प्रकाशीय यंत्रों की विभेदन-क्षमता (Resolving Power)
जब हम प्रकाश को किरण (Ray Optics) के रूप में पढ़ते हैं, तो सब कुछ बहुत सीधा दिखाई देता है।
लेकिन व्यवहार में, प्रकाश की तरंग प्रकृति (Wave Nature) के कारण विवर्तन (Diffraction) की घटना होती है।
इसी वजह से जब दो अत्यंत समीप स्थित वस्तुओं को किसी प्रकाशीय यंत्र से देखा जाता है, तो उनके विवर्तन प्रतिरूप एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (Overlap) हो जाते हैं।
ऐसी स्थिति में वे वस्तुएँ अलग-अलग न दिखकर एक ही दिखाई देने लगती हैं।
किसी प्रकाशीय यंत्र (जैसे- नेत्र, सूक्ष्मदर्शी या दूरदर्शी) द्वारा दो अत्यंत समीपवर्ती वस्तुओं के प्रतिबिंबों को अलग-अलग (स्पष्ट) करने की क्षमता को ही उस यंत्र की विभेदन-क्षमता (Resolving Power) कहते हैं।
विभेदन सीमा (Resolution Limit) क्या है?
दो वस्तुओं के बीच की वह न्यूनतम दूरी या कोणीय झुकाव, जिस पर वे किसी प्रकाशीय यंत्र द्वारा ठीक अलग-अलग दिखाई दे सकें,
उसे उस यंत्र की विभेदन सीमा कहते हैं। वस्तुओं के बीच की दूरी इस सीमा से कम होने पर यंत्र उनमें भेद नहीं कर पाता।
महत्वपूर्ण संबंध और सूत्र
किसी भी प्रकाशीय यंत्र की विभेदन-क्षमता उसकी विभेदन सीमा के व्युत्क्रमानुपाती (Inverse) होती है।
अर्थात, विभेदन सीमा जितनी कम होगी, यंत्र की विभेदन क्षमता उतनी ही बेहतरीन होगी।
मानव नेत्र की विभेदन सीमा (Resolution Limit of Eye)
हमारी आँख की भी अलग-अलग देखने की एक निश्चित सीमा होती है।
प्रयोगों द्वारा देखा गया है कि जब दो बिंदु वस्तुओं द्वारा हमारी आँख पर बनाया गया कोण 1′ (एक मिनट) या $$(\frac{1}{60})^\circ$$ से कम होता है, तो वे वस्तुएँ हमें अलग-अलग दिखाई नहीं देतीं।
अतः मानव नेत्र की कोणीय विभेदन सीमा 1′ (1 Arcminute) होती है।
विभिन्न यंत्रों की विभेदन क्षमता के सूत्र
| प्रकाशीय यंत्र | विभेदन सीमा | विभेदन क्षमता (Resolving Power) |
|---|---|---|
| दूरदर्शी (Telescope) | $$d\theta = \frac{1.22\lambda}{D}$$ | $$\text{R.P.} = \frac{D}{1.22\lambda}$$ |
| सूक्ष्मदर्शी (Microscope) | $$dx = \frac{1.22\lambda}{2n\sin\theta}$$ | $$\text{R.P.} = \frac{2n\sin\theta}{1.22\lambda}$$ |
*(यहाँ $$\lambda$$ = प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, D = दूरदर्शी के अभिदृश्यक का द्वारक, और $$n\sin\theta$$ = संख्यात्मक द्वारक या Numerical Aperture है)*
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विभेदन-क्षमता एवं विभेदन सीमा: न्यूमेरिकल और समाधान
Q1. एक प्रकाशीय यंत्र की विभेदन सीमा (Resolution Limit) $$2.5 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$ है। इस यंत्र की विभेदन-क्षमता (Resolving Power) ज्ञात कीजिए।
• दिया है: विभेदन सीमा = $$2.5 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$
• सूत्र: $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{\text{विभेदन सीमा}}$$
• $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-6}}$$ $$= \frac{10^6}{2.5} = \mathbf{4 \times 10^5\text{ रेडियन}^{-1}}$$
उत्तर: प्रकाशीय यंत्र की विभेदन-क्षमता $$4 \times 10^5\text{ रेडियन}^{-1}$$ होगी।
