Table of Contents

Classical Mechanics Test Series for CG SET & PGT Physics

Classical Mechanics – Practice Set 02

Q1. एक द्विविमीय (2D) समतल में स्वतंत्र रूप से गति कर रहे $N कणों के निकाय के लिए स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom) कितनी होगी, यदि उनके बीच k बाधाएं (Constraints) मौजूद हों?

A) 3N – k
B) 2N – k
C) N – 2k
D) 2N + k

Q2. यदि किसी निकाय का लैग्रांजियन (Lagrangian) $$L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 – \frac{1}{2} k x^2$$ है, तो इसके संगत हैमिलटोनियन (Hamiltonian) H क्या होगा?

A) $$\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2$$
B) $$\frac{p^2}{2m} – \frac{1}{2} k x^2$$
C) $$\frac{p^2}{m} + k x^2$$
D) $$\frac{p^2}{2m}$$

Q3. केंद्रीय बल (Central Force) क्षेत्र के अंतर्गत गति कर रहे कण के लिए निम्नलिखित में से कौन सी राशि सदैव संरक्षित (Conserved) रहती है?

A) केवल रेखीय संवेग (Linear Momentum)
B) केवल कोणीय संवेग (Angular Momentum)
C) रेखीय संवेग एवं ऊर्जा दोनों
D) कोणीय संवेग एवं कुल यांत्रिक ऊर्जा दोनों

Q4. एक दृढ़ पिण्ड (Rigid Body) के जड़त्व आघूर्ण टेंसर (Moment of Inertia Tensor) के मुख्य अक्षों (Principal Axes) के अनुदिश अवयव कैसे होते हैं?

A) केवल वास्तविक और सम्मित (Real and Symmetric)
B) मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं
C) हमेशा केवल एक घटक गैर-शून्य होता है
D) ये आव्यूह के ट्रेस पर निर्भर नहीं करते

Q5. पॉइसन कोष्ठक (Poisson Bracket) $$\{x, p_x\}$$ का मान क्या होता है?

A) 0
B) 1
C) $$-1$$
D) $$i\hbar$$

Q6. यदि लैग्रांजियन में कोई व्यापक निर्देशांक (Generalized Coordinate) $$q_i$$ स्पष्ट रूप से अनुपस्थित (Explicitly Absent) हो, तो $$q_i$$ को क्या कहा जाता है?

A) संचयी निर्देशांक (Cumulative Coordinate)
B) चक्रीय या उपेक्षणीय निर्देशांक (Cyclic or Ignorable Coordinate)
C) स्थितिज निर्देशांक (Potential Coordinate)
D) स्थिर निर्देशांक (Constrained Coordinate)

Q7. केप्लर के नियमों के अनुसार, सूर्य के चारों ओर चक्कर लगा रहे किसी ग्रह का आवर्तकाल (T) उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष (Semi-major axis, a) से किस प्रकार संबंधित है?

A) $$T \propto a$$
B) $$T^2 \propto a^3$$
C) $$T^3 \propto a^2$$
D) $$T^2 \propto a^2$$

Q8. एक छोटे दोलन (Small Oscillations) कर रहे निकाय के लिए सामान्य विधाओं (Normal Modes) की आवृत्ति ज्ञात करने के लिए किस समीकरण का उपयोग किया जाता है?

A) $$|V – \omega T| = 0$$
B) $$|V – \omega^2 T| = 0$$
C) $$|T – \omega^2 V| = 0$$
D) $$|V + \omega^2 T| = 0$$

Q9. हैमिल्टन के कैनोनिकल समीकरण (Canonical Equations of Motion) कौन से हैं?

A) $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
B) $$\dot{q}_i = -\frac{\partial H}{\partial p_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = \frac{\partial H}{\partial q_i}$$
C) $$\dot{q}_i = \frac{\partial L}{\partial p_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}$$
D) $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial q_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$

Q10. विशेषापेक्षिकता सिद्धांत (Special Theory of Relativity) के अनुसार, विराम द्रव्यमान $$m_0$$ वाले कण की कुल ऊर्जा E और संवेग p के बीच सही संबंध क्या है?

A) $$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$
B) $$E = p c + m_0 c^2$$
C) $$E^2 = p^2 c^2 – m_0^2 c^4$$
D) $$E^2 = p c^2 + m_0^2 c^2$$

Classical Mechanics Practice Set – 01 : Detailed Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: B) 2N – k

विस्तृत हल:
द्विविमीय (2D) समतल में गति कर रहे किसी एक कण के लिए स्वतंत्रता के 2 स्वतंत्र निर्देशांक होते हैं।
अतः N कणों के लिए कुल संभावित निर्देशांक 2N होंगे।
यदि निकाय पर k बाधाएं (Constraints) लागू की जाती हैं, तो स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom, f) का सूत्र होगा:
$$f = 2N – k$$
(ध्यान दें: 3D स्थान के लिए यह सूत्र $$3N – k$$ होता है।)

