सदिशों के अदिश गुणनफल के गुण और भौतिकी में उदाहरण (Properties of Scalar Product in Hindi)

दो सदिशों के अदिश गुणनफल के गुण (Properties of the Scalar Product of Two Vectors)

सदिशों के अदिश गुणनफल के गुण

(i) दो सदिशों का अदिश गुणनफल क्रम-विनिमय नियम का पालन करता है अर्थात्—

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$$

प्रमाण—

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$$

तथा

$$\vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos\theta$$

$$= AB \cos\theta = \vec{A} \cdot \vec{B}$$

(ii) दो सदिशों का अदिश गुणनफल योग के सापेक्ष वितरण नियम का पालन करता है। इस प्रकार,

$$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$$

(iii) दो सदिशों का अदिश गुणनफल किसी अदिश के सापेक्ष साहचर्य नियम का पालन करता है। इस प्रकार,

$$(m\vec{A}) \cdot \vec{B} = m(\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot (m\vec{B}), \quad (\text{जहाँ } m \text{ कोई अदिश संख्या है})$$

(iv) \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) का अदिश गुणनफल—

\(\hat{i} \cdot \hat{i} = (1)(1)\cos 0^\circ = 1\)
\(\hat{j} \cdot \hat{j} = (1)(1)\cos 0^\circ = 1\)
\(\hat{k} \cdot \hat{k} = (1)(1)\cos 0^\circ = 1\)

\(\hat{i} \cdot \hat{j} = (1)(1)\cos 90^\circ = 0 = \hat{j} \cdot \hat{i}\)
\(\hat{j} \cdot \hat{k} = (1)(1)\cos 90^\circ = 0 = \hat{k} \cdot \hat{j}\)
\(\hat{k} \cdot \hat{i} = (1)(1)\cos 90^\circ = 0 = \hat{i} \cdot \hat{k}\)

(v) तीन विमाओं में दो सदिशों का अदिश गुणनफल—मानलो

$$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} \quad \text{तथा} \quad \vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$$

तब, \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) और \(\hat{k}\) में परस्पर लम्बवत् होते हैं।

\(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 1 \times 1 \cos 90^\circ = 0\)
\(\hat{i} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 1 \times 1 \cos 90^\circ = 0\)
\(\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 1 \times 1 \cos 90^\circ = 0\)

पुनः:

\(\hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \times 1 \cos 0^\circ = 1\)
\(\hat{j} \cdot \hat{j} = 1 \times 1 \cos 0^\circ = 1\)
\(\hat{k} \cdot \hat{k} = 1 \times 1 \cos 0^\circ = 1\)

अब

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}) \cdot (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k})$$

$$= A_xB_x \, \hat{i} \cdot \hat{i} + A_xB_y \, \hat{i} \cdot \hat{j} + A_xB_z \, \hat{i} \cdot \hat{k} + A_yB_x \, \hat{j} \cdot \hat{i} + A_yB_y \, \hat{j} \cdot \hat{j} + A_yB_z \, \hat{j} \cdot \hat{k} + A_zB_x \, \hat{k} \cdot \hat{i} + A_zB_y \, \hat{k} \cdot \hat{j} + A_zB_z \, \hat{k} \cdot \hat{k}$$

या

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$$

पुनः:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$$

$$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}$$

$$\cos\theta = \frac{A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}}$$

उदाहरण—यदि \(\vec{A} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}\) तथा \(\vec{B} = 2\hat{i} + \hat{j} – \hat{k}\) हो, तो \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल—दिया है— \(\vec{A} = \hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}\) तथा \(\vec{B} = 2\hat{i} + \hat{j} – \hat{k}\) हो, तो

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (\hat{i} – 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} – \hat{k})$$

$$= 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 1 \times (-1)$$

$$= 2 – 2 – 1 = -1.$$

उत्तर: -1

भौतिकी में अदिश गुणनफल के उदाहरण (Examples of Scalar Product in Physics)

(i) कार्य (Work)—यदि किसी वस्तु पर \(F\) परिमाण का बल लगाने पर बल की दिशा से \(\theta\) कोण पर वस्तु का विस्थापन \(s\) हो, तो

$$\text{कार्य} = \text{बल} \times \text{बल की दिशा में वस्तु का विस्थापन}$$

$$W = F \times s\cos\theta$$

$$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$$

अतः किया गया कार्य बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल के बराबर होता है।

