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द्विघात बहुपद एवं समीकरण
Quadratic Equations – महत्वपूर्ण सूत्र और नियम
मानक रूप (Standard Form): ax² + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0)
मूल (Roots) ज्ञात करने का सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र):
x = -b ± √D / 2a
जहाँ D = b² – 4ac (विविक्तकर – Discriminant)
मूलों की प्रकृति (Nature of Roots):
| विविक्तकर (D) |
मूलों की प्रकृति |
| D > 0 |
वास्तविक एवं असमान (Real & Distinct) |
| D = 0 |
वास्तविक एवं समान (Real & Equal) |
| D < 0 |
कोई वास्तविक मूल नहीं (No Real Roots) |
मूलों का योग (α + β)
-b / a
मूलों का गुणनफल (α × β)
c / a
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बहुपद (Polynomials) और परिमेय व्यंजक के उन्नत नियम
1. ल.स. (LCM) और म.स. (HCF) में संबंध
दो बहुपदों का गुणनफल:
म.स. × ल.स.
अज्ञात बहुपद:
(ल.स. × म.स.) / ज्ञात बहुपद
2. परिमेय व्यंजक (Rational Expressions) क्रिया विधि
परिमेय व्यंजक p(x) / q(x) को लघुत्तम रूप में बदलने के चरण:
- सबसे पहले p(x) और q(x) के गुणनखंड (Factor) निकालें।
- p(x) और q(x) के म.स. (HCF) के अंश और हर को काट दें।
- बचा हुआ व्यंजक ही ‘लघुत्तम रूप’ कहलाता है।
3. व्यंजकों का जोड़, गुणा और भाग
योग (Addition):
$$\frac{p(x)}{q(x)} + \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x)s(x) + r(x)q(x)}{q(x)s(x)}$$
गुणा (Multiplication):
$$\frac{p(x)}{q(x)} \times \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x) \cdot r(x)}{q(x) \cdot s(x)}$$
भाग (Division):
$$\frac{p(x)}{q(x)} \div \frac{r(x)}{s(x)} = \frac{p(x) \cdot s(x)}{q(x) \cdot r(x)}$$
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अभ्यास प्रश्न (Solved Examples)
उदाहरण 1: समीकरण x² – 5x + 6 = 0 के मूलों का योग ज्ञात करें।
उत्तर: 5
तर्क: α + β = -b/a = -(-5)/1 = 5.
उदाहरण 2: यदि D = 0 हो, तो मूल कैसे होंगे?
उत्तर: वास्तविक एवं समान
तर्क: जब विविक्तकर शून्य होता है, तो दोनों मूल बराबर होते हैं।
उदाहरण 4: समीकरण x² + 4x + 4 = 0 का विविक्तकर (D) क्या होगा?
उत्तर: 0
तर्क: D = b² – 4ac = (4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0.
उदाहरण 4: मूलों का गुणनफल ज्ञात करें: 2x² – 8x + 6 = 0
उत्तर: 3
तर्क: α × β = c/a = 6/2 = 3.
उदाहरण 5: द्विघात समीकरण बनाने का सूत्र क्या है?
उत्तर: x² – (α + β)x + (α × β) = 0
उदाहरण 6
दो बहुपदों का ल.स. (x + 3)(x – 2) और म.स. (x – 2) है। यदि एक बहुपद (x – 2) हो, तो दूसरा बहुपद क्या होगा?
उत्तर: (x + 3)(x – 2)
तर्क: सूत्र के अनुसार: दूसरा बहुपद = (ल.स. × म.स.) / पहला बहुपद।
यहाँ [(x+3)(x-2) × (x-2)] / (x-2) करने पर (x-2) कट जाएगा और (x+3)(x-2) बचेगा।
उदाहरण 7
परिमेय व्यंजक (x² – 9) / (x + 3) का लघुत्तम रूप ज्ञात कीजिए।
उत्तर: x – 3
तर्क: x² – 9 को (x + 3)(x – 3) लिखा जा सकता है। अब अंश और हर में मौजूद (x + 3) को आपस में काटने पर केवल (x – 3) शेष बचता है।
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