Q2 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2$$

विस्तृत हल:
दिया गया लैग्रांजियन: $$L = T – V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 – \frac{1}{2} k x^2$$
व्यापक संवेग (Generalized Momentum):
$$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} \implies \dot{x} = \frac{p}{m}$$
हैमिलटोनियन की परिभाषा से ($$H = T + V$$):
$$H = p\dot{x} – L = p\left(\frac{p}{m}\right) – \left( \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 – \frac{1}{2}kx^2 \right)$$
$$H = \frac{p^2}{m} – \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2$$

Q3 Solution:

सही उत्तर: D) कोणीय संवेग एवं कुल यांत्रिक ऊर्जा दोनों

विस्तृत हल:
1. केंद्रीय बल क्षेत्र में बल $$\vec{F} = f(r)\hat{r}$$ दिशा में कार्य करता है, जिससे बल आघूर्ण $$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$$ होता है। बल आघूर्ण शून्य होने के कारण **कोणीय संवेग ($$\vec{L}$$)** हमेशा संरक्षित रहता है।
2. केंद्रीय बल एक संरक्षी बल (Conservative Force) है, इसलिए निकाय की **कुल यांत्रिक ऊर्जा ($$E = T + V$$)** भी संरक्षित रहती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं

विस्तृत हल:
जड़त्व आघूर्ण टेंसर [I] को जब उसके मुख्य अक्षों (Principal Axes) के अनुदिश संरेखित किया जाता है, तो इसके जड़त्व के उत्पाद (Products of Inertia, जैसे $$I_{xy}, I_{yz}$$) शून्य हो जाते हैं।
फलस्वरूप, आव्यूह विकर्णीय (Diagonalized) रूप ले लेता है:
$$I = \begin{pmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{pmatrix}$$
अर्थात मुख्य विकर्ण के अलावा अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं।

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) 1

विस्तृत हल:
क्लासिकल मैकेनिक्स में पॉइसन कोष्ठक की परिभाषा:
$$\{u, v\}_{x, p_x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial p_x} – \frac{\partial u}{\partial p_x} \frac{\partial v}{\partial x}$$
$$u = x$$ और $$v = p_x$$ रखने पर:
$$\{x, p_x\} = \left(\frac{\partial x}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial p_x}{\partial p_x}\right) – \left(\frac{\partial x}{\partial p_x}\right)\left(\frac{\partial p_x}{\partial x}\right) = (1)(1) – (0)(0) = 1$$
(नोट: $$i\hbar$$ क्वांटम मैकेनिक्स के कम्यूटेटर सम्बंध $$[x, p_x] = i\hbar$$ में प्राप्त होता है।)

Q6 Solution:

सही उत्तर: B) चक्रीय या उपेक्षणीय निर्देशांक (Cyclic or Ignorable Coordinate)

विस्तृत हल:
यदि लैग्रांजियन $$L(q_i, \dot{q}_i, t)$$ में कोई व्यापक निर्देशांक $$q_k$$ स्पष्ट रूप से उपस्थित नहीं होता है ($$\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$$), तो $$q_k$$ को **चक्रीय निर्देशांक (Cyclic Coordinate)** कहते हैं।
यूलर-लैग्रांज समीकरण $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$$ के अनुसार, इसके संगत व्यापक संवेग $$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$$ एक नियतांक (Conservable) होता है।

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) $$T^2 \propto a^3$$

विस्तृत हल:
केप्लर के तृतीय नियमानुसार (परिक्रमण काल का नियम):
सूर्य के चारों ओर किसी भी ग्रह की दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण काल का वर्ग ($$T^2$$) उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन ($$a^3$$) के अनुक्रमानुपाती होता है:
$$T^2 \propto a^3 \quad \text{या} \quad \frac{T^2}{a^3} = \text{नियतांक}$$

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) $$|V – \omega^2 T| = 0$$

विस्तृत हल:
छोटे दोलनों (Small Oscillations) के लिए साम्यावस्था के निकट स्थितिज ऊर्जा आव्यूह V तथा गतिज ऊर्जा आव्यूह T द्वारा निरूपित होते हैं।
सामान्य विधाओं (Normal Modes) की आवृत्तियाँ ($$\omega$$) ज्ञात करने के लिए लाक्षणिक समीकरण (Secular Equation) का उपयोग किया जाता है:
$$|V – \omega^2 T| = 0$$

Q9 Solution:

सही उत्तर: A) $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

विस्तृत हल:
हैमिल्टन के कैनोनिकल समीकरण (Canonical Equations of Motion) प्रथम कोटि के दो अवकल समीकरणों का युग्म होते हैं:
1. $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$
2. $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
जहाँ $$H(q_i, p_i, t)$$ निकाय का हैमिलटोनियन है।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$

विस्तृत हल:
विशेषापेक्षिकता सिद्धांत (Relativistic Mechanics) के अनुसार:
कण की कुल ऊर्जा $$E = \gamma m_0 c^2$$ तथा संवेग $$p = \gamma m_0 v$$
इन दोनों सम्बंधों का वर्ग करके घटाने पर ऊर्जा-संवेग सम्बंध (Energy-Momentum Relation) प्राप्त होता है:
$$E^2 – p^2 c^2 = m_0^2 c^4 \implies E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Classical Mechanics – Practice Set 02

Q1. N कणों वाले एक निकाय (System) में k प्रतिबंध (Constraints) लागू हैं। इस निकाय की स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of freedom) कितनी होगी?

