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विमीय सूत्र (Dimensional Formula) क्या है?

परिभाषा: किसी भौतिक राशि का विमीय सूत्र वह व्यंजक (Expression) है, जो यह दर्शाता है कि उस राशि में कौन-कौन सी मूल राशियाँ (जैसे द्रव्यमान [M], लम्बाई [L], समय [T], विद्युत धारा [A], और ताप [K]) और उनकी कितनी घातें (Powers) शामिल हैं। इसे हमेशा बड़े कोष्ठक [ ] के अंदर लिखा जाता है।

महत्वपूर्ण भौतिक राशियों के विमीय सूत्र एवं SI मात्रक (संपूर्ण सूची)

नीचे दी गई तालिका में क्रमानुसार सभी 45 महत्वपूर्ण भौतिक राशियों के सूत्र, विमीय सूत्र और S.I. मात्रक दिए गए हैं:

क्र. \| भौतिक राशि एवं सूत्र	विमीय सूत्र (Dimensional Formula)	S.I. मात्रक (Units)
1. क्षेत्रफल लम्बाई × चौड़ाई	[M⁰ L² T⁰]	मीटर² (m²)
2. आयतन लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई	[M⁰ L³ T⁰]	मीटर³ (m³)
3. घनत्व द्रव्यमान / आयतन	[M L⁻³ T⁰]	किग्रा/मीटर³ (kgm⁻³)
4. आपेक्षिक घनत्व वस्तु का घनत्व / पानी का घनत्व	[M⁰ L⁰ T⁰] (विमाहीन राशि)	कोई मात्रक नहीं
5. वेग या चाल दूरी / समय	[M⁰ L T⁻¹]	मीटर/सेकेण्ड (ms⁻¹)
6. संवेग द्रव्यमान × वेग	[M L T⁻¹]	किग्रा-मीटर/सेकेण्ड (kgms⁻¹)
7. त्वरण वेग में परिवर्तन / समय	[M⁰ L T⁻²]	मीटर/सेकेण्ड² (ms⁻²)
8. बल द्रव्यमान × त्वरण	[M L T⁻²]	न्यूटन (N)
9. कार्य बल × दूरी	[M L² T⁻²]	जूल (J)
10. ऊर्जा कार्य करने की क्षमता	[M L² T⁻²]	जूल (J)
11. बल-आघूर्ण बल × दूरी	[M L² T⁻²]	न्यूटन-मीटर (Nm)
12. आवेग बल × समय	[M L T⁻¹]	न्यूटन-सेकेण्ड (Ns)
13. दाब बल / क्षेत्रफल	[M L⁻¹ T⁻²]	न्यूटन/मीटर² या पास्कल (Pa)
14. शक्ति कार्य / समय	[M L² T⁻³]	वाट (W)
15. पृष्ठ-तनाव बल / लम्बाई	[M L⁰ T⁻²]	न्यूटन/मीटर (Nm⁻¹)
16. विकृति लम्बाई में परिवर्तन / प्रारम्भिक लम्बाई	[M⁰ L⁰ T⁰] (विमाहीन राशि)	कोई मात्रक नहीं
17. प्रतिबल बल / क्षेत्रफल	[M L⁻¹ T⁻²]	न्यूटन/मीटर² (Nm⁻²)
18. प्रत्यास्थता गुणांक प्रतिबल / विकृति	[M L⁻¹ T⁻²]	न्यूटन/मीटर² (Nm⁻²)
19. स्प्रिंग का बल नियतांक आरोपित बल / लम्बाई में परिवर्तन	[M L⁰ T⁻²]	न्यूटन/मीटर (Nm⁻¹)
20. कोण चाप / त्रिज्या	[M⁰ L⁰ T⁰] (विमाहीन राशि)	रेडियन (rad)
21. कोणीय वेग कोण / समय	[M⁰ L⁰ T⁻¹]	रेडियन/सेकेण्ड (rads⁻¹)
22. कोणीय त्वरण कोणीय वेग में परिवर्तन / समय	[M⁰ L⁰ T⁻²]	रेडियन/सेकेण्ड² (rads⁻²)
23. जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान × (दूरी)²	[M L² T⁰]	किग्रा-मीटर² (kgm²)
24. कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण × कोणीय वेग	[M L² T⁻¹]	किग्रा-मीटर²/सेकेण्ड (kgm²s⁻¹)
25. आवृत्ति 1 / आवर्तकाल	[M⁰ L⁰ T⁻¹]	हर्ट्ज (Hz) या सेकेण्ड⁻¹
26. गुरुत्वाकर्षण नियतांक (G) (बल × दूरी²) / (द्रव्यमान × द्रव्यमान)	[M⁻¹ L³ T⁻²]	न्यूटन-मीटर²/किग्रा² (Nm²kg⁻²)
27. श्यानता गुणांक (बल/क्षेत्रफल) / (वेग/दूरी)	[M L⁻¹ T⁻¹]	किग्रा मीटर⁻¹ सेकेण्ड⁻¹ या पॉयज
28. आवेग (पुनरावृत्ति) बल × समय	[M L T⁻¹]	न्यूटन-सेकेण्ड
29. विशिष्ट ऊष्मा ऊष्मा (ऊर्जा) / (द्रव्यमान × ताप वृद्धि)	[M⁰ L² T⁻² K⁻¹]	जूल/(किग्रा × केल्वิน) (Jkg⁻¹K⁻¹)
30. ऊष्माधारिता द्रव्यमान × विशिष्ट ऊष्मा	[M L² T⁻² K⁻¹]	जूल/केल्विन (JK⁻¹)
31. गुप्त ऊष्मा ऊष्मा (ऊर्जा) / द्रव्यमान	[M⁰ L² T⁻²]	जूल/किग्रा (Jkg⁻¹)
32. रेखीय प्रसार-गुणांक लम्बाई में वृद्धि / (प्रारम्भिक लम्बाई × ताप वृद्धि)	[M⁰ L⁰ T⁰ K⁻¹]	केल्विन⁻¹ (K⁻¹)
33. ऊष्मा चालकता-गुणांक (ऊष्मा × दूरी) / (क्षेत्रफल × समय × तापान्तर)	[M L T⁻³ K⁻¹]	जूल/(मीटर × सेकेण्ड × केल्विन)
34. प्लांक नियतांक (h) ऊर्जा / आवृत्ति	[M L² T⁻¹]	जूल-सेकेण्ड (Js)
35. बोल्ट्जमैन नियतांक (k) ऊर्जा / ताप	[M L² T⁻² K⁻¹]	जूल/केल्विन (JK⁻¹)
36. आवेश विद्युतधारा × समय	[M⁰ L⁰ T A]	कूलॉम (C)
37. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता बल / आवेश	[M L T⁻³ A⁻¹]	न्यूटन/कूलॉम (NC⁻¹)
38. विद्युत विभव कार्य / आवेश	[M L² T⁻³ A⁻¹]	वोल्ट (V)
39. विद्युत धारिता आवेश / विभव	[M⁻¹ L⁻² T⁴ A²]	फैराडे (F)
40. प्रतिरोध विभवान्तर / धारा	[M L² T⁻³ A⁻²]	ओम (Ω)
41. प्रेरकत्व विभव / (धारा / समय)	[M L² T⁻² A⁻²]	हेनरी (H)
42. चुम्बकीय-आघूर्ण धारा × क्षेत्रफल	[M⁰ L² T⁰ A]	ऐम्पियर-मीटर² (Am²)
43. ध्रुव-प्राबल्य चुम्बकीय आघूर्ण / लम्बाई	[M⁰ L T⁰ A]	ऐम्पियर-मीटर (Am)
44. चुम्बकीय क्षेत्र (B) बल / (आवेश × वेग)	[M L⁰ T⁻² A⁻¹]	टेसला (T) या वेबर/मीटर²
45. चुम्बकीय फ्लक्स चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता × क्षेत्रफल	[M L² T⁻² A⁻¹]	वेबर (Wb)

