प्रतीपगमन विश्लेषण
भविष्यवाणी की सांख्यिकी (The Science of Prediction)
1. प्रतीपगमन क्या है? (Definition)
सांख्यिकी में ‘प्रतीपगमन’ (Regression) वह तकनीक है जिसके द्वारा हम एक ज्ञात चर (Independent Variable) के आधार पर दूसरे अज्ञात चर (Dependent Variable) के औसत मूल्य का अनुमान या भविष्यवाणी लगाते हैं।
“Regression का शाब्दिक अर्थ है – ‘पीछे लौटना’ (Stepping Back).” – सर फ्रांसिस गाल्टन
2. सहसंबंध vs प्रतीपगमन
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1. प्रतीपगमन रेखाएं (Regression Lines)
सांख्यिकी में मुख्य रूप से दो प्रतीपगमन रेखाएं होती हैं:
- X on Y Rekha: यह रेखा Y के दिए गए मूल्य के आधार पर X के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाती है।
- Y on X Rekha: यह रेखा X के दिए गए मूल्य के आधार पर Y के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए उपयोग की जाती है।
2. प्रतीपगमन समीकरण (Regression Equations)
Y on X का समीकरण:
जहाँ \(b_{yx}\) प्रतीपगमन गुणांक (Regression Coefficient) है।
X on Y का समीकरण:
जहाँ \(b_{xy}\) प्रतीपगमन गुणांक है।
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प्रतीपगमन गुणांक की गणना (Calculation of b)
A. सहसंबंध और प्रमाप विचलन विधि (Correlation & SD Method)
जब आपको सहसंबंध (r) और Standard Deviation (\(\sigma\)) पता हो:
byx (Y on X)
bxy (X on Y)
B. प्रत्यक्ष डेटा विधि (Direct Data Method)
बिना सहसंबंध निकाले सीधे डेटा से गणना के लिए:
$$b_{yx} = \frac{\sum xy}{\sum x^2}$$
$$b_{xy} = \frac{\sum xy}{\sum y^2}$$
यहाँ \(x = (X – \bar{X})\) और \(y = (Y – \bar{Y})\) हैं।
मुख्य विशेषता (Key Property):
दोनों गुणांकों का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) ही सहसंबंध गुणांक (r) होता है:
$$r = \pm \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}}$$
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अभ्यास प्रश्न (Solved Numericals)
प्रश्न 01 (गुणांक की गणना):
यदि \(\sum xy = 150\) और \(\sum x^2 = 50\) है, तो प्रतीपगमन गुणांक \(b_{yx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
\(b_{yx} = \frac{150}{50} = 3\)
उत्तर: \(b_{yx} = 3\)
प्रश्न 02 (सहसंबंध से गुणांक):
यदि \(r = 0.8\), \(\sigma_x = 5\) और \(\sigma_y = 10\) है, तो \(b_{yx}\) ज्ञात कीजिए।
\(b_{yx} = 0.8 \times \left( \frac{10}{5} \right) = 0.8 \times 2 = 1.6\)
उत्तर: 1.6
प्रश्न 03 (भविष्यवाणी – Prediction):
प्रतीपगमन समीकरण \(Y = 10 + 2.5X\) में, यदि \(X = 4\) हो, तो \(Y\) का अनुमानित मूल्य क्या होगा?
\(Y = 10 + 2.5(4) = 10 + 10 = 20\)
उत्तर: \(Y = 20\)
प्रश्न 04 (समीकरण निर्माण):
यदि \(\bar{X}=40, \bar{Y}=50\) और \(b_{yx}=0.6\) है, तो \(Y\) on \(X\) का समीकरण बनाइए।
प्रश्न 05 (सहसंबंध गुणांक \(r\) निकालना):
यदि दो प्रतीपगमन गुणांक \(b_{yx} = 0.4\) और \(b_{xy} = 0.9\) हैं, तो सहसंबंध गुणांक \(r\) ज्ञात कीजिए।
\(r = \sqrt{0.4 \times 0.9} = \sqrt{0.36} = 0.6\)
उत्तर: \(r = 0.6\)
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प्रतीपगमन विश्लेषण क्या है (Regression Analysis in Hindi)
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