सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता (Resolving Power of Microscope)
पिछले अध्याय में हमने जाना था कि विभेदन क्षमता क्या होती है।
आज हम विशेष रूप से सूक्ष्मदर्शी (Microscope) की विभेदन क्षमता की बात करेंगे।
सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता का निर्धारण उन दो अत्यंत पास स्थित बिंदु वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी (d) से किया जाता है,
जिससे वे सूक्ष्मदर्शी से देखे जाने पर बिल्कुल अलग-अलग और स्पष्ट दिखाई दे सकें।
एबी (Abbe) का समीकरण और सूत्र
वैज्ञानिक एबी के अनुसार, सूक्ष्मदर्शी द्वारा विभेदित की जा सकने वाली दो वस्तुओं के बीच की न्यूनतम दूरी (अर्थात विभेदन सीमा) का सूत्र निम्नलिखित है:
चूँकि विभेदन-क्षमता, विभेदन सीमा (d) के व्युत्क्रमानुपाती होती है,
इसलिए सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता का सूत्र होगा:
संकेतों के अर्थ:
- $$\lambda$$ : वस्तु को प्रकाशित करने के लिए प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य।
- $$\mu$$ : वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक।
- $$\theta$$ : वस्तु द्वारा अभिदृश्यक लेंस पर बनाए गए शंकु का अर्द्ध-कोण।
- $$\mu \sin\theta$$ : इसे सूक्ष्मदर्शी का आंकिक द्वारक (Numerical Aperture) कहते हैं। मानव नेत्र के लिए इसका मान लगभग 0.004 होता है।
विभेदन-क्षमता को बढ़ाने के उपाय
उपर्युक्त सूत्र से स्पष्ट है कि यदि हमें सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता को बढ़ाना है,
तो हमें दो काम करने होंगे:
- तरंगदैर्ध्य ($$\lambda$$) का मान कम करके: कम तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश (जैसे- बैंगनी प्रकाश) का उपयोग करने से विभेदन क्षमता बढ़ती है।
- आंकिक द्वारक ($$\mu \sin\theta$$) का मान बढ़ाकर: इसके लिए वस्तु को वायु में रखने के बजाय अधिक अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबाकर देखा जाता है। ऐसे लेंस को तेल निमज्जन अभिदृश्यक (Oil Immersion Objective) कहते हैं।
क्रांतिकारी बिंदु: इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी (Electron Microscope)
प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की एक सीमा होती है क्योंकि दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बहुत कम नहीं की जा सकती।
इस समस्या को दूर करने के लिए डी-ब्रॉग्ली सिद्धांत का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी बनाया गया।
- गतिशील इलेक्ट्रॉन तरंगों की भाँति व्यवहार करते हैं। जब इन्हें $$60,000\text{ वोल्ट}$$ के विभवान्तर से त्वरित किया जाता है, तो इनकी तरंगदैर्ध्य लगभग $$5 \times 10^{-12}\text{ मीटर}$$ हो जाती है।
- यह तरंगदैर्ध्य सामान्य दृश्य प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का लगभग 1,20,000वाँ भाग है!
- चूँकि तरंगदैर्ध्य बहुत ही कम हो जाती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता साधारण प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी से लगभग 1,20,000 गुनी अधिक होती है।
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सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता: न्यूमेरिकल और समाधान
Q1. एक सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक का आंकिक द्वारक (Numerical Aperture) 0.15 है। यदि $$600\text{ नैनोमीटर}$$ ($$600 \times 10^{-9}\text{ मीटर}$$) तरंगदैर्ध्य का प्रकाश प्रयुक्त किया जाता है, तो सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा (d) क्या होगी?
• दिया है: आंकिक द्वारक ($$\mu \sin\theta$$) = $$0.15$$, तरंगदैर्ध्य ($$\lambda$$) = $$600 \times 10^{-9}\text{ मीटर}$$
• सूत्र: $$d = \frac{\lambda}{2\mu \sin\theta}$$
• मान रखने पर: $$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{2 \times 0.15} = \frac{600 \times 10^{-9}}{0.30}$$
• $$d = \mathbf{2.4 \times 10^{-6}\text{ मीटर}}$$
उत्तर: सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $$2.4 \times 10^{-6}\text{ मीटर}$$ होगी।
Q2. प्रश्न 1 में दिए गए आंकड़ों के आधार पर उस सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता (Resolving Power) की गणना कीजिए.
