शंकु और छिन्नक: आयतन और क्षेत्रफल (Cone & Frustum)
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शंकु (Cone) क्या है? एक शंकु वह पिरामिड जैसी आकृति है जिसका आधार वृत्ताकार होता है। जब एक शंकु को उसके आधार के समांतर काटा जाता है, तो नीचे का बचा हुआ हिस्सा छिन्नक (Frustum) कहलाता है (जैसे पानी की बाल्टी)।
1. शंकु (Cone) के सूत्र
मान लीजिए, त्रिज्या = r, ऊँचाई = h, और तिर्यक ऊँचाई = l है।
• तिर्यक ऊँचाई (Slant Height): $$l = √(r² + h²)$$
• आयतन (Volume): $$1/3 πr²h$$
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): $$πrl$$
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): $$πr(l + r)$$
2. शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone)
मान लीजिए, बड़ी त्रिज्या = R, छोटी त्रिज्या = r, ऊँचाई = h, और तिर्यक ऊँचाई = l है।
• तिर्यक ऊँचाई (Slant Height): $$l = √[h² + (R – r)²]$$
• आयतन (Volume): $$1/3 πh(R² + r² + Rr)$$
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): $$πl(R + r)$$
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): $$πl(R + r) + πR² + πr²$$
याद रखने की ट्रिक:
शंकु का आयतन हमेशा बेलन के आयतन का एक-तिहाई (1/3) होता है, बशर्ते उनकी त्रिज्या और ऊँचाई समान हो।
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शंकु और छिन्नक – हल किए गए उदाहरण
प्रश्न 1
एक शंकु की त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) क्या होगी?
हल: l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी
प्रश्न 2
एक बाल्टी (छिन्नक) की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी हैं तथा ऊँचाई 6 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात करें।
हल: आयतन = 1/3 × 22/7 × 6 × (14² + 7² + 14×7) = 44 × (196 + 49 + 98) = 14,212/3 सेमी³
प्रश्न 3
एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई (l) 25 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हल: सबसे पहले ऊँचाई (h) निकालेंगे: h = √(l² – r²) = √(25² – 7²) = √(625 – 49) = √576 = 24 सेमी।
आयतन = 1/3 πr²h = 1/3 × 22/7 × 7 × 7 × 24 = 1232 सेमी³
प्रश्न 4
एक शंकु के छिन्नक (बाल्टी) की ऊँचाई 4 सेमी है और उसके वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 2 सेमी हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: तिर्यक ऊँचाई (l) = √[h² + (R – r)²] = √[4² + (5 – 2)²] = √[16 + 3²] = √[16 + 9] = √25 = 5 सेमी
प्रश्न 5
यदि एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) 308 सेमी² है और त्रिज्या 7 सेमी है, तो इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) क्या होगी?
हल: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl => 308 = 22/7 × 7 × l => 308 = 22 × l
l = 308 / 22 = 14 सेमी
शंकु और छिन्नक के सूत्र
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शंकु और छिन्नक के सूत्र
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