सामान्य स्थिति में वैद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता (Electric Field at any Point due to an Electric Dipole in General Position)
सामान्य स्थिति में वैद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता – मानलो AB एक वैद्युत द्विध्रुव है जो +q और -q आवेशों से मिलकर बना है। मानलो दोनों आवेशों के बीच की दूरी 2l है। इस द्विध्रुव के पास किसी बिन्दु p(r, θ) पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात करनी है।
द्विध्रुव AB का द्विध्रुव आघूर्ण p = 2ql
इसकी दिशा BA⃗ के अनुदिश होगी।
इस द्विध्रुव आघूर्ण को दो घटकों में वियोजित किया जा सकता है—
(i) p cosθ, OP⃗ दिशा में आए।
(ii) p sinθ, OP⃗ के लम्बवत् दिशा में।
बिन्दु p घटक p cosθ के सापेक्ष अक्षीय स्थिति में है।
अतः इस घटक के कारण बिन्दु p पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता
E1 = 1 / (4πε0) · (2p cosθ / r3)
बिन्दु p घटक p sinθ के सापेक्ष निरक्षीय स्थिति में है। अतः इस घटक के कारण बिन्दु p पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता
E2 = 1 / (4πε0) · (p sinθ / r3)
बिन्दु p पर E1 व E2 परस्पर लम्बवत् होंगे, अतः परिणामी तीव्रता
E = √(E12 + E22)
= √[ { (4p2 cos2θ) / (4πε0 r3)2 } + { (p2 sin2θ) / (4πε0 r3)2 } ]
= [ p / (4πε0 r3) ] · √(4 cos2θ + sin2θ)
= [ p / (4πε0 r3) ] · √(3 cos2θ + cos2θ + sin2θ)
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3 cos2θ + 1) …(1)
यही सामान्य स्थिति में वैद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है।
विशेष स्थितियाँ:
स्थिति I. अक्षीय स्थिति— यदि θ = 0° हो, तो बिन्दु p अक्षीय स्थिति में होगा।
अतः समीकरण (1) से,
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3 + 1)
या
E = 1 / (4πε0) · (2p / r3) …(2)
यही वैद्युत द्विध्रुव के कारण अक्षीय स्थिति में किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है।
स्थिति II. निरक्षीय स्थिति— यदि θ = 90° हो, तो बिन्दु p निरक्षीय स्थिति में होगा।
अतः समीकरण (1) से,
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3 × 0 + 1)
या
E = 1 / (4πε0) · (p / r3) …(3)
यही वैद्युत द्विध्रुव के कारण निरक्षीय स्थिति में किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है।
| नोट : वैद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता उस बिन्दु की दूरी के घन के अनुपात में परिवर्तित होती है, जबकि एकल आवेश के कारण किसी बिन्दु पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता उस बिन्दु की दूरी के वर्ग के अनुपात में परिवर्तित होती है। |
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सामान्य स्थिति में वैद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत् क्षेत्र — प्रश्नोत्तर
प्रश्न 1: सामान्य स्थिति (General Position) में वैद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र लिखिए।
उत्तर: किसी द्विध्रुव आघूर्ण (p) वाले वैद्युत द्विध्रुव के मध्य बिन्दु से r दूरी तथा θ कोण पर स्थित बिन्दु p(r, θ) पर विद्युत् क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र है:
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3 cos2θ + 1)
प्रश्न 2: सामान्य स्थिति वाले सूत्र से अक्षीय स्थिति का व्यंजक कैसे प्राप्त होता है?
उत्तर: अक्षीय स्थिति के लिए कोण θ = 0° होता है। चूंकि cos 0° = 1 होता है, अतः सूत्र में मान रखने पर:
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3(1)2 + 1) = [ p / (4πε0 r3) ] · √4
E = 1 / (4πε0) · (2p / r3)
प्रश्न 3: सामान्य स्थिति वाले सूत्र से निरक्षीय स्थिति का व्यंजक कैसे प्राप्त होता है?
उत्तर: निरक्षीय स्थिति के लिए कोण θ = 90° होता है। चूंकि cos 90° = 0 होता है, अतः सूत्र में मान रखने पर:
E = [ p / (4πε0 r3) ] · √(3(0)2 + 1) = [ p / (4πε0 r3) ] · √1
E = 1 / (4πε0) · (p / r3)
प्रश्न 4: द्विध्रुव आघूर्ण p को किन दो घटकों में वियोजित किया जाता है?
उत्तर: द्विध्रुव आघूर्ण p को दो घटकों में बाँटा जाता है:
- p cosθ: रेखा OP⃗ के अनुदिश (जिसके सापेक्ष बिन्दु अक्षीय स्थिति में होता है)।
- p sinθ: रेखा OP⃗ के लम्बवत् (जिसके सापेक्ष बिन्दु निरक्षीय स्थिति में होता है)।
प्रश्न 5: वैद्युत द्विध्रुव और एकल बिंदु आवेश के विद्युत् क्षेत्र की दूरी पर निर्भरता में क्या अंतर है?
| निकाय का प्रकार | विद्युत् क्षेत्र की दूरी पर निर्भरता |
|---|---|
| वैद्युत द्विध्रुव (Electric Dipole) | तीव्रता दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होती है (E ∝ 1 / r3)। |
| एकल आवेश (Single Charge) | तीव्रता दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है (E ∝ 1 / r2)। |
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