घन और घनाभ: आयतन और क्षेत्रफल (Cube & Cuboid)
घन और घनाभ के सूत्र : क्षेत्रमिति (Mensuration 3D) मास्टर नोट्स – Educationallof.com
घन और घनाभ क्या हैं? ये दोनों 3D आकृतियाँ हैं जिनमें 6 फलक (Faces), 12 किनारे (Edges) और 8 शीर्ष (Vertices) होते हैं।
1. घन (Cube) – जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों
घन एक ऐसी आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है (भुजा = a)।
• आयतन (Volume): a³ (भुजा × भुजा × भुजा)
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area): 6a²
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area): 4a²
• विकर्ण की लंबाई (Diagonal): a√3
2. घनाभ (Cuboid) – जिसकी भुजाएँ अलग-अलग हों
घनाभ में लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊँचाई (h) अलग-अलग हो सकती हैं।
• आयतन (Volume): l × b × h
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: 2(lb + bh + hl)
• चारों दीवारों का क्षेत्रफल (LSA): 2h(l + b)
• विकर्ण की लंबाई (Diagonal): √(l² + b² + h²)
महत्वपूर्ण जानकारी:
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमेशा घनाभ के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) वाले सूत्र का उपयोग करें।
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घन और घनाभ – हल किए गए उदाहरण
प्रश्न 1
एक घन की भुजा 5 सेमी है। इसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल: आयतन = 5³ = 125 सेमी³; क्षेत्रफल = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 सेमी²
प्रश्न 2
एक घनाभ की लंबाई 10 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। इसका आयतन क्या होगा?
हल: आयतन = 10 × 8 × 5 = 400 सेमी³
प्रश्न 3
8 सेमी भुजा वाले घन का विकर्ण ज्ञात करें।
हल: विकर्ण = a√3 = 8√3 सेमी
प्रश्न 4
एक घनाभ के आकार वाले कमरे की लंबाई 4मी, चौड़ाई 3मी और ऊँचाई 3मी है। चारों दीवारों का क्षेत्रफल क्या होगा?
हल: क्षेत्रफल = 2h(l + b) = 2 × 3 × (4 + 3) = 6 × 7 = 42 वर्ग मीटर
प्रश्न 5
यदि घनाभ का आयतन 240 सेमी³ है और आधार का क्षेत्रफल 40 सेमी² है, तो ऊँचाई ज्ञात करें।
हल: ऊँचाई = आयतन / आधार का क्षेत्रफल = 240 / 40 = 6 सेमी
घन और घनाभ के सूत्र
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