• दिया है: विभेदन सीमा (d) = $$2.4 \times 10^{-6}\text{ मीटर}$$
• सूत्र: $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{d} = \frac{2\mu \sin\theta}{\lambda}$$
• मान रखने पर: $$\text{विभेदन-क्षमता} = \frac{1}{2.4 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2.4}$$
• $$\text{विभेदन-क्षमता} = \mathbf{4.17 \times 10^5\text{ मीटर}^{-1}}$$
उत्तर: सूक्ष्मदर्शी की विभेदन-क्षमता $$4.17 \times 10^5\text{ मीटर}^{-1}$$ होगी।
Q3. एक सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक लेंस के लिए वायु में अर्द्ध-कोण ($$\theta$$) $$30^\circ$$ है। यदि $$5000\text{ Å}$$ ($$5 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$) तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उपयोग किया जाए, तो सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा ज्ञात कीजिए। (वायु के लिए $$\mu = 1$$)
• दिया है: $$\theta = 30^\circ \Rightarrow \sin 30^\circ = 0.5$$, $$\mu = 1$$, $$\lambda = 5 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$
• आंकिक द्वारक = $$\mu \sin\theta = 1 \times 0.5 = 0.5$$
• सूत्र: $$d = \frac{\lambda}{2\mu \sin\theta} = \frac{5 \times 10^{-7}}{2 \times 0.5}$$
• $$d = \frac{5 \times 10^{-7}}{1} = \mathbf{5 \times 10^{-7}\text{ मीटर}}$$
उत्तर: सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $$5 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$ (या $$500\text{ nm}$$) होगी।
Q4. यदि प्रश्न 3 वाले सूक्ष्मदर्शी के लेंस को एक ऐसे तेल में डुबाया जाए जिसका अपवर्तनांक ($$\mu$$) 1.5 है (तेल निमज्जन सूक्ष्मदर्शी), तो नई विभेदन सीमा क्या होगी?
• दिया है: नया अपवर्तनांक ($$\mu’$$) = $$1.5$$, $$\sin 30^\circ = 0.5$$, $$\lambda = 5 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$
• नया आंकिक द्वारक = $$\mu’ \sin\theta = 1.5 \times 0.5 = 0.75$$
• सूत्र: $$d’ = \frac{\lambda}{2\mu’ \sin\theta} = \frac{5 \times 10^{-7}}{2 \times 0.75}$$
• $$d’ = \frac{5 \times 10^{-7}}{1.5} = \mathbf{3.33 \times 10^{-7}\text{ मीटर}}$$
उत्तर: तेल का उपयोग करने पर विभेदन सीमा घटकर $$3.33 \times 10^{-7}\text{ मीटर}$$ रह जाएगी (यानी स्पष्टता बढ़ जाएगी)।
Q5. एक इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में इलेक्ट्रॉनों को त्वरित करने पर उनकी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य $$\lambda_e = 0.04\text{ Å}$$ ($$4 \times 10^{-12}\text{ मीटर}$$) है। यदि एक साधारण सूक्ष्मदर्शी में पीले प्रकाश ($$\lambda = 6000\text{ Å}$$) का उपयोग किया जाए, तो इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता साधारण सूक्ष्मदर्शी से कितने गुना अधिक होगी (मान लीजिए दोनों का आंकिक द्वारक समान है)?
• दिया है: $$\lambda_e = 0.04\text{ Å}$$, $$\lambda_{\text{light}} = 6000\text{ Å}$$
• सूत्र से विभेदन-क्षमता ($$\text{R.P.}$) $\propto \frac{1}{\lambda}$$
• अनुपात: $$\frac{\text{R.P.}_e}{\text{R.P.}_{\text{light}}}$$ $$= \frac{\lambda_{\text{light}}}{\lambda_e} = \frac{6000}{0.04}$$
• अनुपात = $$\frac{600000}{4} = \mathbf{1,50,000}$$
उत्तर: इस स्थिति में इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता साधारण सूक्ष्मदर्शी से 1,50,000 गुना अधिक होगी।
सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता का सूत्र
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