गोला और अर्धगोला: आयतन और क्षेत्रफल (Sphere & Hemisphere)
Complete 3D Geometry Guide – Educationallof.com
गोला (Sphere) क्या है? एक गोला वह त्रिविमीय (3D) ठोस आकृति है जो पूरी तरह गोल होती है (जैसे गेंद)। जब गोले को ठीक बीच से दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो उसे अर्धगोला (Hemisphere) कहते हैं।
1. गोला (Sphere) के महत्वपूर्ण सूत्र
मान लीजिए, गोले की त्रिज्या = r है।
- आयतन (Volume): 4/3 πr³
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 4πr²
नोट: गोले में वक्र और संपूर्ण क्षेत्रफल एक ही होता है।
2. अर्धगोला (Hemisphere) के सूत्र
मान लीजिए, अर्धगोले की त्रिज्या = r है।
- आयतन (Volume): 2/3 πr³
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): 2πr²
- संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): 3πr²
याद रखने की ट्रिक:
अर्धगोले का आयतन और वक्र क्षेत्रफल हमेशा गोले के सूत्र का आधा होता है। लेकिन संपूर्ण क्षेत्रफल (TSA) निकालते समय ऊपर के वृत्ताकार हिस्से (πr²) को जोड़ना न भूलें।
Mastering Geometry @ Educationallof.com
गोला और अर्धगोला – हल किए गए उदाहरण
प्रश्न 1
7 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल: r = 7 सेमी, π = 22/7
क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × 22/7 × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 सेमी²
प्रश्न 2
एक अर्धगोले की त्रिज्या 21 सेमी है। इसका आयतन क्या होगा?
हल: r = 21 सेमी, π = 22/7
आयतन = 2/3 πr³ = 2/3 × 22/7 × 21 × 21 × 21 = 2 × 22 × 21 × 21 = 19,404 सेमी³
प्रश्न 3
10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात करें। (π = 3.14)
हल: TSA = 3πr² = 3 × 3.14 × 10 × 10 = 3 × 3.14 × 100 = 942 सेमी²
प्रश्न 4
यदि एक गोले का आयतन 4851 सेमी³ है, तो उसकी त्रिज्या क्या होगी?
हल: 4/3 πr³ = 4851 => r³ = (4851 × 3 × 7) / (4 × 22) => r³ = 9261/8 = (21/2)³ => r = 10.5 सेमी
प्रश्न 5
दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:2 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
हल: आयतनों का अनुपात = (r₁/r₂)³ = (1/2)³ = 1:8
गोला और अर्धगोला के सूत्र
और भी पढ़ें –
क्षेत्रमिति के सभी सूत्र: Mensuration Formulas in Hindi (2D & 3D) PDF Free Download
बेलन (Cylinder) और खोखला बेलन: परिभाषा, गुण, और सभी महत्वपूर्ण सूत्र (Complete Master Guide)
शंकु (Cone) और शंकु का छिन्नक (Frustum): परिभाषा, गुण और सभी महत्वपूर्ण सूत्र
त्रिभुज के प्रकार और सभी सूत्र: समकोण, समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु (Full Guide)
Matrix Reasoning in Hindi: मैट्रिक्स के सवालों को हल करने की बेस्ट शॉर्ट ट्रिक्स
गोला और अर्धगोला के सूत्र
Play quiz here 👇👇👇
70% OFF
Most Popular Question Bank
2000+ Solved Numerical Bank
Complete Maths & Reasoning Master Guide
₹499
₹149/-
🔥 Special Offer for First 100 Students!
- ✅ Target: UPSC, SSC, Banking, PGT, NET
- ✅ Content: 2000+ Handpicked Solved Numericals
- ✅ Quality: High-Quality Scanned PDF (30 MB)
- ✅ Benefit: Short Tricks & Step-by-Step Solutions
🔒 100% Secure Payment | Instant Download via Instamojo
50% OFF
Essential Revision Tool
Ultimate Mathematics Formula Guide
Symbols, Algebra, Percentage & Arithmetic Master
₹99
₹49/-
🔥 Special Launch Price – Don’t Miss Out!
- ✅ Target: SSC, Banking, Railways & School Exams
- ✅ Contents: All Basic Symbols, Algebra & Arithmetic
- ✅ Clarity: High-Quality Digital PDF for Easy Reading
- ✅ Benefit: Saves Time During Last Minute Revision
🔒 Secure Payment via Instamojo | Instant Download Access