💡 विशेष परीक्षा उपयोगी नोट्स (समान विमीय सूत्र वाली राशियाँ)

प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर समान विमीय सूत्र वाले जोड़े पूछे जाते हैं। इन्हें याद रखना बेहद आसान है:

[M L² T⁻²] : कार्य, बल-आघूर्ण और ऊर्जा के समस्त रूप (जैसे- गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा, उष्मीय ऊर्जा आदि)।
[M L T⁻¹] : रेखीय संवेग और आवेग।
[M L⁻¹ T⁻²] : दाब, प्रतिबल और प्रत्यास्थता गुणांक।
[M⁰ L⁰ T⁻¹] : आवृत्ति और कोणीय वेग।
[M⁰ L⁰ T⁻²] : पृष्ठ तनाव, बल नियतांक और पृष्ठ ऊर्जा।
[M L² T⁻¹] : कोणीय संवेग और प्लांक नियतांक।

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✍️ विमीय सूत्र पर आधारित महत्वपूर्ण अंकीय प्रश्न (Numerical Questions)

भौतिक विज्ञान की परीक्षाओं में विमीय सूत्रों और सिद्धांतों पर आधारित जिस तरह के प्रश्न पूछे जाते हैं, उनके अभ्यास के लिए नीचे 5 महत्वपूर्ण उदाहरण हल सहित दिए गए हैं:

