सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector Product of Vectors) और उदाहरण सहित सम्पूर्ण नोट्स

 सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण (Properties of Vector Product of Vectors)

1. दो सदिशों का सदिश गुणनफल क्रम विनिमय नियम का पालन नहीं करता है। अर्थात्

$$\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}$$

प्रमाण—

$$\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin\theta \, \hat{n}$$

तथा

$$\vec{B} \times \vec{A} = AB \sin\theta (-\hat{n}) = -AB \sin\theta \, \hat{n}$$

$$\therefore \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$$

अतः-

$$\vec{A} \times \vec{B} \neq \vec{B} \times \vec{A}$$

2. दो सदिशों का सदिश गुणनफल योग के सापेक्ष वितरण नियम का पालन करता है। अर्थात्

$$\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$$

3. किसी सदिश का उसी सदिश से सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है। अर्थात्

$$\vec{A} \times \vec{A} = (A)(A)\sin 0^\circ \hat{n} = 0\hat{n}, \quad [\because \sin 0^\circ = 0]$$

$$= \vec{0}$$

4. दो लम्बवत् सदिशों का सदिश गुणनफल का परिमाण उनके परिमाणों के गुणनफल के बराबर होता है।

$$\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin 90^\circ \hat{n} = AB \hat{n}, \quad [\because \sin 90^\circ = 1]$$

$$\therefore |\vec{A} \times \vec{B}| = AB$$

5. दो समान्तर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है।

(i) यदि \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) की दिशा समान हो तो \(\theta = 0^\circ\)

$$\therefore \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin 0^\circ \hat{n} = 0\hat{n} = \vec{0}$$

(ii) यदि \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) की दिशा विपरीत हो तो \(\theta = 180^\circ\)

$$\therefore \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin 180^\circ \hat{n} = 0\hat{n} = \vec{0}$$

तीन विमाओं में दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector Product of Two Vectors in Three Dimensions)

मानलो \(\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}\) तथा \(\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}\)

\(\hat{i}, \hat{j}\) और \(\hat{k}\) परस्पर लम्बवत् होते हैं।

$$\therefore \hat{i} \times \hat{j} = (1)(1)\sin 90^\circ \hat{k} = \hat{k} \implies \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$$

$$\hat{j} \times \hat{k} = (1)(1)\sin 90^\circ \hat{i} = \hat{i} \implies \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$$

$$\text{तथा } \hat{k} \times \hat{i} = (1)(1)\sin 90^\circ \hat{j} = \hat{j} \implies \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$$

पुनः: \(\hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}\) इसी प्रकार \(\hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}\)

अतः:

$$\vec{A} \times \vec{B} = (A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}) \times (B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k})$$

$$= A_x B_x(\hat{i} \times \hat{i}) + A_x B_y(\hat{i} \times \hat{j}) + A_x B_z(\hat{i} \times \hat{k})$$

$$+ A_y B_x(\hat{j} \times \hat{i}) + A_y B_y(\hat{j} \times \hat{j}) + A_y B_z(\hat{j} \times \hat{k})$$

$$+ A_z B_x(\hat{k} \times \hat{i}) + A_z B_y(\hat{k} \times \hat{j}) + A_z B_z(\hat{k} \times \hat{k})$$

$$= 0 + A_x B_y(\hat{k}) + A_x B_z(-\hat{j}) + A_y B_x(-\hat{k})$$

$$+ 0 + A_y B_z(\hat{i}) + A_z B_x(\hat{j}) + A_z B_y(-\hat{i}) + 0$$

या

$$\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z – A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x – A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y – A_y B_x)\hat{k}$$

या

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

या

$$|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin\theta$$

$$\therefore \sin\theta = \frac{|\vec{A} \times \vec{B}|}{A.B} = \frac{|\vec{A} \times \vec{B}|}{|\vec{A}| . |\vec{B}|}$$

उदाहरण— यदि \(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}\) तथा \(\vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए—
(i) \(\vec{A} \times \vec{B}\)     (ii) \(|\vec{A} \times \vec{B}|\)     (iii) \((\vec{A} \times \vec{B})\) की दिशा में एकांक सदिश।

