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Quantum Mechanics Practice Test | CG SET & PGT Physics

Quantum Mechanics Practice set – 01

Q1. हाइजनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, यदि किसी कण की स्थिति में अनिश्चितता शून्य ($$\Delta x = 0$$) हो, तो उसके संवेग में अनिश्चितता ($$\Delta p$$) का मान कितना होगा?

A) 0
B) $$\frac{\hbar}{2}$$
C) अनन्त ($$\infty$$)
D) 1

Q3. L चौड़ाई के 1D अनन्त विभव कूप (Infinite Potential Well) में बंद m द्रव्यमान के कण के लिए मूल अवस्था (Ground State) की ऊर्जा का मान क्या होता है?

A) 0
B) $$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$
C) $$\frac{\pi^2 \hbar^2}{m L^2}$$
D) $$\frac{2 \pi^2 \hbar^2}{m L^2}$$

Q3. एक विमीय क्वांटम हर्मिटियन दोलक (1D Quantum Harmonic Oscillator) की शून्य बिंदु ऊर्जा (Zero Point Energy) कितनी होती है?

A) 0
B) $$\hbar \omega$$
C) $$\frac{1}{2} \hbar \omega$$
D) $$\frac{3}{2} \hbar \omega$$

Q4. क्वांटम यांत्रिकी में किसी भौतिक रूप से प्रेक्षणीय राशि (Physically Observable Quantity) के संगत ऑपरेटर को सदैव कैसा होना चाहिए?

A) एकात्मक (Unitary)
B) हर्मिटियन (Hermitian)
C) विषम-हर्मिटियन (Anti-Hermitian)
D) सम्मिश्र (Complex)

Q5. संवेग ऑपरेटर $$\hat{p}_x$$ का सही गणितीय रूप क्या है?

A) $$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$
B) $$i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$
C) $$-\hbar \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$
D) $$\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

Q6. कम्यूटर सम्बन्ध $$[\hat{x}, \hat{p}_x]$$ का मान क्या होता है?

A) 0
B) 1
C) $$i\hbar$$
D) $$-i\hbar$$

Q7. दो हर्मिटियन ऑपरेटरों A और B के कम्युट करने ([A, B] = 0) का क्या अर्थ होता है?

A) दोनों के आईगेन मान (Eigenvalues) समान हैं
B) दोनों प्रेक्षणीय राशियों को एक साथ यथार्थता (Simultaneously with precision) से मापा जा सकता है
C) दोनों ऑपरेटर शून्य हैं
D) तरंग फलन शून्य हो जाता है

Q8. पॉल के अपवर्जन सिद्धांत (Pauli Exclusion Principle) के अनुसार, दो समान फर्मिऑनों (Fermions) के लिए कुल तरंग फलन (Total Wavefunction) कैसा होना चाहिए?

A) सममित (Symmetric)
B) असमित (Anti-symmetric)
C) वास्तविक (Real)
D) शून्य

Q9. किसी सामान्यीकृत तरंग फलन (Normalized Wavefunction) $$\Psi(x, t)$$ के लिए $$\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2 dx$$ का मान कितना होना चाहिए?

A) 0
B) $$\infty$$
C) 1
D) $$\frac{1}{2}$$

Q10. यदि कोणीय संवेग ऑपरेटरों के लिए $$[\hat{L}_x, \hat{L}_y]$$ का मान निकाला जाए, तो वह किसके बराबर होगा?

A) $$i\hbar \hat{L}_z$$
B) $$-i\hbar \hat{L}_z$$
C) 0
D) $$i\hbar \hat{L}_x$$

Quantum Mechanics Practice Set – 01 : Detailed Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: C) अनन्त ($$\infty$$)

विस्तृत हल:
हाइजनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत (Uncertainty Principle) के अनुसार:
$$\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$
यदि स्थिति में अनिश्चितता पूर्णतः शून्य है ($$\Delta x = 0$$), तो संवेग में अनिश्चितता:
$$\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} = \frac{\hbar}{2 \times 0} \to \infty$$
अर्थात कण का संवेग पूरी तरह से अनिश्चित (Infinite) हो जाता है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: B) $$\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$

विस्तृत हल:
L चौड़ाई के 1D अनन्त विभव कूप (Infinite Potential Well) में कण की n-वें स्तर की ऊर्जा का सूत्र:
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$
मूल अवस्था (Ground State) के लिए n = 1 रखने पर:
$$E_1 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$

Q3 Solution:

सही उत्तर: C) $$\frac{1}{2} \hbar \omega$$

विस्तृत हल:
1D क्वांटम अनावर्ती दोलक (Harmonic Oscillator) की ऊर्जा स्तर:
$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$
मूल अवस्था या शून्य बिंदु ऊर्जा (Zero Point Energy, n=0) पर:
$$E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega$$

