Q1 Solution:

सही उत्तर: C) अनन्त ($$\infty$$)

विस्तृत हल:
हाइजनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत (Uncertainty Principle) के अनुसार:
$$\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$
यदि स्थिति में अनिश्चितता पूर्णतः शून्य है ($$\Delta x = 0$$), तो संवेग में अनिश्चितता:
$$\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} = \frac{\hbar}{2 \times 0} \to \infty$$
अर्थात कण का संवेग पूरी तरह से अनिश्चित (Infinite) हो जाता है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$

विस्तृत हल:
L चौड़ाई के 1D अनन्त विभव कूप (Infinite Potential Well) में कण की n-वें स्तर की ऊर्जा का सूत्र:
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$
मूल अवस्था (Ground State) के लिए n = 1 रखने पर:
$$E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$

Q3 Solution:

सही उत्तर: C) $$\frac{1}{2} \hbar \omega$$

विस्तृत हल:
1D क्वांटम अनावर्ती दोलक (Harmonic Oscillator) की ऊर्जा स्तर:
$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$
मूल अवस्था या शून्य बिंदु ऊर्जा (Zero Point Energy, n=0) पर:
$$E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega$$

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) हर्मिटियन (Hermitian)

विस्तृत हल:
क्वांटम यांत्रिकी में प्रत्येक भौतिक प्रेक्षणीय राशि (Observable जैसे स्थिति, संवेग, ऊर्जा आदि) के संगत ऑपरेटर हर्मिटियन होना अनिवार्य है, क्योंकि हर्मिटियन ऑपरेटरों के आईगेन मान (Eigenvalues) सदैव **वास्तविक (Real)** प्राप्त होते हैं, जिन्हें प्रयोगों में मापा जा सकता है।

Q5 Solution:

सही उत्तर: A) $$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

विस्तृत हल:
स्थिति निरूपण (Position Representation) में संवेग ऑपरेटर (Momentum Operator) को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$$\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$
जहाँ $$\hbar = \frac{h}{2\pi}$$ और $$i = \sqrt{-1}$$ है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: C) $$i\hbar$$

विस्तृत हल:
कम्यूटर सम्बन्ध की परिभाषा $$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = (\hat{x}\hat{p}_x – \hat{p}_x\hat{x})\Psi$$ से:
$$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = x \left(-i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right) – \left(-i\hbar \frac{\partial (x\Psi)}{\partial x}\right)$$
$$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = -i\hbar x \frac{\partial \Psi}{\partial x} + i\hbar \left( \Psi + x \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) = i\hbar \Psi$$
अतः $$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$$

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) दोनों प्रेक्षणीय राशियों को एक साथ यथार्थता (Simultaneously with precision) से मापा जा सकता है

विस्तृत हल:
यदि दो हर्मिटियन ऑपरेटर A और B कम्युट करते हैं ([A, B] = 0), तो उनके **साझा आईगेन फलन (Simultaneous Eigenstates)** का अस्तित्व होता है। इसका तात्पर्य यह है कि दोनों से सम्बद्ध भौतिक राशियों का मापन एक ही समय पर पूर्ण यथार्थता के साथ किया जा सकता है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) असमित (Anti-symmetric)

विस्तृत हल:
पॉली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार, आधा-पूर्णांक स्पिन (Half-integer spin like $$1/2, 3/2$$) वाले फर्मिऑनों के दो कणों के स्थानों/स्पिन के विनिमय (Exchange) करने पर कुल तरंग फलन का चिह्न बदल जाता है:
$$\Psi(1, 2) = -\Psi(2, 1)$$
अर्थात फर्मिऑनों के लिए कुल तरंग फलन असमित (Anti-symmetric) होता है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: C) 1

विस्तृत हल:
क्वांटम यांत्रिकी की प्रायिकता व्याख्या (Born’s Probability Interpretation) के अनुसार, सम्पूर्ण आकाश में कण के पाए जाने की कुल प्रायिकता 100% अर्थात 1 होनी चाहिए।
इसीलिए सामान्यीकरण शर्त (Normalization Condition) निम्न होती है:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2 dx = 1$$

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$i\hbar \hat{L}_z$$

विस्तृत हल:
कोणीय संवेग के घटकों के बीच चक्रीय कम्युटेटर सम्बन्ध (Cyclic Commutation Relations) का पालन होता है:
1. $$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$$
2. $$[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x$$
3. $$[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y$$