गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र गति (Free Motion Under Gravity)
जब किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह के पास कुछ ऊँचाई से छोड़ दिया जाता है तो वह वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल के कारण नीचे की ओर गिरने लगती है। इस समय उसमें त्वरण उत्पन्न हो जाता है। यदि वायु का प्रतिरोध नगण्य हो तो वस्तु की इस गति को गुरुत्व के अधीन स्वतंत्र गति अथवा गुरुत्व के अधीन मुक्त पतन (Free fall) कहते हैं। चूँकि गुरुत्व के अधीन स्वतंत्रतापूर्वक गिरती हुई वस्तु द्वारा तय की गई दूरी पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत ही कम होती है, वस्तु के त्वरण को एकसमान माना जा सकता है। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण (Acceleration due to gravity) कहते हैं तथा इसे \( g \) से प्रदर्शित करते हैं।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण \( g \) का मान \( 9.8 \text{ ms}^{-2} \) होता है।
इस प्रकार गुरुत्व के अधीन स्वतंत्रतापूर्वक गिरती हुई वस्तु की गति एकसमान त्वरित गति होती है। अतः, गति के समीकरण गुरुत्व के अधीन स्वतंत्रतापूर्वक गिरती हुई वस्तु के लिए भी सत्य होंगे।
महत्वपूर्ण स्थितियाँ (Special Cases)
स्थिति I. जब वस्तु को विरामावस्था से छोड़ा जाता है तब प्रारम्भिक वेग शून्य होगा। अतः: \( u = 0 \), \( s \) के स्थान पर \( h \) तथा \( a \) के स्थान पर \( g \) लिखने पर गति के समीकरण निम्न होंगे—
(ii) \( h = \frac{1}{2}gt^2 \) तथा
(iii) \( v^2 = 2gh \)
स्थिति II. जब वस्तु को ऊपर की ओर फेंका जाता है, तब \( a \) के स्थान पर \( -g \) लिखने पर,
(ii) \( h = ut – \frac{1}{2}gt^2 \) तथा
(iii) \( v^2 = u^2 – 2gh \)
स्थिति III. यदि वस्तु गुरुत्व के अधीन स्वतन्त्रतापूर्वक गिरती है तो उसका प्रारम्भिक वेग शून्य होगा। अतः: \( u = 0 \), \( a = g \) (गुरुत्वीय त्वरण) तथा \( x = h \) लिखने पर गति के समीकरण होंगे—
(ii) \( h = \frac{1}{2}gt^2 \) तथा
(iii) \( v^2 = 2gh \)
स्थिति IV. यदि वस्तु को ऊपर की ओर फेंका जाये तो \( a \) के स्थान पर \( -g \) तथा \( s \) के स्थान पर \( h \) लिखने पर गति के समीकरण होंगे—
(ii) \( h = ut – \frac{1}{2}gt^2 \) तथा
(iii) \( v^2 = u^2 – 2gh \)
गुरुत्व के अधीन गति: 5 महत्वपूर्ण आंकिक प्रश्न
प्रश्न 1. एक गेंद को 20 मीटर की ऊँचाई से गिराया जाता है। गेंद को पृथ्वी तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? (g = 10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर लें)
हल: यहाँ h = 20 मीटर, u = 0, a = g = 10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर।
सूत्र h = 1/2 gt2 से:
20 = 1/2 * 10 * t2
20 = 5 * t2
t2 = 4
t = 2 सेकण्ड। उत्तर: 2 सेकण्ड
प्रश्न 2. एक पत्थर को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर 30 मीटर/सेकण्ड के वेग से फेंका जाता है। वह अधिकतम कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगा? (g = 10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर लें)
हल: u = 30 मीटर/सेकण्ड, v = 0 (अधिकतम ऊँचाई पर), a = -g = -10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर।
सूत्र v2 = u2 – 2gh से:
0 = (30)2 – 2 * 10 * h
0 = 900 – 20h
20h = 900
h = 45 मीटर। उत्तर: 45 मीटर
प्रश्न 3. किसी वस्तु को ऊपर फेंकने पर वह 5 सेकण्ड में अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है। उसका प्रारम्भिक वेग क्या था? (g = 10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर लें)
हल: v = 0, t = 5 सेकण्ड, a = -g = -10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर।
सूत्र v = u – gt से:
0 = u – 10 * 5
u = 50 मीटर/सेकण्ड। उत्तर: 50 मीटर/सेकण्ड
प्रश्न 4. एक गेंद को मीनार से गिराने पर वह 4 सेकण्ड में पृथ्वी पर पहुँचती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (g = 9.8 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर लें)
हल: u = 0, t = 4 सेकण्ड, g = 9.8 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर।
सूत्र h = 1/2 gt2 से:
h = 1/2 * 9.8 * (4)2
h = 4.9 * 16
h = 78.4 मीटर। उत्तर: 78.4 मीटर
प्रश्न 5. यदि किसी वस्तु को ऊपर की ओर फेंकने पर वह 10 मीटर की ऊँचाई तक जाती है, तो उसे फेंकते समय वेग क्या था? (g = 10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर लें)
हल: h = 10 मीटर, v = 0, a = -10 मीटर/सेकण्ड स्क्वायर।
सूत्र v2 = u2 – 2gh से:
0 = u2 – 2 * 10 * 10
u2 = 200
u = वर्गमूल(200) = 14.14 मीटर/सेकण्ड। उत्तर: 14.14 मीटर/सेकण्ड
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