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) हर्मिटियन (Hermitian)

विस्तृत हल:
क्वांटम यांत्रिकी में प्रत्येक भौतिक प्रेक्षणीय राशि (Observable जैसे स्थिति, संवेग, ऊर्जा आदि) के संगत ऑपरेटर हर्मिटियन होना अनिवार्य है, क्योंकि हर्मिटियन ऑपरेटरों के आईगेन मान (Eigenvalues) सदैव **वास्तविक (Real)** प्राप्त होते हैं, जिन्हें प्रयोगों में मापा जा सकता है।

Q5 Solution:

सही उत्तर: A) $$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

विस्तृत हल:
स्थिति निरूपण (Position Representation) में संवेग ऑपरेटर (Momentum Operator) को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$$\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$
जहाँ $$\hbar = \frac{h}{2\pi}$$ और $$i = \sqrt{-1}$$ है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: C) $$i\hbar$$

विस्तृत हल:
कम्यूटर सम्बन्ध की परिभाषा $$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = (\hat{x}\hat{p}_x – \hat{p}_x\hat{x})\Psi$$ से:
$$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = x \left(-i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}\right) – \left(-i\hbar \frac{\partial (x\Psi)}{\partial x}\right)$$
$$[\hat{x}, \hat{p}_x] \Psi = -i\hbar x \frac{\partial \Psi}{\partial x} + i\hbar \left( \Psi + x \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) = i\hbar \Psi$$
अतः $$[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar$$

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) दोनों प्रेक्षणीय राशियों को एक साथ यथार्थता (Simultaneously with precision) से मापा जा सकता है

विस्तृत हल:
यदि दो हर्मिटियन ऑपरेटर A और B कम्युट करते हैं ([A, B] = 0), तो उनके **साझा आईगेन फलन (Simultaneous Eigenstates)** का अस्तित्व होता है। इसका तात्पर्य यह है कि दोनों से सम्बद्ध भौतिक राशियों का मापन एक ही समय पर पूर्ण यथार्थता के साथ किया जा सकता है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) असमित (Anti-symmetric)

विस्तृत हल:
पॉली अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार, आधा-पूर्णांक स्पिन (Half-integer spin like $$1/2, 3/2$$) वाले फर्मिऑनों के दो कणों के स्थानों/स्पिन के विनिमय (Exchange) करने पर कुल तरंग फलन का चिह्न बदल जाता है:
$$\Psi(1, 2) = -\Psi(2, 1)$$
अर्थात फर्मिऑनों के लिए कुल तरंग फलन असमित (Anti-symmetric) होता है।

Q9 Solution:

सही उत्तर: C) 1

विस्तृत हल:
क्वांटम यांत्रिकी की प्रायिकता व्याख्या (Born’s Probability Interpretation) के अनुसार, सम्पूर्ण आकाश में कण के पाए जाने की कुल प्रायिकता 100% अर्थात 1 होनी चाहिए।
इसीलिए सामान्यीकरण शर्त (Normalization Condition) निम्न होती है:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x, t)|^2 dx = 1$$

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$i\hbar \hat{L}_z$$

विस्तृत हल:
कोणीय संवेग के घटकों के बीच चक्रीय कम्युटेटर सम्बन्ध (Cyclic Commutation Relations) का पालन होता है:
1. $$[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z$$
2. $$[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x$$
3. $$[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y$$

Quantum Mechanics – Practice Set 02

Q1. यदि किसी कण की स्थिति Δx और उसके संवेग Δp की अनिश्चितता का गुणनफल लिया जाए, तो हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार न्यूनतम मान क्या होगा?

A) ℏ
B) ℏ / 2
C) 2ℏ
D) 0

Q2. L चौड़ाई के 1-विमीय अनंत विभव कूप (1D Infinite Potential Well) में बंद कण की न्यूनतम (Ground State) ऊर्जा क्या होगी?

A) (π² ℏ²) / (2m L²)
B) (π² ℏ²) / (m L²)
C) (2π² ℏ²) / (m L²)
D) 0

Q3. पाऊली के स्पिन आव्यूह (Pauli Spin Matrices) σ_x, σ_y, σ_z के लिए उनका कम्यूटर संबंध [σ_x, σ_y] क्या होता है?

A) 2i σ_z
B) i σ_z
C) 0
D) -σ_z

Q4. एक-विमीय सरल आवर्त दोलक (1D Simple Harmonic Oscillator) की न्यूनतम (Ground State) अवस्था में ऊर्जा कितनी होती है?

A) 0
B) ℏω
C) (1/2)ℏω
D) (3/2)ℏω

Q5. क्वांटम यांत्रिकी में किसी भौतिक परिमाण (Physical Observable) को निरूपित करने वाले ऑपरेटर (Operator) का स्वभाव कैसा होना चाहिए?

