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गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression – GP)
GP: परिभाषा, सार्व-अनुपात और महत्वपूर्ण सूत्र
1. GP क्या है? (Definition)
वह श्रेणी जिसमें प्रत्येक पद (प्रथम पद के अलावा) अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या (सार्व-अनुपात ‘r’) से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
श्रृंखला: a, ar, ar², ar³…
2. n-वाँ पद निकालने का सूत्र
$$a_n = a \cdot r^{(n-1)}$$
यहाँ: a = प्रथम पद, r = सार्व-अनुपात, n = पदों की संख्या
3. n पदों के योग का सूत्र (Sum)
1. यदि $$|r| < 1$$: $$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$
2. यदि $$|r| > 1$$: $$S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – r}$$
4. अनंत GP का योग ($$S_\infty$$) – महत्वपूर्ण!
यदि $$|r| < 1$$: $$S_\infty = \frac{a}{1 – r}$$
यह सूत्र परीक्षाओं में सबसे ज्यादा बार पूछा जाता है!
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गुणोत्तर श्रेणी (GP) – Practice Set
प्रश्न 1. श्रेणी 2, 6, 18, 54… का सार्व-अनुपात (r) क्या होगा?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
उत्तर: (B) 3
[हल: r = 6/2 = 3]
प्रश्न 2. यदि GP का प्रथम पद 5 और सार्व-अनुपात 2 है, तो 4वाँ पद क्या होगा?
(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50
उत्तर: (C) 40
[हल: a₄ = 5 * 2³ = 5 * 8 = 40]
प्रश्न 3. अनंत गुणोत्तर श्रेणी 1, 1/2, 1/4, 1/8… का योग क्या होगा?
(A) 1 (B) 1.5 (C) 2 (D) अनंत
उत्तर: (C) 2
[हल: S∞ = a / (1-r) = 1 / (1 – 0.5) = 1 / 0.5 = 2]
प्रश्न 4. यदि 3, x, 12 गुणोत्तर श्रेणी (GP) में हैं, तो x का धनात्मक मान क्या है?
(A) 6 (B) 7.5 (C) 9 (D) 4
उत्तर: (A) 6
[हल: x² = 3 * 12 = 36 => x = 6]
प्रश्न 5. गुणोत्तर श्रेणी का सार्व-अनुपात (r) क्या हो सकता है?
(A) केवल धनात्मक (B) केवल ऋणात्मक (C) शून्य (D) धनात्मक या ऋणात्मक
उत्तर: (D) धनात्मक या ऋणात्मक
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Geometric Progression GP in Hindi
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