त्रिभुज के प्रकार और महत्वपूर्ण सूत्र (Triangles & Formulas)
त्रिभुज के प्रकार और सूत्र : समकोण, समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज की पूरी जानकारी
त्रिभुज क्या है? तीन भुजाओं से घिरी हुई बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं। इसके तीनों अंत:कोणों का योग हमेशा 180° होता है।
भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के प्रकार:
1. समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
विशेषता: इसकी तीनों भुजाएँ और तीनों कोण (60°) समान होते हैं।
• क्षेत्रफल (Area) = $$\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$$
• परिमाप (Perimeter) = 3 × a (भुजा)
2. समकोण त्रिभुज (Right Angled Triangle)
विशेषता: इसका एक कोण 90° का होता है।
• क्षेत्रफल (Area) = ½ × आधार × ऊँचाई
• कर्ण² (Hypotenuse) = आधार² + लंब² (पाइथागोरस प्रमेय)
3. समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
विशेषता: इसकी कोई भी दो भुजाएँ और उनके सामने के कोण समान होते हैं।
• परिमाप = 2a + b (जहाँ a समान भुजा है)
4. विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle)
विशेषता: इसकी तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं।
हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula):
• अर्धपरिमाप (s) = $$\frac{a + b + c}{2}$$
• क्षेत्रफल = $$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
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अभ्यास प्रश्न (Solved Practice)
प्रश्न 1
एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल: 16√3 वर्ग सेमी
(तर्क: क्षेत्रफल = $$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$$)
प्रश्न 2
एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 सेमी और लम्ब 5 सेमी है। इसका कर्ण ज्ञात करें।
हल: 13 सेमी
(तर्क: कर्ण = $$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$)
प्रश्न 3
एक त्रिभुज का आधार 15 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल: 75 वर्ग सेमी
(तर्क: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 15 × 10 = 75)
प्रश्न 4
एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजा 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। इसका परिमाप निकालें।
हल: 32 सेमी
(तर्क: परिमाप = 2a + b = 2(10) + 12 = 20 + 12 = 32)
प्रश्न 5
एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं। इसका अर्धपरिमाप (s) क्या होगा?
हल: 6 सेमी
(तर्क: s = $$\frac{a+b+c}{2} = \frac{3+4+5}{2} = \frac{12}{2} = 6$$)
त्रिभुज के प्रकार और सूत्र
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