A) एकात्मक (Unitary)
B) हर्मिशियन (Hermitian)
C) सम्मिश्र (Complex)
D) अविकार्य (Projection)

Q6. यदि किसी कण का तरंग फलन ψ(x) है, तो उस स्थान पर कण के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (Probability Density) क्या होती है?

A) ψ(x)
B) ψ²(x)
C) |ψ(x)|²
D) 1 / ψ(x)

Q7. कोणीय संवेग ऑपरेटर (Angular Momentum Operators) L_x और L_y का कम्यूटेशन संबंध [L_x, L_y] क्या होगा?

A) i ℏ L_z
B) -i ℏ L_z
C) ℏ L_z
D) 0

Q8. एक-विमीय विभव रोधिका (1D Potential Barrier) से टकराने पर यदि कण की ऊर्जा E < V₀ हो, तो उसके पार जाने की परिघटना को क्या कहते हैं?

A) फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव
B) क्वांटम टनलिंग (Quantum Tunneling)
C) कॉम्पटन प्रभाव
D) ज़ीमैन प्रभाव

Q9. प्रथम कोटि की गैर-अपभ्रष्ट काल-मुक्त प्रक्षोभ सिद्धांत (1st Order Non-Degenerate Time-Independent Perturbation Theory) में ऊर्जा का प्रथम कोटि संशोधन E_n⁽¹⁾ किसके बराबर होता है?

A) 〈ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾〉
B) 〈ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_m⁽⁰⁾〉
C) 〈ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾〉 / E_n⁽⁰⁾
D) 0

Q10. किसी निकाय के तरंग फलन ψ(x, t) के लिए समय-आधारित श्रोडिंगर समीकरण (Time-Dependent Schrödinger Equation) कौन सा है?

A) Hψ = Eψ
B) iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ
C) ℏ (∂ψ/∂t) = Hψ
D) -iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

Quantum Mechanics – Practice Set 02 (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: B) ℏ / 2

हल: हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, स्थिति और संवेग की अनिश्चितता का गुणनफल Δx ċ Δp ≥ ℏ/2 होता है। इसलिए न्यूनतम मान ℏ/2 होगा।

Q2. उत्तर: A) (π² ℏ²) / (2m L²)

हल: 1D अनंत विभव कूप में ऊर्जा स्तर E_n = (n² π² ℏ²) / (2m L²) होता है। न्यूनतम ऊर्जा (Ground State, n = 1) के लिए E₁ = (π² ℏ²) / (2m L²) प्राप्त होता है।

Q3. उत्तर: A) 2i σ_z

हल: पाऊली स्पिन आव्यूह (Pauli Spin Matrices) के लिए कम्यूटेशन संबंध [σ_i, σ_j] = 2i ε_ijk σ_k होता है। अतः [σ_x, σ_y] = 2i σ_z।

Q4. उत्तर: C) (1/2)ℏω

हल: 1D सरल आवर्त दोलक का ऊर्जा व्यंजक E_n = (n + 1/2)ℏω होता है। न्यूनतम अवस्था (n = 0) में ऊर्जा E₀ = (1/2)ℏω (Zero-Point Energy) होती है।

Q5. उत्तर: B) हर्मिशियन (Hermitian)

हल: क्वांटम यांत्रिकी में मापे जाने योग्य भौतिक परिमाणों (Observables) का ऑपरेटर सदैव **हर्मिशियन (Hermitian)** होना चाहिए, क्योंकि केवल हर्मिशियन ऑपरेटरों के आइगन-मान (Eigenvalues) ही सदैव वास्तविक (Real) प्राप्त होते हैं।

Q6. उत्तर: C) |ψ(x)|²

हल: मैक्स बोर्न की सांख्यिकीय व्याख्या (Born’s Interpretation) के अनुसार, किसी बिंदु पर कण के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (Probability Density) तरंग फलन के परिमाण के वर्ग |ψ(x)|² के समानुपाती होती है।

Q7. उत्तर: A) i ℏ L_z

हल: कोणीय संवेग ऑपरेटरों के मानक कम्यूटेशन संबंधों के अनुसार: [L_x, L_y] = i ℏ L_z, [L_y, L_z] = i ℏ L_x, तथा [L_z, L_x] = i ℏ L_y होता है।

Q8. उत्तर: B) क्वांटम टनलिंग (Quantum Tunneling)

हल: जब किसी कण की ऊर्जा विभव रोधिका की ऊँचाई से कम (E < V₀) होती है, फिर भी तरंग फलन के सूक्ष्म मान के कारण कण रोधिका को पार कर जाता है, तो इस परिघटना को **क्वांटम टनलिंग (Quantum Tunneling)** कहते हैं।

