हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression – HP)
कॉम्पिटिटिव एग्जाम्स के लिए कम्प्लीट गाइड
1. हरात्मक श्रेणी (HP) क्या है?
यदि किसी श्रेणी के पदों के व्युत्क्रम (Reciprocals यानी 1/x) एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते हैं, तो वह श्रेणी हरात्मक श्रेणी (HP) कहलाती है।
2. HP का n-वां पद (nth Term of HP)
HP का कोई भी पद निकालने के लिए उसे पहले AP में बदला जाता है:
3. हरात्मक माध्य (Harmonic Mean – HM)
यदि दो संख्याएँ a और b हैं, तो उनके बीच का हरात्मक माध्य (HM) होगा:
4. AM, GM और HP में संबंध (Most Important)
कॉम्पिटिटिव एग्जाम्स में सीधे इस संबंध पर सवाल पूछे जाते हैं:
| गुणोत्तर माध्य का वर्ग | G2 = A × H |
| माध्यों का क्रम | AM ≥ GM ≥ HM |
हल किए गए न्यूमेरिकल्स (Solved Examples)
प्रश्न 1: श्रेणी 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, … का 10वां पद (10th term) ज्ञात कीजिए।
हल: दी गई श्रेणी HP में है: 1/3, 1/5, 1/7, …
इसकी संगत (Corresponding) AP श्रेणी होगी: 3, 5, 7, 9, …
यहाँ AP का पहला पद (a) = 3, सार्वअंतर (d) = 5 – 3 = 2, और n = 10
AP का 10वां पद = a + (n-1)d = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21
चूंकि HP, AP का उल्टा होता है, इसलिए:
HP का 10वां पद = 1 / 21
प्रश्न 2: संख्याओं 4 और 12 का हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) क्या होगा?
हल: यहाँ a = 4 और b = 12 दिया है।
हरात्मक माध्य (HM) का सूत्र = 2ab / (a + b)
HM = (2 × 4 × 12) / (4 + 12)
HM = 96 / 16 = 6
उत्तर: हरात्मक माध्य = 6
प्रश्न 3: यदि दो संख्याओं का समांतर माध्य (AM) 9 और गुणोत्तर माध्य (GM) 6 है, तो उनका हरात्मक माध्य (HM) ज्ञात कीजिए।
हल: हम जानते हैं कि माध्यों के बीच संबंध होता है: G2 = A × H
यहाँ G (GM) = 6, A (AM) = 9, और H (HM) हमें निकालना है।
(6)2 = 9 × H
36 = 9 × H => H = 36 / 9 = 4
उत्तर: हरात्मक माध्य (HM) = 4
प्रश्न 4: एक व्यक्ति स्थान A से B तक 40 किमी/घंटा की गति से जाता है और 60 किमी/घंटा की गति से वापस आता है। पूरी यात्रा के दौरान उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए।
हल: जब समान दूरी अलग-अलग गतियों से तय की जाए, तो औसत गति निकालने के लिए गतियों का हरात्मक माध्य (HM) निकाला जाता है।
यहाँ a = 40 और b = 60
औसत गति = 2ab / (a + b) = (2 × 40 × 60) / (40 + 60)
औसत गति = 4800 / 100 = 48 किमी/घंटा
उत्तर: औसत गति = 48 किमी/घंटा
प्रश्न 5: यदि किसी HP का तीसरा पद 1/7 और सातवां पद 1/15 है, तो उसका पहला पद ज्ञात कीजिए।
हल: संगत AP का तीसरा पद (T3) = 7 और सातवां पद (T7) = 15 होगा।
AP के सूत्रानुसार: a + 2d = 7 —(समीकरण 1)
a + 6d = 15 —(समीकरण 2)
समीकरण 2 में से 1 घटाने पर: 4d = 8 => d = 2
d का मान समीकरण 1 में रखने पर: a + 2(2) = 7 => a = 3
चूंकि AP का पहला पद (a) = 3 है, इसलिए HP का पहला पद इसका व्युत्क्रम होगा।
उत्तर: HP का पहला पद = 1/3
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हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression)
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हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression)
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