(ii) तात्क्षणिक शक्ति (Instantaneous power)—यदि कोई वस्तु सूक्ष्म अन्तराल \(t\) में \(W\) कार्य करती हो, तो उसकी तात्क्षणिक शक्ति

$$P = \frac{W}{t} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{t} = \vec{F} \cdot \left(\frac{\vec{s}}{t}\right)$$

या

$$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

अतः किसी वस्तु की तात्क्षणिक शक्ति, बल और वस्तु के तात्क्षणिक वेग के अदिश गुणनफल के बराबर होती है।

(iii) विद्युत फ्लक्स (Electric flux)—यदि किसी पृष्ठ \(d\vec{s}\) के किसी बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता \(\vec{E}\) हो, तो उस पृष्ठ से उत्सर्जित विद्युत फ्लक्स \(\phi = \vec{E} \cdot d\vec{s}\) होता है।

(iv) यदि \(\vec{M}\) चुम्बकीय आघूर्ण वाले एक दण्ड चुम्बक को \(\vec{B}\) तीव्रता के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखा जाये तो उसकी स्थितिज ऊर्जा

$$U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$$

सदिशों के अदिश गुणनफल पर आधारित महत्वपूर्ण न्यूमेरिकल (Numerical Problems with Solutions)

प्रश्न 1. यदि दो सदिश \(\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} – 5\hat{k}\) और \(\vec{B} = 2\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k}\) हों, तो \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल—

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j} – 5\hat{k}) \cdot (2\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k})$$

$$= (3 \times 2) + (4 \times -3) + (-5 \times 2)$$

$$= 6 – 12 – 10 = -16$$

उत्तर: -16

प्रश्न 2. यदि सदिश \(\vec{P} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}\) तथा \(\vec{Q} = 3\hat{i} – 2\hat{j} + 4\hat{k}\) परस्पर लम्बवत् (Perpendicular) हैं, तो नियतांक \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल—चूँकि दोनों सदिश परस्पर लम्बवत् हैं, इसलिए इनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:

$$\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$$

$$(2 \times 3) + (a \times -2) + (1 \times 4) = 0$$

$$6 – 2a + 4 = 0$$

$$10 – 2a = 0 \implies 2a = 10 \implies a = 5$$

उत्तर: \(a = 5\)

प्रश्न 3. दो सदिशों \(\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\) और \(\vec{B} = 2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}\) के बीच का कोण (\(\theta\)) ज्ञात कीजिए।

हल—सूत्र से, \(\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}\)

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (1 \times 2) + (1 \times -1) + (1 \times 2) = 2 – 1 + 2 = 3$$

$$A = |\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

$$B = |\vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

$$\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{3} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

उत्तर: \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

प्रश्न 4. किसी वस्तु पर \(\vec{F} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})\) न्यूटन का बल लगाने पर उसका विस्थापन \(\vec{s} = (2\hat{i} – \hat{j} + 3\hat{k})\) मीटर होता है। वस्तु द्वारा किया गया कार्य (\(W\)) ज्ञात कीजिए।

हल—कार्य का सूत्र \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) होता है:

$$W = (5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} – \hat{j} + 3\hat{k})$$

$$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 3)$$

$$W = 10 – 3 + 6 = 13 \text{ जूल (Joule)}$$

उत्तर: 13 जूल

प्रश्न 5. यदि किसी सदिश \(\vec{A} = 4\hat{i} – 3\hat{j} + 12\hat{k}\) का परिमाण और एकांक सदिश (Unit Vector) ज्ञात कीजिए।

हल—सबसे पहले सदिश का परिमाण निकालेंगे:

$$|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

अब एकांक सदिश \(\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}\):

$$\hat{A} = \frac{4\hat{i} – 3\hat{j} + 12\hat{k}}{13} = \frac{4}{13}\hat{i} – \frac{3}{13}\hat{j} + \frac{12}{13}\hat{k}$$

उत्तर: परिमाण = 13, एकांक सदिश = \(\frac{4}{13}\hat{i} – \frac{3}{13}\hat{j} + \frac{12}{13}\hat{k}\)

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