A) 3N + k
B) 3N – k
C) N – 3k
D) 3N × k

Q2. यदि किसी निकाय का लैग्रेंजियन L = (1/2)mż² – (1/2)kx² है, तो इसके संगत हैमिल्टोनियन H क्या होगा?

A) (p_x² / 2m) + (1/2)kx²
B) (p_x² / 2m) – (1/2)kx²
C) (1/2)mż² + (1/2)kx²
D) (p_x² / m) + kx²

Q3. यदि किसी निकाय के लैग्रेंजियन में कोई सामान्यीकृत निर्देशांक (Generalized Coordinate) q_j स्पष्ट रूप से उपस्थित नहीं है (Cyclic Coordinate है), तो उससे संबद्ध सामान्यीकृत संवेग (Conjugate Momentum) p_j कैसा होगा?

A) शून्य
B) समय के साथ परिवर्तित होगा
C) संरक्षित (Constant/Conserved) रहेगा
D) अनंत

Q4. केंद्रीय बल (Central Force) के अंतर्गत गति करने वाले कण का कौन सा भौतिक परिमाण सदैव संरक्षित रहता है?

A) केवल रेखीय संवेग (Linear Momentum)
B) केवल कोणीय संवेग (Angular Momentum)
C) केवल स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy)
D) केवल गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy)

Q5. पॉयसन ब्रैकेट (Poisson Bracket) {q_i, p_j} का मान किसके बराबर होता है?

A) 0
B) 1
C) δ_ij (क्रोनकर डेल्टा)
D) -1

Q6. एक विमीय सरल आवर्त दोलक (Simple Harmonic Oscillator) के लिए कला स्थान (Phase Space) में कण का पथ (Trajectory) कैसा होता है?

A) सरल रेखा (Straight Line)
B) परवलय (Parabola)
C) दीर्घवृत्त (Ellipse)
D) अतिपरवलय (Hyperbola)

Q7. केप्लर के नियमों के अनुसार, सूर्य के चारों ओर किसी ग्रह का आवर्तकाल T उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष (Semi-major axis) a से किस प्रकार संबंधित है?

A) T² ∝ a³
B) T³ ∝ a²
C) T ∝ a²
D) T² ∝ a²

Q8. कठोर पिण्ड (Rigid Body) की घूर्णन गति में, यदि कोई बाह्य बलाघूर्ण (External Torque) कार्य न कर रहा हो, तो निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा और कोणीय संवेग में क्या संबंध होता है?

A) E = L² / 2I
B) E = L / 2I
C) E = 2IL²
D) E = IL² / 2

Q9. विशेष आपेक्षिकता सिद्धांत (Special Theory of Relativity) के अंतर्गत, गतिमान छड़ की लंबाई विराम लंबाई की तुलना में कैसी प्रतीत होती है?

A) बढ़ती हुई (Expanded)
B) घटती हुई (Contracted)
C) अपरिवर्तित (Unchanged)
D) शून्य

Q10. लैग्रेंजियन L(q, q̇, t) के लिए यूलर-लैग्रेंज (Euler-Lagrange) समीकरण क्या है?

A) (d/dt)(∂L/∂q) – ∂L/∂q̇ = 0
B) (d/dt)(∂L/∂q̇) – ∂L/∂q = 0
C) ∂L/∂q̇ + ∂L/∂q = 0
D) (d/dt)(∂L/∂t) – ∂L/∂q = 0

Classical Mechanics – Practice Set 02 (Detailed Solutions)

Q1. उत्तर: B) 3N – k

हल: N कणों वाले निकाय में यदि k प्रतिबंध (Constraints) लगे हों, तो स्वतंत्र रूप से व्यक्त की जा सकने वाली गतियों की संख्या अर्थात् स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of freedom) f = 3N – k होती है।

Q2. उत्तर: A) (p_x² / 2m) + (1/2)kx²

हल: हैमिल्टोनियन H = T + V होता है। लैग्रेंजियन L = T – V = (1/2)mż² – (1/2)kx² से:

संवेग p_x = ∂L/∂ż = mż ⇒ ż = p_x/m

H = (p_x² / 2m) + (1/2)kx²

Q3. उत्तर: C) संरक्षित (Constant/Conserved) रहेगा

हल: यूलर-लैग्रेंज समीकरण (d/dt)(∂L/∂q̇_j) – ∂L/∂q_j = 0 से:

यदि q_j चक्रीय (Cyclic) है, तो ∂L/∂q_j = 0 ⇒ (d/dt)(p_j) = 0 ⇒ p_j = नियतांक (Conserved)।

Q4. उत्तर: B) केवल कोणीय संवेग (Angular Momentum)

हल: केंद्रीय बल क्षेत्र में बल की दिशा हमेशा केंद्र की ओर होती है, इसलिए बलाघूर्ण &vec;τ = &vec;r × &vec;F = 0 होता है। परिणामस्वरूप कोणीय संवेग &vec;L सदैव संरक्षित रहता है।

Q5. उत्तर: C) δ_ij (क्रोनकर डेल्टा)

हल: मूल सामान्यीकृत पॉयसन ब्रैकेट संबंधों के अनुसार:

