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त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
समकोण त्रिभुज और भुजाओं का अटूट संबंध
एक समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle) में कोण $$\theta$$ के लिए मुख्य 6 अनुपात होते हैं:
मुख्य अनुपात:
- 1. $$\sin\theta$$ = $$\frac{\text{लम्ब (L)}}{\text{कर्ण (K)}}$$
- 2. $$\cos\theta$$ = $$\frac{\text{आधार (A)}}{\text{कर्ण (K)}}$$
- 3. $$\tan\theta$$ = $$\frac{\text{लम्ब (L)}}{\text{आधार (A)}}$$
व्युत्क्रम (Reciprocal) अनुपात:
- 4. $$\operatorname{cosec}\theta$$ = $$\frac{\text{कर्ण (K)}}{\text{लम्ब (L)}}$$
- 5. $$\sec\theta$$ = $$\frac{\text{कर्ण (K)}}{\text{आधार (A)}}$$
- 6. $$\cot\theta$$ = $$\frac{\text{आधार (A)}}{\text{लम्ब (L)}}$$
याद रखने की जादुई ट्रिक: लाल-कका (LAL / KKA)
$$\frac{L}{K} \rightarrow \sin$$ | $$\frac{A}{K} \rightarrow \cos$$ | $$\frac{L}{A} \rightarrow \tan$$
महत्वपूर्ण संबंध (Relations):
● $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ ● $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
● $$\operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ ● $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ ● $$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$
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उदाहरण 1: यदि $$\sin\theta = 3/5$$ है, तो $$\cos\theta$$ का मान क्या होगा?
उत्तर: 4/5
तर्क: पाइथागोरस प्रमेय से आधार (A) = $$\sqrt{5^2 – 3^2} = 4$$। इसलिए $$\cos\theta = A/K = 4/5$$।
उदाहरण 2: $$\tan\theta \cdot \cot\theta$$ का मान हमेशा क्या होता है?
उत्तर: 1
तर्क: चूँकि $$\cot\theta = 1/\tan\theta$$ होता है, इसलिए $$\tan\theta \cdot (1/\tan\theta) = 1$$।
उदाहरण 3: एक समकोण त्रिभुज में यदि लम्ब और आधार बराबर हों, तो $$\tan\theta$$ क्या होगा?
उत्तर: 1
तर्क: $$\tan\theta = L/A$$, जब $$L = A$$ हो, तो अनुपात 1 आता है।
उदाहरण 4: $$\sec\theta$$ का मान किस भुजा के अनुपात के बराबर है?
उत्तर: कर्ण / आधार (K/A)
तर्क: यह $$\cos\theta$$ का उल्टा होता है।
उदाहरण 5: यदि $$\sin\theta = 0$$, तो $$\operatorname{cosec}\theta$$ का मान क्या होगा?
उत्तर: अपरिभाषित (Undefined)
तर्क: $$\operatorname{cosec}\theta = 1/\sin\theta = 1/0$$, जो कि अनंत/अपरिभाषित है।
Trigonometric Ratios in Hindi
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