प्रश्न 1. यदि किसी गतिमान वस्तु का बल (F) = [M L T⁻²], विस्थापन (d) = [L] है, तो कार्य (W = F × d) का विमीय सूत्र ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):
दिया गया है:
बल (F) का विमीय सूत्र = [M L T⁻²]
विस्थापन (d) का विमीय सूत्र = [L]सूत्रानुसार:
कार्य (W) = बल × विस्थापन
W = [M L T⁻²] × [L]
W = [M L¹⁺¹ T⁻²]उत्तर: कार्य का विमीय सूत्र [M L² T⁻²] होता है।

प्रश्न 2. विमीय संतुलन के सिद्धांत का उपयोग करके जाँच कीजिए कि गति का समीकरण v = u + at विमीय रूप से सही है या नहीं? (जहाँ v = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, a = त्वरण, t = समय)

हल (Solution):
समीकरण के दोनों पक्षों की विमाएँ लिखने पर:
बायें पक्ष (LHS) की विमा:
वेग (v) की विमा = [L T⁻¹]दाहिने पक्ष (RHS) की विमा:
u की विमा = [L T⁻¹]
at की विमा = [L T⁻²] × [T] = [L T⁻¹]
चूँकि समान विमा वाली राशियाँ ही आपस में जोड़ी जा सकती हैं, अतः RHS की कुल विमा = [L T⁻¹]निष्कर्ष: यहाँ LHS की विमा = RHS की विमा है।
उत्तर: यह समीकरण विमीय रूप से पूर्णतः सत्य (Correct) है।

प्रश्न 3. किसी द्रव का पृष्ठ तनाव (Surface Tension) 72 डाइन/सेमी है। विमीय सूत्र का उपयोग करके इसे S.I. मात्रक (न्यूटन/मीटर) में बदलिए।

हल (Solution):
पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र = [M L⁰ T⁻²] अर्थात् [M T⁻²]
यहाँ द्रव्यमान (M) की घात a = 1, लम्बाई (L) की घात b = 0, समय (T) की घात c = -2 है।CGS पद्धति में: M₁ = 1 ग्राम, L₁ = 1 सेमी, T₁ = 1 सेकेण्ड, n₁ = 72
SI पद्धति में: M₂ = 1 किग्रा, L₂ = 1 मीटर, T₂ = 1 सेकेण्डसूत्र: n₂ = n₁ [M₁/M₂]ᵃ [L₁/L₂]ᵇ [T₁/T₂]ᶜ
n₂ = 72 × [1 ग्राम / 1000 ग्राम]¹ × [1 सेकेण्ड / 1 सेकेण्ड]⁻²
n₂ = 72 / 1000 = 0.072उत्तर: पृष्ठ तनाव का S.I. मान 0.072 N/m (न्यूटन/मीटर) होगा।

प्रश्न 4. यदि बल (F), वेग (V) और समय (T) को मूल मात्रक माना जाए, तो द्रव्यमान (Mass) का विमीय सूत्र इनके पदों में क्या होगा?

हल (Solution):
हम जानते हैं कि न्यूटन के नियम से:
बल (F) = द्रव्यमान (m) × त्वरण (a)त्वरण को वेग और समय के पदों में लिखने पर:
त्वरण (a) = वेग (V) / समय (T)
इसलिए, F = m × (V / T)द्रव्यमान (m) का मान निकालने पर:
m = (F × T) / V
m = F¹ T¹ V⁻¹उत्तर: नए मूल मात्रकों के पदों में द्रव्यमान का विमीय सूत्र [F V⁻¹ T] होगा।

प्रश्न 5. प्लांक नियतांक (h) और जड़त्व आघूर्ण (I) के विमीय सूत्रों का अनुपात किस भौतिक राशि के विमीय सूत्र के समान होता है?

हल (Solution):
तालिका के अनुसार विमाएँ लिखने पर:
1. प्लांक नियतांक (h) का विमीय सूत्र = [M L² T⁻¹]
2. जड़त्व आघूर्ण (I) का विमीय सूत्र = [M L² T⁰]दोनों का अनुपात (h / I):
अनुपात = [M L² T⁻¹] / [M L² T⁰]
अनुपात = [M¹⁻¹ L²⁻² T⁻¹]
अनुपात = [M⁰ L⁰ T⁻¹] (जो कि आवृत्ति या कोणीय वेग की विमा है)उत्तर: प्लांक नियतांक और जड़त्व आघूर्ण का अनुपात आवृत्ति (Frequency) या कोणीय वेग के विमीय सूत्र के समान होता है।