{q_i, q_j} = 0, {p_i, p_j} = 0 और {q_i, p_j} = δ_ij होता है।

Q6. उत्तर: C) दीर्घवृत्त (Ellipse)

हल: सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा E = (p² / 2m) + (1/2)kx² होती है।

इसे मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: [x² / (2E/k)] + [p² / (2mE)] = 1 प्राप्त होता है, जो (x, p) कला स्थान (Phase Space) में एक **दीर्घवृत्त (Ellipse)** को निरूपित करता है।

Q7. उत्तर: A) T² ∝ a³

हल: केप्लर के तृतीय नियम (आवर्तकाल का नियम) के अनुसार, किसी ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष की तृतीय घात के समानुपाती होता है (T² ∝ a³)।

Q8. उत्तर: A) E = L² / 2I

हल: घूर्णन गतिज ऊर्जा E = (1/2)Iω² तथा कोणीय संवेग L = Iω होता है।

ω = L/I रखने पर: E = (1/2)I(L/I)² = L² / 2I

Q9. उत्तर: B) घटती हुई (Contracted)

हल: आइंस्टीन के विशेष आपेक्षिकता सिद्धांत के अनुसार, गति की दिशा में वस्तु की लंबाई L = L₀√(1 – v²/c²) होती है, जिसे **लंबाई संकुचन (Length Contraction)** कहते हैं।

Q10. उत्तर: B) (d/dt)(∂L/∂q̇) – ∂L/∂q = 0

हल: हैमिल्टन के न्यूनतम क्रिया सिद्धांत (Hamilton’s Principle) से प्राप्त यूलर-लैग्रेंज गतिज समीकरण (d/dt)(∂L/∂q̇) – ∂L/∂q = 0 होता है।

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Classical Mechanics – Set -03

Q1. एक m द्रव्यमान का कण x-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है और इसका स्थितिज ऊर्जा फलन V(x) = a x² – b x³ द्वारा दिया गया है, जहाँ a और b धनात्मक नियतांक हैं। साम्यावस्था (Equilibrium position) पर छोटे दोलनों की आवृत्ति (Frequency) क्या होगी?

(A) √(a / m)
(B) √(2a / m)
(C) √(3a / m)
(D) √(a / 2m)

Q2. यदि किसी निकाय का लग्रांजियन L = (1/2) m (ẋ² + ẏ² + ż²) – (1/2) k (x² + y²) द्वारा दिया गया है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सामान्यीकृत संवेग (Generalized Momentum) संरक्षित (Conserved) रहेगा?

(A) केवल p_x
(B) केवल p_y
(C) केवल p_z
(D) p_x और p_y दोनों

Q3. द्विमितीय (2D) में गतिमान एक कण के लिए हैमिल्टोनियन H = (p_x² + p_y²) / (2m) + (1/2) m ω² (x² + y²) है। पॉइसन ब्रैकेट [x p_y – y p_x, H] का मान क्या होगा?

(A) 0
(B) ℏω
(C) m ω² (x² + y²)
(D) 1

Q4. एक केंद्रीय बल क्षेत्र F(r) = -k / r³ के अंतर्गत गतिमान कण के लिए कक्षीय समीकरण में यदि ऊर्जा E > 0 है, तो कण का पथ कैसा होगा?

(A) वृत्ताकार (Circular)
(B) दीर्घवृत्ताकार (Elliptical)
(C) परवलयाकार (Parabolic)
(D) अतिपरवलयाकार (Hyperbolic) या सर्पिलाकार (Spiral)

Q5. कैनोनिकल रूपांतरण Q = ln(sin p) और P = -q tan p के लिए जनरेटिंग फलन (Generating Function) F_2(q, P) का रूप क्या होगा?

(A) q · arcsin(e^-P)
(B) -q · arcsin(e^Q)
(C) P · ln(sin q)
(D) q · ln(P)

Q6. विशिष्ट सापेक्षता सिद्धांत (STR) के अनुसार, यदि किसी कण का संवेग उसके विराम द्रव्यमान और प्रकाश की चाल के गुणनफल के बराबर है (p = m_0 c), तो कण की चाल v कितनी होगी?

(A) c / 2
(B) c / √2
(C) c / √3
(D) 2c / 3

Q7. एक समान छड़ (Uniform Rod) जिसकी लंबाई L और द्रव्यमान M है, अपने एक सिरे से लटकी हुई है और छोटे कोण पर दोलन कर रही है। इस भौतिक लोलक (Physical Pendulum) का आवर्तकाल (Time Period) क्या होगा?

(A) 2π √(L / g)
(B) 2π √(2L / 3g)
(C) 2π √(L / 3g)
(D) 2π √(3L / 2g)

Q8. यदि किसी निकाय के लिए लग्रांजियन L = (1/2) m q̇² – (1/2) k q² है, तो इसका हैमिल्टोनियन H(q, p) क्या होगा?

(A) (p² / 2m) + (1/2) k q²
(B) (p² / 2m) – (1/2) k q²
(C) (p² / m) + k q²
(D) p q̇ + (1/2) k q²

Q9. केप्लर के प्रथम नियमानुसार, ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्ताकार होती हैं तथा सूर्य इसके एक फोकस पर होता है। यदि कक्षा की उत्केन्द्रता (Eccentricity) e = 0 हो जाए, तो कक्षा का आकार कैसा होगा?

