबंध नहीं होता

प्रश्न 2. एक घनीय (Cubic) क्रिस्टल में (hkl) तलों के बीच की दूरी (d_hkl) का सूत्र क्या होता है (जहाँ a जालक नियतांक है)?

(A) d_hkl = a / √(h² + k² + l²)
(B) d_hkl = a √(h² + k² + l²)
(C) d_hkl = √(h² + k² + l²) / a
(D) d_hkl = a² / (h + k + l)

प्रश्न 3. ठोसों में विशिष्ट ऊष्मा के लिए डिबाई मॉडल (Debye Model) के अनुसार, निम्न ताप (T ≪ T_D) पर विशिष्ट ऊष्मा (Cv) ताप T पर किस प्रकार निर्भर करती है?

(A) Cv ∝ T
(B) Cv ∝ T²
(C) Cv ∝ T³
(D) Cv ∝ 1/T

प्रश्न 4. प्रतिचुंबकीय पदार्थों (Diamagnetic Materials) की चुंबकीय सुग्राह्यता (Magnetic Susceptibility, χ) कैसी होती है?

(A) धनात्मक और बहुत अधिक
(B) ऋणात्मक और ताप पर लगभग अनिर्भर (Negative & temperature independent)
(C) शून्य
(D) धनात्मक और ताप के व्युत्क्रमानुपाती

प्रश्न 5. अनुचुंबकीय पदार्थों (Paramagnetic Materials) के लिए क्यूरी का नियम (Curie’s Law) सही रूप में क्या दर्शाता है?

(A) χ ∝ T
(B) χ ∝ 1/T
(C) χ ∝ T²
(D) χ ताप पर निर्भर नहीं करता

प्रश्न 6. जब किसी क्रिस्टल में कोई आयन अपने मूल जालक स्थान को छोड़कर अंतराकाशी स्थान (Interstitial site) में चला जाता है, तो इस प्रकार के दोष को क्या कहते हैं?

(A) शॉटकी दोष (Schottky Defect)
(B) फ्रेंकेल दोष (Frankel Defect)
(C) F-केंद्र दोष (F-Center)
(D) अशुद्धि दोष (Impurity Defect)

प्रश्न 7. F-केंद्र (F-Centers / Colour Centers) का मुख्य कारण क्या होता है?

(A) ऋणायन की रिक्ति में इलेक्ट्रॉन का फँसना (Anion vacancy trapped by an electron)
(B) धनायन का गायब होना
(C) अतिरिक्त प्रोटॉन का आना
(D) तापमान में अत्यधिक वृद्धि

प्रश्न 8. एक p-n संधि डायोड में ह्रासी परत (Depletion Region) में मुख्य रूप से कौन उपस्थित होते हैं?

(A) केवल मुक्त इलेक्ट्रॉन
(B) केवल होल (Holes)
(C) केवल निश्चल आयन (Immobile Ions)
(D) इलेक्ट्रॉन और होल दोनों का अत्यधिक घनत्व

प्रश्न 9. अतिचालक पदार्थों में क्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र (H_c) और तापमान (T) के बीच संबंध किस समीकरण द्वारा दिया जाता है?

(A) H_c(T) = H_c(0) [1 – (T/T_c)²]
(B) H_c(T) = H_c(0) [1 + (T/T_c)²]
(C) H_c(T) = H_c(0) (T/T_c)
(D) H_c(T) = 0

प्रश्न 10. प्रथम ब्रिलुआं क्षेत्र (First Brillouin Zone) किस लैटिस की सीमा (Boundary) को निरूपित करता है?

(A) प्रत्यक्ष लैटिस (Direct Lattice)
(B) प्रतिलोम लैटिस (Reciprocal Lattice)
(C) केवल अक्रिस्टलीय ठोस
(D) द्रव लैटिस

Solid State Physics / Condensed Matter Physics – Practice Set 5 (विस्तृत उत्तर एवं व्याख्या)

1. उत्तर: (B) मिलर सूचकांक अंतःखंडों के अनुपातों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं
व्याख्या: मिलर सूचकांक ज्ञात करने के लिए क्रिस्टल अक्षों पर अंतःखंडों (Intercepts) का अनुपात लेकर उनके व्युत्क्रम (Reciprocals) निकाले जाते हैं और फिर उन्हें पूर्णांक में बदला जाता है।

2. उत्तर: (A) d_hkl = a / √(h² + k² + l²)
व्याख्या: घनीय क्रिस्टल में दो समानांतर (hkl) तलों के बीच की लंबवत दूरी d = a / √(h² + k² + l²) होती है।

3. उत्तर: (C) Cv ∝ T³
व्याख्या: डिबाई के नियम (Debye T³ Law) के अनुसार, अत्यधिक निम्न ताप पर ठोसों की विशिष्ट ऊष्मा परम ताप T के घन (Cube) के समानुपाती होती है (Cv ∝ T³)।

4. उत्तर: (B) ऋणात्मक और ताप पर लगभग अनिर्भर
व्याख्या: प्रतिचुंबकीय पदार्थों (Diamagnetic materials) की चुंबकीय सुग्राह्यता छोटी, ऋणात्मक होती है और यह तापमान से प्रभावित नहीं होती।

5. उत्तर: (B) χ ∝ 1/T
व्याख्या: क्यूरी नियम के अनुसार, अनुचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय सुग्राह्यता परम ताप T के व्युत्क्रमानुपाती होती है (χ = C/T)।

6. उत्तर: (B) फ्रेंकेल दोष (Frankel Defect)
व्याख्या: फ्रेंकेल दोष में एक आयन (सामान्यतः छोटा धनायन) अपने जालक बिंदु से हटकर अंतराकाशी स्थान में चला जाता है। (जबकि शॉटकी दोष में धनायन और ऋणायन दोनों जालक छोड़कर बाहर चले जाते हैं)।

7. उत्तर: (A) ऋणायन की रिक्ति में इलेक्ट्रॉन का फँसना
व्याख्या: जब धातु आधिक्य दोष के कारण ऋणात्मक आयन अपनी जगह छोड़ देता है और उसकी जगह कोई इलेक्ट्रॉन फँस जाता है, तो F-केंद्र बनता है जो क्रिस्टल को रंग प्रदान करता है।

8. उत्तर: (C) केवल निश्चल आयन (Immobile Ions)
व्याख्या: p-n संधि के ह्रासी क्षेत्र में मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन व होल) पुनर्योजित हो जाते हैं, जिससे केवल स्थिर/निश्चल दाता और ग्राहक आयन ही बचते हैं।

9. उत्तर: (A) H_c(T) = H_c(0) [1 – (T/T_c)²]
व्याख्या: ताप T बढ़ाने पर अतिचालकता बनाए रखने के लिए आवश्यक क्रांतिक चुंबकीय क्षेत्र घटता है और T = T_c पर H_c = 0 हो जाता है।

10. उत्तर: (B) प्रतिलोम लैटिस (Reciprocal Lattice)
व्याख्या: प्रतिलोम जालक (Reciprocal Lattice) में विग्नर-सीट्ज़ सेल (Wigner-Seitz Cell) को ही प्रथम ब्रिलुआं क्षेत्र (First Brillouin Zone) कहा जाता है।