न्यूटन का सूत्र (Newton’s Formula)
न्यूटन का सूत्र (Newton’s Formula for Lenses) : लेंस से अपवर्तन के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय संबंध
1. प्रस्तावना (Introduction)
सामान्यतः लेंस के सूत्रों में दूरियाँ प्रकाश केंद्र (O) से मापी जाती हैं, लेकिन न्यूटन ने एक ऐसा सूत्र दिया जिसमें दूरियाँ **मुख्य फोकस (F_1 और F_2)** से मापी जाती हैं। यदि वस्तु की प्रथम फोकस से दूरी x_1 और प्रतिबिम्ब की द्वितीय फोकस से दूरी x_2 हो, तो न्यूटन का सूत्र निम्न है:
$$x_1x_2 = f_1f_2$$
जहाँ f_1 प्रथम फोकस दूरी और f_2 द्वितीय फोकस दूरी है। यदि लेंस के दोनों ओर का माध्यम समान हो, तो f_1 = -f और f_2 = f, जिससे सूत्र बनता है: **x_1x_2 = -f^2**।
2. प्रमाण (Proof)
चित्र के अनुसार, मान लो एक उत्तल लेंस है जिसका प्रकाश केंद्र O है। वस्तु AB को प्रथम मुख्य फोकस F_1 से x_1 दूरी पर रखा गया है। इसका वास्तविक प्रतिबिम्ब A’B’ द्वितीय मुख्य फोकस F_2 से x_2 दूरी पर बनता है।
- • समरूप त्रिभुज Δ ABF_1 और ΔL’OF_1 से: {AB}{L’O} = {F_1B}{OF_1}
- • चूँकि L’O = A’B’, अतः: {AB}{A’B’} ={F_1B}{OF_1} — (समीकरण 1)
- • इसी प्रकार, समरूप त्रिभुज Δ LOF_2 और Δ A’B’F_2 से: Δ{LO}{A’B’} = {OF_2}{F_2B’}
- • चूँकि LO = AB, अतः: Δ{AB}{A’B’} ={OF_2}{F_2B’} — (समीकरण 2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर और चिन्ह परिपाटी (F_1B = -x_1, OF_1 = -f_1, OF_2 = f_2, F_2B’ = x_2) रखने पर हमें प्राप्त होता है:
$$\frac{-x_1}{-f_1} = \frac{f_2}{x_2} \implies x_1x_2 = f_1f_2$$
3. विशेषताएं (Features)
- यह सूत्र **पतले और मोटे** दोनों प्रकार के लेंसों के लिए लागू होता है।
- इसकी सहायता से **संयुक्त लेंस** की फोकस दूरी अधिक शुद्धता से मापी जा सकती है।
- यह सूत्र **अवतल दर्पण** के लिए भी सत्य है, यदि प्रतिबिम्ब वास्तविक हो।
4. सीमाएं (Limitations)
यह सूत्र केवल वास्तविक प्रतिबिम्बों (Real Images) के लिए ही सत्य है।
आभासी प्रतिबिम्ब बनने के कारण यह निम्न स्थितियों में लागू **नहीं** होगा:
- अवतल लेंस या उत्तल दर्पण के लिए।
- उत्तल लेंस के लिए जब वस्तु प्रकाश केंद्र और मुख्य फोकस के बीच हो।
- अवतल दर्पण के लिए जब वस्तु ध्रुव और फोकस के बीच स्थित हो।
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निष्कर्ष (Conclusion)
उम्मीद है कि यह विस्तृत लेख आपके लिए मददगार साबित हुआ होगा। हमने इस पोस्ट में थ्योरी, न्यूमेरिकल, और तार्किक प्रश्नों को गहराई से कवर किया है ताकि आपकी परीक्षा की तैयारी में कोई कमी न रहे।
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