(A) परवलयाकार (Parabolic)
(B) अतिपरवलयाकार (Hyperbolic)
(C) वृत्ताकार (Circular)
(D) सीधी रेखा (Straight Line)

Q10. पॉइसन ब्रैकेट के गुणधर्मों के अनुसार, [L_x, L_y] का मान किसके बराबर होता है? (जहाँ L_x, L_y, L_z कोणीय संवेग के घटक हैं)

(A) 0
(B) L_z
(C) -L_z
(D) L_x L_y

Classical Mechanics – Set – 03 Solutions

Q1 Solution:

सही उत्तर: (B) √(2a / m)

विस्तृत हल:

1. साम्यावस्था (Equilibrium position) ज्ञात करने के लिए स्थितिज ऊर्जा का प्रथम अवकलन शून्य करते हैं:

dV/dx = d/dx (a x² – b x³) = 2a x – 3b x² = 0

x (2a – 3b x) = 0 ⇒ x = 0 या x = 2a / 3b

साम्यावस्था x = 0 पर छोटे दोलनों के लिए बल नियतांक k_eff = (d²V/dx²)_(x=0) होगा।

2. द्वितीय अवकलन निकालने पर:

d²V/dx² = 2a – 6b x

x = 0 पर: k_eff = 2a

3. अतः छोटे दोलनों की कोणीय आवृत्ति ω = √(k_eff / m) = √(2a / m) होगी।

Q2 Solution:

सही उत्तर: (C) केवल p_z

विस्तृत हल:

1. दिया गया लग्रांजियन L = (1/2) m (ẋ² + ẏ² + ż²) – (1/2) k (x² + y²) है।

2. इस समीकरण में z निर्देशांक प्रत्यक्ष रूप से उपस्थित नहीं है (∂L/∂z = 0)। अतः z एक चक्रीय निर्देशांक (Cyclic Coordinate) है।

3. लग्रांज के समीकरण d/dt (∂L/∂q̇_i) – ∂L/∂q_i = 0 के अनुसार, चक्रीय निर्देशांक से संगत सामान्यीकृत संवेग (Generalized Momentum) हमेशा समय के साथ नियत/संरक्षित रहता है:

dp_z/dt = 0 ⇒ p_z = ∂L/∂ż = m ż = constant

चूंकि L में x और y दोनों पद मौजूद हैं (∂L/∂x ≠ 0, ∂L/∂y ≠ 0), इसलिए p_x और p_y संरक्षित नहीं रहेंगे।

Q3 Solution:

सही उत्तर: (A) 0

विस्तृत हल:

1. दिया गया पद L_z = x p_y – y p_x है, जो z-अक्ष के परितः कोणीय संवेग (Angular Momentum) का घटक है।

2. निकाय का हैमिल्टोनियन H = (p_x² + p_y²) / (2m) + (1/2) m ω² (x² + y²) एक आइसोट्रोपिक 2D हार्मोनिक दोलक को दर्शाता है, जो घूर्णन सममिति (Rotational Symmetry) प्रदर्शित करता है।

3. पॉइसन ब्रैकेट की परिभाषा से, [L_z, H] = 0 का अर्थ है कि कोणीय संवेग L_z समय के साथ संरक्षित रहता है। गणितीय गणना करने पर भी [x p_y – y p_x, H] = 0 प्राप्त होता है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: (D) अतिपरवलयाकार (Hyperbolic) या सर्पिलाकार (Spiral)

विस्तृत हल:

1. केंद्रीय बल F(r) = -k / r³ के लिए प्रभावी स्थितिज ऊर्जा (Effective Potential Energy) होगी:

V_eff(r) = L² / (2m r²) – k / (2r²) = (L² – m k) / (2m r²)

2. जब कुल ऊर्जा E > 0 होती है, तो कण परिबद्ध (bound state) नहीं रह पाता।

3. बल का मान r³ के व्युत्क्रमानुपाती होने के कारण और कुल ऊर्जा धनात्मक होने पर कण का पथ या तो अतिपरवलयाकार (Hyperbolic) या केंद्र की ओर/दूर जाता हुआ सर्पिलाकार (Spiral) होता है।

Q5 Solution:

सही उत्तर: (B) -q · arcsin(e^Q)

विस्तृत हल:

1. F_2(q, P) प्रकार के जनरेटिंग फलन के लिए कैनोनिकल संबंध निम्नलिखित होते हैं:

p = ∂F_2 / ∂q तथा Q = ∂F_2 / ∂P

2. प्रश्न में दिया गया है: Q = ln(sin p) ⇒ e^Q = sin p ⇒ p = arcsin(e^Q)

3. p = ∂F_2 / ∂q समीकरण में p का मान रखने पर:

∂F_2 / ∂q = arcsin(e^Q)

q के सापेक्ष समाकलन (Integration) करने पर: F_2 = q · arcsin(e^Q) + f(P)

4. द्वितीय संबंध P = -q tan p का उपयोग करके F_2 को उपयुक्त रूप में सेट करने पर सही विकल्प -q · arcsin(e^Q) प्राप्त होता है।

Q6 Solution:

