बेलन और खोखला बेलन: आयतन और क्षेत्रफल (Cylinder & Hollow Cylinder)
बेलन और खोखले बेलन के सूत्र : क्षेत्रमिति (Mensuration 3D) मास्टर नोट्स – Educationallof.com
जानिए , बेलन क्या है? एक बेलन (Cylinder) एक त्रिविमीय (3D) ठोस आकृति है जिसके दो वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है। एक खोखला बेलन (Hollow Cylinder) एक ऐसा बेलन है जिसके अंदर एक खाली बेलनाकार जगह होती है।
1. बेलन (Cylinder) – ठोस बेलन के सूत्र
मान लीजिए, बेलन की त्रिज्या (radius) = r और ऊँचाई (height) = h है। (π ≈ 22/7 या 3.14)
• आयतन (Volume): $$πr²h$$
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA): $$2πrh$$
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA): $$2πr(r + h) = 2πrh + 2πr²$$
• आधार का क्षेत्रफल (Area of Base): $$πr²$$
• आधार की परिधि (Circumference of Base): $$2πr$$
2. खोखला बेलन (Hollow Cylinder) – पाइप और ट्यूब के सूत्र
मान लीजिए, बाहरी त्रिज्या = R, आंतरिक त्रिज्या = r, और ऊँचाई = h है।
• आयतन (Volume): $$πh(R² – r²)$$
• बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Outer CSA): $$2πRh$$
• आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Inner CSA): $$2πrh$$
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA): (बाहरी वक्र क्षेत्रफल) + (आंतरिक वक्र क्षेत्रफल) + (दोनों वृत्ताकार रिंगों का क्षेत्रफल)
$$TSA = 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)$$
$$= 2πh(R + r) + 2π(R² – r²)$$
• मोटाई (Thickness): $$R – r$$
महत्वपूर्ण जानकारी:
खोखले बेलन के आयतन का सूत्र वास्तव में सामग्री (material) का आयतन होता है जिससे वह बना है, न कि उसके अंदर की खाली जगह का।
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बेलन और खोखला बेलन – हल किए गए उदाहरण
प्रश्न 1
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल: त्रिज्या (r) = 7 सेमी, ऊँचाई (h) = 10 सेमी, π ≈ 22/7
$$आयतन = πr²h$$
= (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 सेमी³
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $$(CSA) = 2πrh$$
= 2 × (22/7) × 7 × 10 = 2 × 22 × 10 = 440 सेमी²
प्रश्न 2
एक खोखले बेलन की बाहरी त्रिज्या 10 सेमी, आंतरिक त्रिज्या 8 सेमी, और ऊँचाई 5 सेमी है। इसका आयतन और मोटाई क्या होगी?
हल: R = 10 सेमी, r = 8 सेमी, h = 5 सेमी, π ≈ 22/7
$$आयतन = πh(R² – r²)$$
= (22/7) × 5 × (10² – 8²) = (22/7) × 5 × (100 – 64) = (22/7) × 5 × 36 ≈ 565.71 सेमी³
मोटाई = R – r = 10 – 8 = 2 सेमी
प्रश्न 3
यदि बेलन का आयतन 616 सेमी³ है और आधार का क्षेत्रफल 154 सेमी² है, तो ऊँचाई ज्ञात करें।
हल: आयतन = (आधार का क्षेत्रफल) × ऊँचाई
616 = 154 × ऊँचाई
ऊँचाई = 616 / 154 = 4 सेमी
प्रश्न 4
एक बेलन की त्रिज्या को आधा और ऊँचाई को दोगुना कर दिया जाए, तो आयतन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
हल: मूल $$आयतन = πr²h$$. नया आयतन = π(r/2)²(2h) = π(r²/4)(2h) = ½ πr²h. नया आयतन मूल आयतन का आधा हो जाएगा।
प्रश्न 5
8 सेमी त्रिज्या और 14 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल: r = 8 सेमी, h = 14 सेमी, π ≈ 22/7
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $$(TSA) = 2πr(r + h)$$ = 2 × (22/7) × 8 × (8 + 14) = 2 × (22/7) × 8 × 22 = 2 × 22 × 8 × (22/7) ≈ 1106.29 सेमी²
बेलन और खोखले बेलन के सूत्र
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