Q9. उत्तर: A) 〈ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾〉

हल: काल-मुक्त प्रक्षोभ सिद्धांत (Time-Independent Perturbation Theory) में प्रथम कोटि ऊर्जा संशोधन E_n⁽¹⁾ = 〈ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾〉 होता है, जो अन-पर्टर्बड अवस्था में H’ का प्रत्याशा मान है।

Q10. उत्तर: B) iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ

हल: समय-आधारित श्रोडिंगर समीकरण का मानक रूप iℏ (∂ψ/∂t) = Hψ होता है, जहाँ H हैमिल्टोनियन ऑपरेटर है।

Quantum Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Quantum Mechanics – Set 03

Q1. 1D अपरिमित विभव कूप (Infinite Potential Well) जिसकी चौड़ाई L (0 ≤ x ≤ L) है, में m द्रव्यमान के कण की मूल अवस्था (Ground State) की ऊर्जा क्या होगी?

(A) π² ℏ² / (2m L²)
(B) π² ℏ² / (m L²)
(C) 2π² ℏ² / (m L²)
(D) 0

Q2. एक-विमीय हार्मोनिक दोलक (1D Harmonic Oscillator) के स्थिति ऑपरेटर x और संवेग ऑपरेटर p के लिए कम्यूटेटर [x², p] का मान क्या होगा?

(A) i ℏ
(B) 2i ℏ x
(C) -2i ℏ x
(D) 2i ℏ p

Q3. यदि तरंग फलन ψ(x) = A e^(-a x²) (जहाँ a > 0) एक-विमीय स्थान में प्रसामान्यीकृत (Normalized) है, तो प्रसामान्यीकरण नियतांक (Normalization Constant) A का मान क्या होगा?

(A) (2a / π)^(1/2)
(B) (a / π)^(1/4)
(C) (2a / π)^(1/4)
(D) (a / 2π)^(1/2)

Q4. हाईजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, एक कण की स्थिति में अनिश्चितता Δx उसके दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λ के बराबर है। कण के वेग में न्यूनतम अनिश्चितता Δv कितनी होगी?

(A) v / (2π)
(B) v / (4π)
(C) v / π
(D) v

Q5. 3D अपरिमित घनीय कूप (3D Infinite Cubic Well) जिसकी भुजा L है, में प्रथम उत्तेजित अवस्था (First Excited State) की अपभ्रष्टता (Degeneracy) कितनी होगी?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 6

Q6. पॉली स्पिन मैट्रिक्स σ_x, σ_y, σ_z के संबंध में कम्यूटेटर [σ_x, σ_y] का मान क्या होता है?

(A) i σ_z
(B) 2i σ_z
(C) -2i σ_z
(D) 0

Q7. समय-अनाश्रित (Time-independent) श्रोडिंगर समीकरण H ψ = E ψ में हैमिल्टोनियन ऑपरेटर H की प्रकृति कैसी होती है?

(A) एकांक (Unitary)
(B) हर्मिशियन (Hermitian)
(C) विषम-हर्मिशियन (Anti-Hermitian)
(D) सममित (Symmetric)

Q8. एक कण का तरंग फलन ψ(x) = √(1/2) φ_1(x) + √(1/2) φ_2(x) द्वारा दिया गया है, जहाँ φ_1 और φ_2 ऊर्जा निज अवस्थाएँ (Eigenstates) हैं जिनकी ऊर्जा क्रमशः E_1 और E_2 है। इस अवस्था में ऊर्जा का प्रत्याशा मान (⟨E⟩) क्या होगा?

(A) E_1 + E_2
(B) (E_1 + E_2) / 2
(C) √(E_1 E_2)
(D) (E_1 – E_2) / 2

Q9. एक विमीय चरण विभव (1D Step Potential) V(x) = 0 (x < 0) और V(x) = V_0 (x > 0) पर आपतित कण की ऊर्जा E < V_0 है। क्षेत्र x > 0 में तरंग फलन का स्वरूप कैसा होगा?

(A) दोलनी (Oscillatory)
(B) चरघातांकी रूप से क्षयकारी (Exponentially Decaying)
(C) चरघातांकी रूप से बढ़ता हुआ (Exponentially Growing)
(D) शून्य (Zero)

Q10. कोणीय संवेग ऑपरेटर L² और L_z के लिए, निज अवस्था (Eigenstate) |l, m〉 पर L_+ = L_x + i L_y (सीढ़ी ऑपरेटर / Raising Operator) का प्रभाव क्या होता है?

