घन कोण (Solid Angle)
द्विविमीय ज्यामिति में हम जानते हैं कि किसी वृत्त की परिधि और उसकी त्रिज्या में एक निश्चित अनुपात (2πr / r = 2π) होता है। इस गुण के आधार पर किसी समतल में कोण को रेडियन में परिभाषित किया जाता है।
r त्रिज्या के किसी वृत्त के dl लम्बाई के चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र O पर अंतरित कोण dθ को निम्न सूत्र द्वारा प्रदर्शित किया जाता है—
dθ = dl / r रेडियन
इसी तरह त्रिविमीय ज्यामिति में गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसकी त्रिज्या के वर्ग में भी एक निश्चित अनुपात (4πr2 / r2 = 4π) होता है। इस गुण के आधार पर त्रिविमीय आकाश में घन कोण को परिभाषित किया जाता है।
मानलो O केन्द्र और r त्रिज्या का एक गोला है। इसके पृष्ठ पर क्षेत्रफल अवयव ds की कल्पना करें। यदि इस क्षेत्रफल अवयव की परिधि पर स्थित समस्त बिन्दुओं को गोले के केन्द्र से मिला दें तो O शीर्ष वाला एक शंकु (Cone) बन जायेगा। बिन्दु O पर बनने वाले इस कोण को घन कोण कहते हैं।
घन कोण dω को निम्न सूत्र द्वारा प्रदर्शित किया जाता है—
dω = ds / r2
घन कोण एक विमाहीन राशि है। इसका SI मात्रक स्टेरेडियन (Steradian) होता है।
स्पष्ट है कि गोले के सम्पूर्ण पृष्ठ द्वारा उसके केन्द्र पर अंतरित घन कोण ω = 4πr2 / r2 = 4π स्टेरेडियन होगा, क्योंकि गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ 4πr2 होता है।
तिर्यक पृष्ठ द्वारा बनाया गया घन कोण
अब त्रिविमीय आकाश में बिन्दु O से r दूरी पर एक तिर्यक पृष्ठ AB (जिसका क्षेत्रफल ds है) की कल्पना करें। इसके द्वारा बिन्दु O पर अंतरित घन कोण की गणना करनी है।
बिन्दु O को केन्द्र मानकर OA = r त्रिज्या का एक गोला खींचें। मानलो यह गोला शंकु OAB पर पृष्ठ AC काटता है। तब पृष्ठ AB और पृष्ठ AC द्वारा बिन्दु O पर अंतरित घन कोण समान होगा।
किन्तु गोलीय पृष्ठ अवयव AC द्वारा बिन्दु O पर अंतरित
घन कोण dω = क्षेत्रफल AC / r2
∴ पृष्ठ AB द्वारा बिन्दु O पर अंतरित घन कोण
घन कोण dω = क्षेत्रफल AC / r2
मानलो AB के मध्य बिन्दु P से बाहर की ओर खींचा गया अभिलम्ब PN रेखा OP के साथ कोण θ बनाता है। चूँकि OP पृष्ठ AC के लम्बवत् है, पृष्ठ AB और पृष्ठ AC के अभिलम्बों के बीच का कोण θ होगा। अतः AB और AC के बीच का कोण भी θ होगा।
इस प्रकार क्षेत्रफल AC = क्षेत्रफल AB × cos θ
= ds cos θ
अतः पृष्ठ AB द्वारा बिन्दु O पर अंतरित घन कोण
dω = (ds cos θ) / r2
बंद पृष्ठ द्वारा अंतरित घन कोण
यदि किसी भी आकृति के बंद पृष्ठ द्वारा उसके अन्दर किसी भी बिन्दु पर अंतरित कोण ω हो, तो
ω = ∫S dω = ∫S (ds cos θ / r2) = 4πr2 / r2 = 4π
इस प्रकार किसी भी आकृति के बंद पृष्ठ द्वारा उसके अन्दर स्थित किसी भी बिन्दु पर अंतरित घन कोण का मान 4π स्टेरेडियन होता है।
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घन कोण (Solid Angle) — प्रश्नोत्तर
प्रश्न 1: समतलीय कोण (Plane Angle) और घन कोण (Solid Angle) में मुख्य अंतर क्या है?
उत्तर:
- समतलीय कोण: द्विविमीय (2D) ज्यामिति में किसी वृत्त के चाप द्वारा उसके केन्द्र पर अंतरित कोण को समतलीय कोण कहते हैं। इसका सूत्र dθ = dl / r तथा मात्रक रेडियन होता है।
- घन कोण: त्रिविमीय (3D) ज्यामिति में किसी गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल द्वारा उसके केन्द्र पर बने कोण को घन कोण कहते हैं। इसका सूत्र dω = ds / r2 तथा मात्रक स्टेरेडियन होता है।
प्रश्न 2: घन कोण (Solid Angle) की परिभाषा और SI मात्रक लिखिए।
उत्तर: किसी गोले के पृष्ठ पर स्थित क्षेत्रफल अवयव (ds) के समस्त बिन्दुओं को गोले के केन्द्र से मिलाने पर केन्द्र पर बनने वाले शंकुनुमा कोण को घन कोण (dω) कहते हैं।
यह एक विमाहीन राशि है और इसका SI मात्रक स्टेरेडियन (Steradian) होता है।
प्रश्न 3: किसी तिर्यक पृष्ठ (Oblique Surface) द्वारा अंतरित घन कोण का सूत्र क्या होता है?
उत्तर: यदि पृष्ठ क्षेत्रफल ds का अभिलम्ब, त्रिज्या रेखा के साथ θ कोण बनाता है, तो तिर्यक पृष्ठ द्वारा अंतरित घन कोण का सूत्र निम्नलिखित है:
dω = (ds cos θ) / r2
प्रश्न 4: किसी संपूर्ण गोले के पृष्ठ द्वारा उसके केंद्र पर कितना घन कोण अंतरित होता है?
उत्तर: चूंकि गोले का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल 4πr2 होता है, इसलिए गोले के संपूर्ण पृष्ठ द्वारा उसके केंद्र पर अंतरित घन कोण:
ω = 4πr2 / r2 = 4π स्टेरेडियन
प्रश्न 5: किसी भी बंद पृष्ठ (Closed Surface) द्वारा उसके अंदर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित घन कोण का मान कितना होता है?
उत्तर: किसी भी आकृति के बंद पृष्ठ द्वारा उसके अंदर स्थित किसी भी बिन्दु पर अंतरित घन कोण का मान सदैव 4π स्टेरेडियन होता है।
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