Q1. Carnot इंजन की दक्षता (Efficiency) 100% तब होगी जब सिंक का ताप (Temperature of Sink) होगा:

• A) $$0^\circ\text{C}$$
• B) $$0\text{ K}$$
• C) $$273\text{ K}$$
• D) स्रोत के ताप के बराबर

Q2. प्रथम कोटि के प्रावस्था परिवर्तन (First-order Phase Transition) के दौरान निम्नलिखित में से कौन सी राशि सतत (Continuous) रहती है?

• A) एंट्रॉपी (S)
• B) आयतन (V)
• C) गिब्स मुक्त ऊर्जा (G)
• D) विशिष्ट ऊष्मा (C_p)

Q3. एकांक आयतन में फोटॉन गैस की आंतरिक ऊर्जा (U/V) का मान ताप (T) के किस घात के अनुक्रमानुपाती होता है?

• A) T के
• B) $$T^2$$ के
• C) $$T^3$$ के
• D) $$T^4$$ के

Q4. तीन विभेद्य (Distinguishable) कणों को दो ऊर्जा स्तरों में वितरित करने के कुल सूक्ष्म अवस्थाओं (Microstates) की संख्या होगी:

• A) 6
• B) 8
• C) 9
• D) 4

Q5. $$T = 0\text{ K}$$ पर फर्मी-वितरण फलन f(E) का मान $$E < E_F$$ के लिए होगा:

• A) 0
• B) 0.5
• C) 1
• D) अनंत

Q6. क्लाउसियस-क्लैपेरॉन समीकरण (Clausius-Clapeyron Equation) $$\frac{dP}{dT}$$ व्यक्त करता है:

• A) $$\frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$
• B) $$\frac{L}{T(V_1 – V_2)}$$
• C) $$\frac{T}{L(V_2 – V_1)}$$
• D) $$\frac{L(V_2 – V_1)}{T}$$

Q7. एक आदर्श एकपरमाणुक (Monatomic) गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक ($$\gamma = C_p/C_v$$) का मान होगा:

• A) 7/5
• B) 5/3
• C) 4/3
• D) 2

Q8. कैनोनिकल एनसेंबल (Canonical Ensemble) में निम्नलिखित में से कौन सी राशियाँ नियत (Constant) रहती हैं?

• A) N, V, E
• B) N, V, T
• C) $$\mu, V, T$$
• D) N, P, T

Q9. बोस-आइंस्टीन संघनन (Bose-Einstein Condensation) किस तापमान पर घटित होता है?

• A) फर्मी ताप (T_F) पर
• B) क्रिटिकल ताप (T_c) के नीचे
• C) केवल कमरे के ताप पर
• D) अनंत ताप पर

Q10. मैक्सवेल के ऊष्मागतिकीय संबंधों में से $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T$$ किसके बराबर होता है?

• A) $$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$
• B) $$-\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$
• C) $$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$
• D) $$-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

Q1 Solution:

सही उत्तर: B) $$0\text{ K}$$

विस्तृत हल:
कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $$\eta = 1 – \frac{T_2}{T_1}$$ होता है, जहाँ $$T_1$$ स्रोत और $$T_2$$ सिंक का ताप है। $$\eta = 1 (100\%)$$ के लिए $$\frac{T_2}{T_1} = 0$$ होना चाहिए, जो केवल $$T_2 = 0\text{ K}$$ पर ही संभव है।

Q2 Solution:

सही उत्तर: C) गिब्स मुक्त ऊर्जा (G)

विस्तृत हल:
प्रथम कोटि के प्रावस्था परिवर्तन में गिब्स मुक्त ऊर्जा G सतत रहती है, जबकि इसके प्रथम अवकलज जैसे एंट्रॉपी $$S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P$$ और आयतन $$V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T$$ असतत (Discontinuous) होते हैं।

Q3 Solution:

सही उत्तर: D) $$T^4$$ के

विस्तृत हल:
स्टीफन-बोल्ट्ज़मान नियम और कृष्णपिंड विकिरण सिद्धांत के अनुसार, फोटॉन गैस की ऊर्जा घनत्व $$u = \frac{U}{V} = a T^4$$ होती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) 8

विस्तृत हल:
N विभेद्य कणों को g ऊर्जा स्तरों में बाँटने के कुल तरीकों की संख्या $$g^N$$ होती है। यहाँ N = 3 और g = 2 हैं, इसलिए कुल सूक्ष्म अवस्थाएँ = $$2^3 = 8$$ होंगी।

Q5 Solution:

सही उत्तर: C) 1

विस्तृत हल:
फर्मी-डिराक वितरण नियम: $$f(E) = \frac{1}{e^{(E – E_F)/kT} + 1}$$। जब $$T = 0\text{ K}$$ और $$E < E_F$$ हो, तो $$e^{-\infty} = 0$$, अतः $$f(E) = 1$$। यानी $$E_F$$ से नीचे के सभी स्तर पूर्णतः भरे होते हैं।

Q6 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$

विस्तृत हल:
क्लाउसियस-क्लैपेरॉन की प्रथम गुप्त ऊष्मा समीकरण $$\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_2 – V_1)}$$ होती है, जहाँ L गुप्त ऊष्मा और $$V_1, V_2$$ दो अवस्थाओं के आयतन हैं।

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) 5/3

विस्तृत हल:
एकपरमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है। अतः $$\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$।

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) N, V, T

विस्तृत हल:
1. Micro-canonical Ensemble: N, V, E नियत
2. Canonical Ensemble: N, V, T नियत
3. Grand-canonical Ensemble: $$\mu, V, T$$ नियत।

Q9 Solution:

सही उत्तर: B) क्रिटिकल ताप ($$T_c$$) के नीचे

विस्तृत हल:
बोसॉन कणों को एक निश्चित क्रांतिक ताप (Critical Temperature, $$T_c$$) से नीचे ठंडा करने पर अधिकांश कण न्यूनतम ऊर्जा स्तर में एकत्र हो जाते हैं, जिसे बोस-आइंस्टीन संघनन कहते हैं।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$

विस्तृत हल:
हेलमहोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा $$dF = -S dT – P dV$$ के यथार्थ अवकलज गुण से मैक्सवेल का तीसरा संबंध प्राप्त होता है: $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$।