सदिश गुणनफल की दिशा ज्ञात करने के नियम (Right Hand Rule & Screw Law in Hindi)

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सदिश गुणनफल की दिशा ज्ञात करने के नियम (Direction of Vector Product)

भौतिकी में जब हम दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Cross Product) निकालते हैं, तो परिणामी राशि भी एक सदिश राशि होती है। इसलिए इसका परिमाण निकालने के साथ-साथ इसकी दिशा (Direction) ज्ञात करना भी बेहद महत्वपूर्ण होता है। दो सदिशों \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के सदिश गुणनफल (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) की दिशा उन दोनों सदिशों से बने तल (Plane) के लम्बवत् होती है। इसे निर्धारित करने के लिए मुख्य रूप से दो नियमों का उपयोग किया जाता है:

(i) दक्षिण-हस्त नियम (Right-hand rule)

इस नियम के अनुसार, एक ऐसी रेखा की कल्पना करो जो सदिश \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के उभयनिष्ठ (Common) बिन्दु से दोनों के लम्बवत् हो। इस रेखा को दाहिने हाथ से इस प्रकार पकड़ो कि अँगूठा इस रेखा के समान्तर हो तथा उँगलियों की मोड़ सदिश \(\vec{A}\) से सदिश \(\vec{B}\) की ओर उनके बीच के छोटे कोण की ओर हो। तब अँगूठा की दिशा ही \(\vec{A} \times \vec{B}\) की दिशा को प्रदर्शित करेगी [चित्र 3.22(a)]।

(ii) दक्षिण-हस्त स्क्रू नियम (Right-handed screw law)

इस नियम के अनुसार, कल्पना करो कि दाहिने हाथ से घूमने वाले एक स्क्रू (Screw) को सदिश \(\vec{A}\) से \(\vec{B}\) की ओर दोनों सदिशों के बीच के छोटे कोण की ओर से घुमाया जा रहा है। ऐसी स्थिति में, स्क्रू के आगे बढ़ने की दिशा ही सदिश गुणनफल \(\vec{A} \times \vec{B}\) की दिशा में होगी [चित्र 3.22(b)]।

💡 अतिरिक्त महत्वपूर्ण जानकारी (Extra Knowledge):

चूँकि \(\vec{A} \times \vec{B} = -\)(\(\vec{B} \times \vec{A}\)) होता है, इसलिए दोनों का क्रम बदलने पर दक्षिण-हस्त नियम के अनुसार अँगूठे की दिशा बिल्कुल विपरीत (नीचे की ओर) हो जाती है। यही कारण है कि सदिश गुणनफल क्रम-विनिमय नियम (Commutative Law) का पालन नहीं करता है। भौतिकी में बल-आघूर्ण (\(\vec{\tau}\)), कोणीय संवेग (\(\vec{L}\)) और वेग जैसी सदिश राशियों की दिशा तय करने में इन्हीं नियमों का व्यापक उपयोग किया जाता है।

महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Questions & Answers) – सदिश गुणनफल की दिशा

प्रश्न 1. यदि दो सदिश परस्पर समान्तर (Parallel) हैं, तो उनका सदिश गुणनफल (Cross Product) कितना होता है?
(A) एक (1)
(B) शून्य सदिश (Zero Vector)
(C) अधिकतम
(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B) शून्य सदिश (Zero Vector)

प्रश्न 2. दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Cross Product) किस नियम का पालन नहीं करता है?
(A) साहचर्य नियम (Associative Law)
(B) क्रम विनिमय नियम (Commutative Law)
(C) वितरण नियम (Distributive Law)
(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B) क्रम विनिमय नियम (Commutative Law)

प्रश्न 3. यदि दो सदिश परस्पर लम्बवत् (Perpendicular) हैं, तो उनका सदिश गुणनफल किसके बराबर होता है?
(A) शून्य
(B) उनके परिमाणों के गुणनफल के बराबर (AB)
(C) ऋणात्मक मान
(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B) उनके परिमाणों के गुणनफल के बराबर (AB)

प्रश्न 4. यदि सदिश \(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}\) और सदिश \(\vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k}\) हो, तो सदिश गुणनफल \((\vec{A} \times \vec{B})\) का मान क्या होगा?
(A) \(-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}\)
(B) \(\hat{i} – 11\hat{j} – 7\hat{k}\)
(C) \(2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}\)
(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A) \(-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}\)

प्रश्न 5. ऊपर दिए गए प्रश्न के अनुसार, सदिश गुणनफल का परिमाण \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) कितना होगा?
(A) \(\sqrt{150}\)
(B) \(\sqrt{160}\)
(C) \(\sqrt{171}\)
(D) \(\sqrt{180}\)

उत्तर: (C) \(\sqrt{171}\)