(A) ℏ √[l(l+1) – m(m+1)] |l, m+1〉
(B) ℏ √[l(l+1) – m(m-1)] |l, m-1〉
(C) (m+1) ℏ |l, m+1〉
(D) ℏ √[l(l+1)] |l, m+1〉

Quantum Mechanics – Set -03 Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: (A) π² ℏ² / (2m L²)

विस्तृत हल:

1D अपरिमित विभव कूप में n-वीं ऊर्जा स्तर का सूत्र E_n = n² π² ℏ² / (2m L²) होता है।

मूल अवस्था (Ground State) के लिए मुख्य क्वांटम संख्या n = 1 रखने पर:

E_1 = π² ℏ² / (2m L²)

Q2 Solution:

सही उत्तर: (B) 2i ℏ x

विस्तृत हल:

कम्यूटेटर सर्वसमिका [A B, C] = A [B, C] + [A, C] B का उपयोग करने पर:

[x², p] = [x · x, p] = x [x, p] + [x, p] x

हम जानते हैं कि मूलभूत कम्यूटेटर संबंध [x, p] = i ℏ होता है।

[x², p] = x (i ℏ) + (i ℏ) x = 2i ℏ x

Q3 Solution:

सही उत्तर: (C) (2a / π)^(1/4)

विस्तृत हल:

प्रसामान्यीकरण शर्त (Normalization Condition): ∫_{-∞}^{+∞} |ψ(x)|² dx = 1

∫_{-∞}^{+∞} |A|² e^(-2a x²) dx = 1

मानक गॉसियन समाकलन ∫_{-∞}^{+∞} e^(-α x²) dx = √(π / α) का उपयोग करने पर (α = 2a):

|A|² √(π / 2a) = 1 ⇒ |A|² = √(2a / π) ⇒ A = (2a / π)^(1/4)

Q4 Solution:

सही उत्तर: (B) v / (4π)

विस्तृत हल:

1. हाईजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत: Δx Δp ≥ ℏ / 2 = h / (4π)

2. संवेग में अनिश्चितता Δp = m Δv तथा दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य λ = h / (m v) ⇒ m = h / (λ v)

3. दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता Δx = λ है:

λ · (m Δv) ≥ h / (4π) ⇒ λ · (h / (λ v)) Δv ≥ h / (4π)

(h / v) Δv ≥ h / (4π) ⇒ Δv ≥ v / (4π)

अतः न्यूनतम अनिश्चितता v / (4π) होगी।

Q5 Solution:

सही उत्तर: (C) 3

विस्तृत हल:

3D घनीय कूप में ऊर्जा स्तर: E_(nx, ny, nz) = (n_x² + n_y² + n_z²) π² ℏ² / (2m L²)

1. मूल अवस्था (Ground State): (n_x, n_y, n_z) = (1, 1, 1), ऊर्जा = 3 E_0 (अनपभ्रष्ट / Non-degenerate, g = 1)

2. प्रथम उत्तेजित अवस्था (First Excited State): क्वांटम संख्या समुच्चय (2, 1, 1), (1, 2, 1), और (1, 1, 2) हैं।

इन तीनों अलग-अलग अवस्थाओं की ऊर्जा समान (6 E_0) होती है, अतः इसकी अपभ्रष्टता (Degeneracy) 3 होती है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: (B) 2i σ_z

विस्तृत हल:

पॉली स्पिन मैट्रिस की मूलभूत कम्यूटेशन प्रॉपर्टी: [σ_i, σ_j] = 2i ε_(ijk) σ_k होती है।

i = x, j = y के लिए: [σ_x, σ_y] = 2i σ_z

Q7 Solution:

सही उत्तर: (B) हर्मिशियन (Hermitian)

विस्तृत हल:

क्वांटम मैकेनिक्स में भौतिक रूप से मापे जा सकने वाले सभी प्रेक्षणीय (Observables) ऑपरेटर हर्मिशियन ऑपरेटर (Hermitian Operators) होते हैं, क्योंकि हर्मिशियन ऑपरेटरों के निज मान (Eigenvalues) सदैव वास्तविक (Real) संख्याएँ होते हैं।

कुल ऊर्जा को व्यक्त करने वाला हैमिल्टोनियन ऑपरेटर H = H† (हर्मिशियन) होता है।

Q8 Solution:

सही उत्तर: (B) (E_1 + E_2) / 2

विस्तृत हल:

ऊर्जा का प्रत्याशा मान: ⟨E⟩ = ∑ |c_i|² E_i होता है।

दी गई अवस्था के लिए प्रसामान्यीकृत गुणांक c_1 = √(1/2) और c_2 = √(1/2) हैं।

|c_1|² = 1/2 तथा |c_2|² = 1/2

⟨E⟩ = (1/2) E_1 + (1/2) E_2 = (E_1 + E_2) / 2

Q9 Solution:

सही उत्तर: (B) चरघातांकी रूप से क्षयकारी (Exponentially Decaying)

विस्तृत हल:

