x = u cos θ . t + ½ × 0 × t²

x = u cos θ . t

t = x / (u cos θ)    …(1)

y = u sin θ . t – ½ g t²    …(2)

y = u sin θ . [x / (u cos θ)] – ½ g [x / (u cos θ)]²

y = x tan θ – [g x² / (2 u² cos² θ)]    …(3)

वैकल्पिक विधि—

क्षैतिज दिशा में गति के लिए— मानलो वस्तु द्वारा t सेकण्ड में चली गई क्षैतिज दूरी x है। क्षैतिज दिशा में वेग नियत है।

सूत्र s = ut से, x = u cos θ . t  ⇒  t = x / (u cos θ)    …(i)

ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के लिए— मानलो वस्तु द्वारा t सेकण्ड में चली गई ऊर्ध्वाधर दूरी y है। तब प्रारम्भिक वेग = u sin θ तथा त्वरण -g होगा।

अतः समीकरण s = ut + ½ at² से,

y = u sin θ . t – ½ g t²    …(ii)

अब समी. (i) से t का मान समी. (ii) में रखने पर,

y = x tan θ – [g x² / (2 u² cos² θ)]    …(iii)

यही प्रक्षेप्य पथ का समीकरण है।

t = (2 u sin θ) / g    …(1)

R = (u² sin 2θ) / g    …(1)

अधिकतम क्षैतिज परास R_max = u² / g    …(2)

H = (u² sin² θ) / 2g    …(1)

उदाहरणात्मक प्रश्न:

प्रश्न: एक तोप से एक गोला क्षैतिज से 30° कोण पर फेंका जाता है जो 3 किमी की दूरी पर जाकर गिरता है। इसका अधिकतम क्षैतिज परास क्या होगा? बताइए कि क्या गोले को प्रक्षेप्य कोण बदलकर 5 किमी की दूरी पर स्थित लक्ष्य पर फेंका जा सकता है?

हल:

दिया है — θ = 30°, R = 3 किमी = 3000 मीटर

सूत्र R = (u² sin 2θ) / g से,

3000 = (u² / g) sin(2 × 30°)

3000 = (u² / g) sin 60°

u² / g = 3000 / sin 60° = (3000 × 2) / √3

अतः अधिकतम क्षैतिज परास,

R_max = u² / g = (3000 × 2) / √3 = 3464 मीटर  (उत्तर)

निष्कर्ष: स्पष्ट है कि प्रक्षेप्य कोण बदलकर गोले को 5 किमी की दूरी पर स्थित लक्ष्य पर नहीं फेंका जा सकता है।

महत्वपूर्ण बिंदु (Notes):

1. किसी भी वस्तु को दिया गया क्षैतिज वेग त्वरण g के कारण उत्पन्न ऊर्ध्वाधर वेग से प्रभावित नहीं होता है। अतः यदि हम एक गेंद को छत से नीचे गिरायें और उसी समय दूसरी गेंद को क्षैतिज दिशा में फेंकें, तो दोनों गेंदें एक ही समय पर पृथ्वी पर पहुँचेंगी किन्तु स्थान अलग-अलग होंगे।
2. जब प्रक्षेप्य कोण का मान 45° के बराबर होता है तो क्षैतिज परास का मान अधिकतम होता है। अतः लम्बी कूद के खिलाड़ी इस प्रकार कूदते हैं कि वे पृथ्वी तल से 45° का कोण बनायें।
3. समीकरण R = (u² sin 2θ) / g में यदि θ के स्थान पर (90° – θ) रखें तो क्षैतिज परास:
   R = [u² sin 2(90° – θ)] / g = [u² sin(180° – 2θ)] / g = (u² sin 2θ) / g
   स्पष्ट है कि प्रक्षेप्य को चाहे θ कोण पर फेंकें या (90° – θ) कोण पर फेंकें, क्षैतिज परास का मान उतना ही रहता है, यद्यपि उड्डयन काल का मान भिन्न-भिन्न होता है। इस प्रकार फुटबॉल खिलाड़ी फुटबॉल को चाहे 40° के कोण पर किक मारे या 50° के कोण पर किक मारे, फुटबॉल उसी स्थान पर ही गिरेगा (चित्र — एक ही परास के लिए θ के दो मान)।
4. यदि किसी वस्तु को पृथ्वी तल की बजाय तल से कुछ ऊपर उठाकर फेंका जाये तो अधिकतम क्षैतिज परास प्राप्त करने के लिए 45° से कुछ छोटे कोण पर फेंका जाना चाहिए (चित्र देखें)। यही कारण है कि भाला फेंक (Javelin Throw) और चक्र फेंक (Disc Throw) के खिलाड़ी अधिकतम क्षैतिज परास प्राप्त करने के लिए भाला या चक्र को 45° से कुछ छोटे कोण पर फेंकते हैं।
5. ध्यान रहे कि प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार तभी होता है जब कि त्वरण अचर हो तथा प्रक्षेप्य के वेग की दिशा त्वरण की दिशा से भिन्न हो। पृथ्वी तल पर प्रक्षेप्य गति में गुरुत्वीय त्वरण g कार्यरत होता है। अतः प्रक्षेप्य का पथ निम्न परिस्थितियों में ही परवलयाकार हो सकता है—
   • (a) ऊपर जाने पर g का मान घटने लगता है अतः प्रक्षेप्य अधिक ऊँचाई तक न जावे।
   • (b) भिन्न-भिन्न स्थानों पर g का मान भिन्न-भिन्न होता है। अतः प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास अधिक न हो। तोप से छूटे गोले का पथ तो परवलयाकार होता है किन्तु बहुत दूर तक मार करने वाली अन्तरमहाद्वीपीय मिसाइलों (Inter-continental Ballistic Missile) का पथ परवलयाकार नहीं होता।
   • (c) प्रक्षेप्य का प्रारम्भिक वेग अधिक न हो अन्यथा वायु का घर्षण नगण्य नहीं होगा।