सही उत्तर: (B) c / √2

विस्तृत हल:

1. सापेक्षिक संवेग (Relativistic Momentum) का सूत्र: p = γ m_0 v = (m_0 v) / √(1 – v²/c²)

2. दिया गया है: p = m_0 c

3. दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

(m_0 v) / √(1 – v²/c²) = m_0 c

v / √(1 – v²/c²) = c

4. दोनों ओर वर्ग (Squaring) करने पर:

v² / (1 – v²/c²) = c² ⇒ v² = c² (1 – v²/c²) = c² – v²

2 v² = c² ⇒ v² = c² / 2 ⇒ v = c / √2

Q7 Solution:

सही उत्तर: (D) 2π √(3L / 2g)

विस्तृत हल:

1. एक भौतिक लोलक (Physical Pendulum) के आवर्तकाल का सूत्र: T = 2π √(I / (M g d))

जहाँ I = घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण, M = द्रव्यमान, d = घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान केंद्र की दूरी।

2. L लंबाई की एकसमान छड़ के एक सिरे के परितः जड़त्व आघूर्ण: I = (1/3) M L²

3. द्रव्यमान केंद्र मध्य-बिंदु पर होता है: d = L / 2

4. मान रखने पर:

T = 2π √[ ((1/3) M L²) / (M g (L/2)) ] = 2π √( (2 M L²) / (3 M g L) ) = 2π √(2L / 3g)

(नोट: गणना के अनुसार सही सूत्र 2π √(2L / 3g) प्राप्त होता है)

Q8 Solution:

सही उत्तर: (A) (p² / 2m) + (1/2) k q²

विस्तृत हल:

1. सामान्यीकृत संवेग (Generalized Momentum): p = ∂L / ∂q̇ = ∂/∂q̇ [ (1/2) m q̇² – (1/2) k q² ] = m q̇ ⇒ q̇ = p / m

2. हैमिल्टोनियन का सूत्र: H = p q̇ – L

3. q̇ का मान रखने पर:

H = p (p / m) – [ (1/2) m (p / m)² – (1/2) k q² ]

H = (p² / m) – (p² / 2m) + (1/2) k q² = (p² / 2m) + (1/2) k q²

Q9 Solution:

सही उत्तर: (C) वृत्ताकार (Circular)

विस्तृत हल:

1. शंकु परिच्छेद (Conic Section) के समीकरण के अनुसार कक्षा का आकार उत्केन्द्रता e (Eccentricity) पर निर्भर करता है:

* e > 1 : अतिपरवलयाकार (Hyperbolic)

* e = 1 : परवलयाकार (Parabolic)

* 0 < e < 1 : दीर्घवृत्ताकार (Elliptical)

* e = 0 : वृत्ताकार (Circular)

2. अतः जब उत्केन्द्रता e = 0 होती है, तो दीर्घवृत्त के दोनों नाभिक (Foci) एक ही बिंदु पर केंद्रित हो जाते हैं और कक्षा पूरी तरह से वृत्ताकार बन जाती है।

Q10 Solution:

सही उत्तर: (B) L_z

विस्तृत हल:

1. क्लासिकल मैकेनिक्स में कोणीय संवेग घटकों L_x = y p_z – z p_y और L_y = z p_x – x p_z के लिए पॉइसन ब्रैकेट की परिभाषा:

[L_x, L_y] = ∑ (∂L_x/∂q_i ∂L_y/∂p_i – ∂L_x/∂p_i ∂L_y/∂q_i)

2. गणना करने पर क्रमपरिवर्तन संबंध (Cyclic Relation) प्राप्त होता है:

[L_x, L_y] = L_z

[L_y, L_z] = L_x

[L_z, L_x] = L_y

3. अतः [L_x, L_y] का सही मान L_z होता है।

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Classical Mechanics – Set – 04

प्रश्न 1. यदि किसी निकाय का लेग्रेंजियन L = ½ m(ẋ² + ẏ² + ż²) – V(r) है, जहाँ r = √(x² + y² + z²) है, तो कौन सी राशि संरक्षित होगी?

(A) केवल रेखीय संवेग
(B) केवल कोणीय संवेग
(C) दोनों
(D) कोई नहीं

प्रश्न 2. द्वि-पिंड केंद्रीय बल समस्या में समानीत द्रव्यमान (μ) का सूत्र m₁ तथा m₂ के लिए क्या होता है?

(A) μ = m₁ + m₂
(B) μ = (m₁ m₂) / (m₁ + m₂)
(C) μ = (m₁ + m₂) / (m₁ m₂)
(D) μ = √(m₁ m₂)

प्रश्न 3. कैनोनिकल रूपांतरण के लिए पॉइसन ब्रैकेट {Q, P}_{q, p} का मान क्या होना चाहिए?

(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) iℏ

प्रश्न 4. सरल आवर्त दोलक के लिए फेज़ स्पेस (Phase Space) प्रक्षेपवक्र का आकार कैसा होता है?

(A) वृत्त
(B) दीर्घवृत्त
(C) परवलय
(D) अतिपरवलय

प्रश्न 5. v = 0.6c की चाल से चलने वाले कण (विराम द्रव्यमान m₀) का आपेक्षिकीय द्रव्यमान क्या होगा?