क्षेत्र x > 0 में जहाँ V(x) = V_0 है और E < V_0 है, श्रोडिंगर समीकरण:

d²ψ/dx² = (2m/ℏ²) (V_0 – E) ψ = K² ψ

जहाँ K = √[2m(V_0 – E)] / ℏ एक वास्तविक नियतांक है।

इसका भौतिक रूप से स्वीकार्य हल ψ(x) = C e^(-K x) होता है, जो दर्शाता है कि तरंग फलन x > 0 में जाने पर चरघातांकी रूप से क्षय (Exponential Decay / Quantum Tunnelling effect) होता है।

Q10 Solution:

सही उत्तर: (A) ℏ √[l(l+1) – m(m+1)] |l, m+1〉

विस्तृत हल:

सीढ़ी ऑपरेटर (Raising Operator) L_+ = L_x + i L_y को जब कोणीय संवेग की निज अवस्था |l, m〉 पर लागू किया जाता है, तो यह चुम्बकीय क्वांटम संख्या m के मान को 1 बढ़ा देता है:

L_+ |l, m〉 = ℏ √[l(l+1) – m(m+1)] |l, m+1〉

Quantum Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Quantum Mechanics Practice set – 04

प्रश्न 1. 1D अनंतीय विभव कुआँ (Infinite Potential Well) में लंबाई L वाले क्षेत्र (0 < x < L) में स्थित कण के लिए n-वें ऊर्जा स्तर की ऊर्जा E_n का सही मान क्या होता है?

(A) E_n = (n² π² ℏ²) / (2 m L²)
(B) E_n = (n π² ℏ²) / (2 m L²)
(C) E_n = (n² π² ℏ) / (2 m L)
(D) E_n = (n² ℏ²) / (2 m L²)

प्रश्न 2. 1D सरल आवर्त दोलक (Simple Harmonic Oscillator) के लिए शून्य-बिंदु ऊर्जा (Zero-point Energy) का मान कितना होता है?

(A) 0
(B) ½ ℏω
(C) ℏω
(D) ³/₂ ℏω

प्रश्न 3. कोणीय संवेग घटकों के लिए कम्यूटेशन संबंध [L_x, L_y] का मान क्या होगा?

(A) 0
(B) i ℏ L_z
(C) -i ℏ L_z
(D) i ℏ L_x

प्रश्न 4. हाइड्रोजन परमाणु के मूल स्तर (n=1) की ऊर्जा -13.6 eV है। इसके प्रथम उत्तेजित स्तर (n=2) की ऊर्जा क्या होगी?

(A) -6.8 eV
(B) -3.4 eV
(C) -1.51 eV
(D) -27.2 eV

प्रश्न 5. पाउली स्पिन मैट्रिसेस σ_x, σ_y, σ_z के लिए σ_x² का मान कितना होता है?

(A) 0
(B) I (Identity Matrix)
(C) σ_z
(D) -I

प्रश्न 6. हाइड्रोजन परमाणु में मुख्य क्वांटम संख्या n वाले स्तर की कुल अपभ्रष्टता (Total Degeneracy, स्पिन को छोड़कर) कितनी होती है?

(A) n
(B) 2n + 1
(C) n²
(D) 2n²

प्रश्न 7. क्वांटम यांत्रिकी में लोअरिंग ऑपरेटर (a) और रेज़िंग ऑपरेटर (a^†) का कम्यूटेटर [a, a^†] क्या होता है?

(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) ℏω

प्रश्न 8. 1D अनंतीय विभव कुआँ (0 < x < L) के ग्राउंड स्टेट तरंग फलन ψ₁(x) = √(2/L) sin(π x / L) के लिए कण के x = L/2 पर पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (|ψ|²) क्या होगी?

(A) 0
(B) 1/L
(C) 2/L
(D) 1/(2L)

प्रश्न 9. प्रथम क्रम अ-अपभ्रष्ट क्षोभ सिद्धांत में ऊर्जा का प्रथम क्रम संशोधन (ΔE_n⁽¹⁾) क्या होता है?

(A) ⟨ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾⟩
(B) ⟨ψ_n⁽⁰⁾ | H⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾⟩
(C) ∑_m≠n |⟨ψ_m⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾⟩|² / (E_n⁽⁰⁾ – E_m⁽⁰⁾)
(D) 0

प्रश्न 10. यदि तरंग फलन ψ(x) = A e^{-a x²} प्रसामान्याकृत (Normalized) है, तो नियतांक A का मान क्या होगा?

