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वज्र-गुणन विधि (Cross Multiplication Method)

रैखिक समीकरणों को हल करने का संपूर्ण नियम

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों $$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$ तथा $$a_2x + b_2y + c_2 = 0$$ के लिए वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग किया जाता है।

वज्र-गुणन सूत्र:

$$ \frac{x}{b_1c_2 – b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 – c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 – a_2b_1} $$

समीकरण निकाय की महत्वपूर्ण शर्तें:

(i) अद्वितीय हल (Unique Solution): यदि $$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$ हो, तो निकाय संगत होगा और उसका एक ही हल होगा।
(ii) अनेक हल (Infinitely Many Solutions): यदि $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$ हो, तो रेखाएँ संपाती होंगी और अनेक हल होंगे।
(iii) कोई हल नहीं (No Solution): यदि $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$ हो, तो निकाय असंगत होगा और रेखाएँ समानांतर होंगी।

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हल सहित अभ्यास उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1

समीकरणों की प्रकृति बताइये: $$2x + 3y – 9 = 0$$ और $$4x + 6y – 18 = 0$$

उत्तर: अनेक हल (Infinitely Many Solutions)
तर्क: यहाँ $$ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-9}{-18}$$ है, यानी $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$। यह संपाती रेखाओं की शर्त है।

उदाहरण 2

जाँचें: $$x – 3y – 3 = 0$$ और $$3x – 9y – 2 = 0$$ का हल कैसा होगा?

उत्तर: कोई हल नहीं (No Solution)
तर्क: यहाँ $$a_1/a_2 = 1/3$$ और $$b_1/b_2 = -3/-9 = 1/3$$ है, लेकिन $$c_1/c_2 = -3/-2 = 3/2$$ है। चूँकि $$a_1/a_2 = b_1/b_2 \neq c_1/c_2$$, इसलिए रेखाएँ समानांतर होंगी।

उदाहरण 3

यदि k के किस मान के लिए समीकरण $$3x + y = 1$$ और $$(2k-1)x + (k-1)y = 2k+1$$ का कोई हल नहीं है?

उत्तर: $$k = 2$$
तर्क: ‘कोई हल नहीं’ की शर्त $$a_1/a_2 = b_1/b_2$$ लगाने पर: $$3/(2k-1) = 1/(k-1)$$। इसे हल करने पर $$3k – 3 = 2k – 1 \Rightarrow k = 2$$ प्राप्त होता है।

उदाहरण 4

समीकरण $$x + y = 5$$ और $$2x + 2y = 10$$ की रेखाएँ कैसी होंगी?

उत्तर: संपाती रेखाएँ (Coincident Lines)
तर्क: यहाँ $$1/2 = 1/2 = 5/10 (1/2)$$ है। जब तीनों अनुपात बराबर हों, तो रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर (संपाती) होती हैं और अनेक हल होते हैं।

उदाहरण 5

वज्र-गुणन विधि में y का मान ज्ञात करने का संक्षिप्त तर्क क्या है?

उत्तर: $$y = (c_1a_2 – c_2a_1) / (a_1b_2 – a_2b_1)$$
तर्क: वज्र-गुणन सूत्र के दूसरे और तीसरे भाग की तुलना करने पर हमें सीधे y का मान प्राप्त हो जाता है।