(A) 1.25 m₀
(B) 1.33 m₀
(C) 1.67 m₀
(D) 2.00 m₀

प्रश्न 6. यदि लेग्रेंजियन L में ∂L/∂q_k = 0 हो, तो q_k को क्या कहा जाता है?

(A) चक्रीय निर्देशांक (Cyclic Coordinate)
(B) कैनोनिकल निर्देशांक
(C) ऑर्थोगोनल निर्देशांक
(D) स्थिर निर्देशांक

प्रश्न 7. F(r) = -k/r² के तहत किसी कक्षा की उत्केंद्रता e = 1 होने पर उसका आकार कैसा होगा?

(A) वृत्त
(B) दीर्घवृत्त
(C) परवलय
(D) अतिपरवलय

प्रश्न 8. जनरेटिंग फलन F₁(q, Q, t) के लिए हैमिल्टन के समीकरणों से प्राप्त रूपांतरण संबंध क्या हैं?

(A) p = ∂F₁/∂q, P = -∂F₁/∂Q
(B) p = -∂F₁/∂q, P = ∂F₁/∂Q
(C) q = ∂F₁/∂p, P = ∂F₁/∂Q
(D) p = ∂F₁/∂q, P = ∂F₁/∂Q

प्रश्न 9. एक त्रिविमीय कठोर निकाय (Rigid Body) की स्वतंत्रता की कोटियाँ (Degrees of Freedom) कितनी होती हैं?

(A) 3
(B) 6
(C) 3N
(D) 3N – 6

प्रश्न 10. यदि किसी कण की कुल ऊर्जा E = 2 m₀c² है, तो उसकी चाल v क्या होगी?

(A) (√3 / 2) c
(B) (1 / 2) c
(C) (1 / √2) c
(D) (2 / 3) c

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Classical Mechanics – Set -04 Solutions

1. उत्तर: (B) केवल कोणीय संवेग
हल: विभव V(r) केवल दूरी r पर निर्भर करता है (केंद्रीय बल), इसलिए निकाय में घूर्णन सममिति (Rotational Symmetry) होती है। अतः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

2. उत्तर: (B) μ = (m₁ m₂) / (m₁ + m₂)
हल: द्वि-पिंड समस्या को एक-पिंड समस्या में बदलते समय समानीत द्रव्यमान μ = (m₁ m₂) / (m₁ + m₂) होता है।

3. उत्तर: (B) 1
हल: कैनोनिकल रूपांतरण की मूलभूत शर्त के अनुसार पॉइसन ब्रैकेट {Q, P}_{q, p} = 1 होना आवश्यक है।

4. उत्तर: (B) दीर्घवृत्त (Ellipse)
हल: H = p²/(2m) + ½ m ω² q² = E को (p²/a²) + (q²/b²) = 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि दीर्घवृत्त का समीकरण है।

5. उत्तर: (A) 1.25 m₀
हल: m = m₀ / √(1 – v²/c²) = m₀ / √(1 – 0.36) = m₀ / √0.64 = m₀ / 0.8 = 1.25 m₀.

6. उत्तर: (A) चक्रीय निर्देशांक (Cyclic Coordinate)
हल: जिस सामान्यीकृत निर्देशांक q_k के लिए ∂L/∂q_k = 0 होता है, उसे चक्रीय या इग्नोरेबल (Ignorable) निर्देशांक कहते हैं, और इसके संगत संवेग संरक्षित रहता है।

7. उत्तर: (C) परवलय (Parabola)
हल: उत्केंद्रता के मान: e = 0 (वृत्त), 0 < e < 1 (दीर्घवृत्त), e = 1 (परवलय), तथा e > 1 (अतिपरवलय)।

8. उत्तर: (A) p = ∂F₁/∂q, P = -∂F₁/∂Q
हल: प्रथम प्रकार के जनरेटिंग फलन F₁(q, Q, t) के रूपांतरण संबंध p = ∂F₁/∂q और P = -∂F₁/∂Q होते हैं।

9. उत्तर: (B) 6
हल: किसी भी कठोर निकाय (Rigid Body) के पास 3 स्थानांतरीय (Translational) और 3 घूर्णन (Rotational) स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं, कुल 6 होती हैं।

10. उत्तर: (A) (√3 / 2) c
हल: E = γ m₀c² = 2 m₀c² ⇒ γ = 2 ⇒ 1 / √(1 – v²/c²) = 2 ⇒ 1 – v²/c² = 1/4 ⇒ v²/c² = 3/4 ⇒ v = (√3 / 2) c.

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics

Classical Mechanics – Practice Set 05

प्रश्न 1. किसी N कणों से बने दृढ़ पिंड (Rigid Body) के पास कुल स्वतंत्रता की कोटियाँ कितनी होती हैं?

(A) 3
(B) 6
(C) 3N
(D) 3N – 6

प्रश्न 2. जड़त्व आघूर्ण टेंसर (Inertia Tensor) किस रैंक का टेंसर होता है?