Q2. एक दूरदर्शी (Telescope) के अभिदृश्यक लेंस का द्वारक (Aperture) $$1.22\text{ मीटर}$$ है। यदि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य ($$\lambda$$) $$6000\text{ Å}$$ ($$6 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$) हो, तो दूरदर्शी की कोणीय विभेदन सीमा ज्ञात कीजिए।
• दिया है: द्वारक (D) = $$1.22\text{ मीटर}$$, तरंगदैर्ध्य ($$\lambda$$) = $$6 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$
• दूरदर्शी की विभेदन सीमा का सूत्र: $$d\theta = \frac{1.22\lambda}{D}$$
• मान रखने पर: $$d\theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{1.22}$$
• $$d\theta = \mathbf{6 \times 10^{-7}\text{ रेडियन}}$$
उत्तर: दूरदर्शी की कोणीय विभेदन सीमा $$6 \times 10^{-7}\text{ रेडियन}$$ होगी।
Q3. प्रश्न 2 में दी गई स्थिति के आधार पर उस दूरदर्शी की विभेदन-क्षमता (Resolving Power) की गणना कीजिए।
• दिया है: विभेदन सीमा ($$d\theta$$) = $$6 \times 10^{-7}\text{ रेडियन}$$ (प्रश्न 2 से)
• सूत्र: $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{d\theta} = \frac{D}{1.22\lambda}$$
• $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{6 \times 10^{-7}}$$ $$= \mathbf{1.67 \times 10^6\text{ रेडियन}^{-1}}$$
उत्तर: दूरदर्शी की विभेदन-क्षमता $$1.67 \times 10^6\text{ रेडियन}^{-1}$$ होगी।
Q4. दो आकाशीय पिंडों के बीच का कोणीय झुकाव $$2 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$ है। क्या एक ऐसा दूरदर्शी उन्हें अलग-अलग देख पाएगा जिसकी विभेदन सीमा $$3 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$ है?
• पिंडों के बीच की दूरी (कोणीय झुकाव) = $$2 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$
• दूरदर्शी की विभेदन सीमा = $$3 \times 10^{-6}\text{ रेडियन}$$
• चूँकि वस्तुओं के बीच की वास्तविक दूरी ($$2 \times 10^{-6}$$) दूरदर्शी की न्यूनतम आवश्यक विभेदन सीमा ($$3 \times 10^{-6}$$) से **कम** है।
उत्तर: नहीं, दूरदर्शी इन पिंडों में भेद नहीं कर पाएगा और वे अलग-अलग दिखाई न देकर एक ही धब्बे जैसी दिखाई देंगी।
Q5. एक सूक्ष्मदर्शी (Microscope) का संख्यात्मक द्वारक (Numerical Aperture = $$n\sin\theta$$) 0.5 है। यदि $$6000\text{ Å}$$ ($$\lambda = 6 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$) तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उपयोग किया जाए, तो सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा (dx) ज्ञात कीजिए।
• दिया है: $$n\sin\theta = 0.5$$, $$\lambda = 6 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$
• सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा का सूत्र: $$dx = \frac{1.22\lambda}{2n\sin\theta}$$
• मान रखने पर: $$dx = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2 \times 0.5}$$
• $$dx = \frac{7.32 \times 10^{-7}}{1.0}$$ $$= \mathbf{7.32 \times 10^{-7}\text{ मीटर}}$$
उत्तर: सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $$7.32 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$ (या $$732\text{ nm}$$) होगी।
विभेदन क्षमता और विभेदन सीमा में अंतर
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