हल—दिया है— \(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}; \, \vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k}\)

(i)

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$$

$$= \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} – \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -5 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$$

$$= \hat{i}(-10 + 9) – \hat{j}(-5 – 6) + \hat{k}(3 + 4)$$

$$= \mathbf{-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}} \quad \textbf{उत्तर}$$

(ii) \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + 11^2 + 7^2} = \mathbf{\sqrt{171}} \quad \textbf{उत्तर}\)

(iii) \((\vec{A} \times \vec{B})\) की दिशा में एकांक सदिश \(= \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \frac{-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}}{\sqrt{171}}\)

$$= \frac{1}{\sqrt{171}}\hat{i} + \frac{11}{\sqrt{171}}\hat{j} + \frac{7}{\sqrt{171}}\hat{k} \quad \textbf{उत्तर}$$

सदिश गुणनफल के उदाहरण (Examples of Vector Product)

(i) बल-आघूर्ण—किसी बल \(\vec{F}\) का बल-आघूर्ण \(\vec{\tau}\) तथा बल के क्रिया बिन्दु का स्थिति सदिश \(\vec{r}\) हो, तो

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

(ii) रेखीय वेग—यदि किसी कण का रेखीय वेग \(\vec{v}\), कोणीय वेग \(\vec{\omega}\) तथा कण का स्थिति सदिश \(\vec{r}\) हो, तो

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

(iii) लारेंज़ बल—यदि \(q\) आवेश वाला एक कण चुंबकीय क्षेत्र \(\vec{B}\) में \(\vec{v}\) वेग से गतिमान हो, तो उस पर कार्य करने वाला लारेंज़ बल \(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\)

(iv) कोणीय संवेग—यदि किसी कण का स्थिति सदिश \(\vec{r}\) है और उसका रेखीय संवेग \(\vec{p}\) है तो उसका कोणीय संवेग \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)

सदिश गुणनफल (Cross Product) – महत्वपूर्ण न्यूमेरिकल

प्रश्न (Numerical)— यदि \(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}\) तथा \(\vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए—
(i) \(\vec{A} \times \vec{B}\)
(ii) \(|\vec{A} \times \vec{B}|\)
(iii) \((\vec{A} \times \vec{B})\) की दिशा में एकांक सदिश।

हल (Solution)—

दिया है— \(\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} – 3\hat{k}\) तथा \(\vec{B} = -2\hat{i} + 3\hat{j} – 5\hat{k}\)

(i) सदिश गुणनफल \(\vec{A} \times \vec{B}\) ज्ञात करना:

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$$

$$= \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} – \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -5 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$$

$$= \hat{i}\big((2)(-5) – (-3)(3)\big) – \hat{j}\big((1)(-5) – (-3)(-2)\big) + \hat{k}\big((1)(3) – (2)(-2)\big)$$

$$= \hat{i}(-10 + 9) – \hat{j}(-5 – 6) + \hat{k}(3 + 4)$$

$$= \mathbf{-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}} \quad \textbf{— (उत्तर i)}$$

(ii) परिमाण \(|\vec{A} \times \vec{B}|\) ज्ञात करना:

$$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + (11)^2 + (7)^2}$$

$$= \sqrt{1 + 121 + 49}$$

$$= \mathbf{\sqrt{171}} \quad \textbf{— (उत्तर ii)}$$

(iii) \(\vec{A} \times \vec{B}\) की दिशा में एकांक सदिश ज्ञात करना:

किसी सदिश की दिशा में एकांक सदिश का सूत्र होता है—

$$\hat{u} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$$

$$\hat{u} = \frac{-\hat{i} + 11\hat{j} + 7\hat{k}}{\sqrt{171}}$$

$$= \mathbf{\frac{1}{\sqrt{171}}\hat{i} + \frac{11}{\sqrt{171}}\hat{j} + \frac{7}{\sqrt{171}}\hat{k}} \quad \textbf{— (उत्तर iii)}$$

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