(A) (2a / π)^1/2
(B) (2a / π)^1/4
(C) (a / π)^1/4
(D) (a / 2π)^1/2

Quantum Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Quantum Mechanics – Practice Set 04 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (A) E_n = (n² π² ℏ²) / (2 m L²)
व्याख्या: 1D पोटेंशियल वेल में ऊर्जा स्तर E_n = n² h² / (8mL²) = n² π² ℏ² / (2mL²) होता है।

2. उत्तर: (B) ½ ℏω
व्याख्या: लीनियर हारमोनिक ऑसिलेटर के लिए n-वें स्तर की ऊर्जा E_n = (n + ½) ℏω होती है। ग्राउंड स्टेट (n = 0) के लिए E₀ = ½ ℏω होती है।

3. उत्तर: (B) i ℏ L_z
व्याख्या: एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर्स चक्रानुक्रम (cyclic order) में कम्यूट करते हैं, अर्थात् [L_x, L_y] = i ℏ L_z।

4. उत्तर: (B) -3.4 eV
व्याख्या: हाइड्रोजन परमाणु के लिए E_n = -13.6 / n² eV होता है। अतः n = 2 के लिए E₂ = -13.6 / 4 = -3.4 eV।

5. उत्तर: (B) I (Identity Matrix)
व्याख्या: पाउली स्पिन मैट्रिसेस का वर्ग हमेशा आइडेंटिटी मैट्रिक्स होता है (σ_x² = σ_y² = σ_z² = I)।

6. उत्तर: (C) n²
व्याख्या: इलेक्ट्रॉनिक स्पिन को छोड़े बिना कुल स्टेट्स ∑_l=0^n-1 (2l + 1) = n² होती हैं। यदि स्पिन को शामिल किया जाए तो यह 2n² होती है।

7. उत्तर: (B) 1
व्याख्या: क्रिएशन और एनिहिलेशन ऑपरेटर्स का कम्यूटेटर सम्बन्ध [a, a^†] = 1 होता है।

8. उत्तर: (C) 2/L
व्याख्या: x = L/2 पर ψ₁(L/2) = √(2/L) sin(π/2) = √(2/L)। इसलिए प्रायिकता घनत्व P = |ψ|² = 2/L होगा।

9. उत्तर: (A) ⟨ψ_n⁽⁰⁾ | H’ | ψ_n⁽⁰⁾⟩
व्याख्या: फर्स्ट-ऑर्डर पर्turbation में ऊर्जा का संशोधन अन-पर्टर्बड स्टेट पर पर्turbation हैमिल्टोनियन का एक्सपेक्टेशन वैल्यू होता है।

10. उत्तर: (B) (2a / π)^1/4
व्याख्या: ∫_-∞^∞ |ψ(x)|² dx = 1 से हल करने पर A⁴ = 2a/π प्राप्त होता है, जिससे A = (2a/π)^1/4 आता है।

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Quantum Mechanics Practice set – 05

प्रश्न 1. 3D सममित बॉक्स (Symmetric Cube Box of side a) में स्थित किसी कण के लिए प्रथम उत्तेजित स्तर (First Excited State) की अपभ्रष्टता (Degeneracy) कितनी होती है?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 6

प्रश्न 2. स्टर्न-गेर्लाक प्रयोग (Stern-Gerlach Experiment) प्रत्यक्ष रूप से किस भौतिक अवधारणा का प्रमाण प्रस्तुत करता है?

(A) कक्षीय कोणीय संवेग का क्वांटीकरण
(B) इलेक्ट्रॉन का स्पिन क्वांटीकरण (Spatial Quantization of Spin)
(C) प्रकाश विद्युत प्रभाव
(D) कण-तरंग द्वैतता

प्रश्न 3. पाउली स्पिन मैट्रिसेस के लिए कम्यूटेटर [σ_x, σ_y] का सही मान क्या होता है?

(A) i σ_z
(B) 2i σ_z
(C) -σ_z
(D) 0

प्रश्न 4. हाइड्रोजन परमाणु के 2p अवस्था (State) के लिए कक्षक कोणीय संवेग क्वांटम संख्या l और कोणीय संवेग का परिमाण |L| क्या होगा?

(A) l=1, |L| = √2 ℏ
(B) l=2, |L| = √6 ℏ
(C) l=0, |L| = 0
(D) l=1, |L| = ℏ

प्रश्न 5. यदि किसी कण का तरंग फलन ψ(x) सम सममित (Even Parity) है, तो उसकी स्थिति का प्रत्याशा मान (Expectation Value ⟨x⟩) क्या होगा?

(A) 1
(B) ∞
(C) 0
(D) अनिश्चित

प्रश्न 6. 1D सरल आवर्त दोलक के लिए प्रथम उत्तेजित स्तर (n=1) का तरंग फलन ψ₁(x) किस प्रकार के हर्मिट बहुपद (Hermite Polynomial) के समानुपाती होता है?

(A) H₀(x) = 1
(B) H₁(x) = 2x
(C) H₂(x) = 4x² – 2
(D) H₃(x) = 8x³ – 12x

प्रश्न 7. क्वांटम यांत्रिकी में कोई भी ऑपरेटर जो किसी प्रेक्षित भौतिक राशि (Observable) को दर्शाता है, आवश्यक रूप से कैसा होना चाहिए?