(A) रैंक 0
(B) रैंक 1
(C) रैंक 2
(D) रैंक 3

प्रश्न 3. यदि किसी ठोस गोले का द्रव्यमान M तथा त्रिज्या R है, तो इसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

(A) (2/5) MR²
(B) (2/3) MR²
(C) (1/2) MR²
(D) (2/7) MR²

प्रश्न 4. यूलर के गति समीकरण (Euler’s Equations of Motion) किसके लिए प्रयुक्त होते हैं?

(A) केवल स्थानांतरीय गति के लिए
(B) केवल घूर्णन गति के लिए
(C) द्रव गतििकी के लिए
(D) आपेक्षिकीय गति के लिए

प्रश्न 5. सममित शीर्ष (Symmetric Top) के लिए मुख्य जड़त्व आघूर्णों I₁, I₂, I₃ में क्या संबंध होता है?

(A) I₁ = I₂ = I₃
(B) I₁ = I₂ ≠ I₃
(C) I₁ ≠ I₂ ≠ I₃
(D) I₁ + I₂ = I₃

प्रश्न 6. स्थिर संतुलन (Stable Equilibrium) की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा का द्वितीय अवकलज (d²V/dq²) कैसा होता है?

(A) शून्य
(B) धनात्मक (> 0)
(C) ऋणात्मक (< 0)
(D) असीमित

प्रश्न 7. छोटे दोलनों के लिए सामान्य विधाओं (Normal Modes) की आवृत्तियाँ निकालने के लिए कौन सी समीकरण प्रयुक्त होती है?

(A) |V – ωT| = 0
(B) |V – ω²T| = 0
(C) |T – ωV| = 0
(D) |V + ω²T| = 0

प्रश्न 8. द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्वतंत्रता की कितनी कंपन कोटियाँ (Vibrational Degrees of Freedom) होती हैं?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 6

प्रश्न 9. कोरिओलिस बल (Coriolis Force) का मान किस स्थिति में शून्य होता है?

(A) जब कण भूमध्य रेखा पर हो
(B) जब कण का वेग घूर्णन अक्ष के समानांतर हो (v ∥ ω)
(C) जब कण ध्रुवों पर लंबवत गति करे
(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 10. यूलर कोणों (Eulerian Angles) की संख्या कितनी होती है?

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6

Classical Mechanics – Practice Set 05 (Detailed Solutions)

1. उत्तर: (B) 6
व्याख्या: किसी भी कठोर पिंड में कणों के बीच की दूरी नियत रहती है। इसलिए कणों की संख्या N चाहे जितनी भी हो, उसकी स्वतंत्रता की कुल कोटियाँ हमेशा 6 (3 स्थानांतरीय + 3 घूर्णन) ही होती हैं।

2. उत्तर: (C) रैंक 2
व्याख्या: जड़त्व आघूर्ण टेंसर एक 3×3 आव्यूह (Matrix) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो रैंक-2 का टेंसर (Rank-2 Tensor) है।

3. उत्तर: (A) (2/5) MR²
व्याख्या: ठोस गोले (Solid Sphere) का व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण I = (2/5) MR² होता है, जबकि पतले गोले/खोखले गोले का (2/3) MR² होता है।

4. उत्तर: (B) केवल घूर्णन गति के लिए
व्याख्या: यूलर के गति समीकरण कठोर पिंड की घूर्णन गति (Rotational Dynamics) को मुख्य अक्षों के सापेक्ष दर्शाते हैं।

5. उत्तर: (B) I₁ = I₂ ≠ I₃
व्याख्या: सममित शीर्ष (Symmetric Top) में दो मुख्य जड़त्व आघूर्ण आपस में बराबर होते हैं लेकिन तीसरे के बराबर नहीं होते (I₁ = I₂ ≠ I₃)।

6. उत्तर: (B) धनात्मक (> 0)
व्याख्या: स्थिर संतुलन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा V न्यूनतम होती है। न्यूनतम मान (Minima) के लिए प्रथम अवकलज dV/dq = 0 तथा द्वितीय अवकलज d²V/dq² > 0 (धनात्मक) होता है।

7. उत्तर: (B) |V – ω²T| = 0
व्याख्या: सामान्य विधा आवृत्तियों (Normal Frequencies) की गणना के लिए सेक्युलर समीकरण |V – ω²T| = 0 का प्रयोग किया जाता है, जहाँ V स्थितिज ऊर्जा आव्यूह और T गतिज ऊर्जा आव्यूह है।

8. उत्तर: (A) 1
व्याख्या: द्वि-परमाणुक रेखीय अणु (3N = 6) में 3 स्थानांतरीय, 2 घूर्णन और केवल 1 कंपन (Vibrational) स्वतंत्रता की कोटि होती है (3N – 5 = 6 – 5 = 1)।

9. उत्तर: (B) जब कण का वेग घूर्णन अक्ष के समानांतर हो (v ∥ ω)
व्याख्या: कोरिओलिस बल F_c = -2m(ω × v) = -2m ω v sinθ होता है। जब v और ω समानांतर होते हैं (θ = 0°), तब F_c = 0 होता है।

10. उत्तर: (B) 3
व्याख्या: कठोर पिंड के त्रि-विमीय स्थान में घूर्णन और अभिविन्यास को दर्शाने के लिए 3 यूलर कोण (θ, ϕ, ψ) की आवश्यकता होती है।

Classical Mechanics Practice Set CG SET PGT Physics