(A) एकात्मक (Unitary)
(B) हर्मिटी (Hermitian)
(C) विषम-हर्मिटी (Anti-Hermitian)
(D) लांबिक (Orthogonal)

प्रश्न 8. यदि A और B दो हर्मिटी ऑपरेटर हैं, तो उनका गुणनफल AB हर्मिटी कब होगा?

(A) केवल जब [A, B] = 0 (वे कम्यूट करते हों)
(B) हमेशा हर्मिटी होगा
(C) जब [A, B] = iℏ
(D) कभी हर्मिटी नहीं हो सकता

प्रश्न 9. 1D अनंतीय विभव कुआँ (सीमाएं x = -L/2 से x = +L/2) के मूल स्तर (Ground State) के लिए तरंग फलन कैसा होता है?

(A) √(2/L) sin(π x / L)
(B) √(2/L) cos(π x / L)
(C) √(1/L) sin(2π x / L)
(D) √(2/L) cos(2π x / L)

प्रश्न 10. श्रोडिंगर चित्र (Schrödinger Picture) में समय निर्भरता (Time Dependence) किस पर निहित होती है?

(A) केवल ऑपरेटर्स पर
(B) केवल अवस्था वेक्टर्स/तरंग फलनों (ψ) पर
(C) ऑपरेटर्स और स्टेट वेक्टर्स दोनों पर समान रूप से
(D) किसी पर भी नहीं

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Quantum Mechanics – Practice Set 05 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (C) 3
व्याख्या: 3D बॉक्स में E = (π² ℏ² / 2ma²) (n_x² + n_y² + n_z²)। मूल अवस्था (1,1,1) होती है। प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए अवस्थाएँ (2,1,1), (1,2,1), और (1,1,2) हैं, इसलिए अपभ्रष्टता (Degeneracy) 3 होती है।

2. उत्तर: (B) इलेक्ट्रॉन का स्पिन क्वांटीकरण (Spatial Quantization of Spin)
व्याख्या: स्टर्न-गेर्लाक प्रयोग में सिल्वर परमाणुओं का बीम दो भागों में विभाजित हो जाता है, जो यह सिद्ध करता है कि इलेक्ट्रॉन का स्पिन क्वांटीकृत (Spin ½) होता है।

3. उत्तर: (B) 2i σ_z
व्याख्या: [σ_x, σ_y] = σ_xσ_y – σ_yσ_x = iσ_z – (-iσ_z) = 2iσ_z।

4. उत्तर: (A) l=1, |L| = √2 ℏ
व्याख्या: p-उपकोश के लिए l = 1 होता है। कोणीय संवेग |L| = √(l(l+1)) ℏ = √(1(2)) ℏ = √2 ℏ।

5. उत्तर: (C) 0
व्याख्या: ⟨x⟩ = ∫ x |ψ(x)|² dx। यदि ψ(x) सम फलन (Even) है, तो |ψ(x)|² भी सम होगा और x विषम (Odd) फलन है। Odd × Even = Odd फलन का समाकलन विषमित सीमाओं (-∞ से +∞) में हमेशा 0 होता है।

6. उत्तर: (B) H₁(x) = 2x
व्याख्या: 1D दोलक का तरंग फलन ψ_n(x) ∝ H_n(ξ) e^-ξ²/2 होता है। n=1 के लिए हर्मिट बहुपद H₁(x) = 2x होता है।

7. उत्तर: (B) हर्मिटी (Hermitian)
व्याख्या: क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक प्रेक्षणीय राशियों (Observables) के आइगेन मान (Eigenvalues) वास्तविक (Real) होने चाहिए, जो केवल हर्मिटी ऑपरेटर के लिए ही संभव है।

8. उत्तर: (A) केवल जब [A, B] = 0 (वे कम्यूट करते हों)
व्याख्या: (AB)^† = B^†A^† = BA (चूँकि A, B हर्मिटी हैं)। AB हर्मिटी तब होगा जब (AB)^† = AB हो, अर्थात् BA = AB ⇒ [A, B] = 0।

9. उत्तर: (B) √(2/L) cos(π x / L)
व्याख्या: जब सीमाएँ -L/2 से +L/2 हों, तो मूल अवस्था (Ground state, n=1) एक सम फलन (Even function) होती है, इसलिए तरंग फलन cos(πx/L) के रूप में होता है।

10. उत्तर: (B) केवल अवस्था वेक्टर्स/तरंग फलनों (ψ) पर
व्याख्या: श्रोडिंगर चित्र में केवल तरंग फलन (State vectors) समय के साथ परिवर्तित होते हैं, जबकि ऑपरेटर समय से स्वतंत्र होते हैं।

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