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लेंस निर्माता सूत्र (Lens Maker’s Formula) और लेंस सूत्र

किसी लेंस की फोकस-दूरी का उसके पदार्थ के अपवर्तनांक और उसके पृष्ठों की वक्रता-त्रिज्याओं के बीच संबंध दर्शाने वाले सूत्र को लेंस निर्माता का सूत्र कहते हैं।

1. पतले लेंस पर अपवर्तन (Refraction at Thin Lens)

मानलो एक पतला लेंस दो गोलीय पृष्ठों AB और CD से मिलकर बना है, जिनकी वक्रता-त्रिज्याएँ क्रमशः R_1 और R_2 हैं। लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक μहै। पहले पृष्ठ AB द्वारा वस्तु O का प्रतिबिम्ब I_1 पर बनता है:

लेंस निर्माता सूत्र

$$\frac{\mu}{v_1} – \frac{1}{u} = \frac{\mu – 1}{R_1}$$

2. लेंस निर्माता का सूत्र (Lens Maker’s Formula)

अंतिम प्रतिबिम्ब रचना के बाद प्राप्त समीकरण को जोड़ने पर हमें मुख्य सूत्र प्राप्त होता है। यह सूत्र उत्तल एवं अवतल दोनों प्रकार के पतले लेंसों के लिए सत्य है:

$$\frac{1}{f} = (\mu – 1) \left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$$

3. लेंस सूत्र (Lens Formula)

इसे गॉसीय रूप (Gaussian form) भी कहा जाता है। यह वस्तु की दूरी ($u$), प्रतिबिम्ब की दूरी ($v$) और फोकस-दूरी ($f$) के बीच संबंध बताता है:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} – \frac{1}{u}$$

महत्वपूर्ण नोट (Important Points):

लेंस निर्माता सूत्र का उपयोग वांछित फोकस-दूरी वाले लेंसों के निर्माण में किया जाता है।
इन सूत्रों का उपयोग करते समय सभी राशियों के मान चिन्ह परिपाटी (Sign Convention) के साथ रखने चाहिए।

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न्यूमेरिकल उदाहरण (Numerical Example)

प्रश्न: एक समतल उत्तल लेंस की फोकस दूरी ज्ञात कीजिए जिसके उत्तल पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या 10 सेमी तथा जिसके पदार्थ का अपवर्तनांक 1.5 है।

उपयोग किया जाने वाला सूत्र:

$$\frac{1}{f} = (\mu – 1) \left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$$

हल:

दिया है:

• उत्तल पृष्ठ की त्रिज्या (R_1) = 10 सेमी
• समतल पृष्ठ की त्रिज्या (R_2) =∞ (अनन्त)
• पदार्थ का अपवर्तनांक μ= 1.5

मान रखने पर:

$$\frac{1}{f} = (1.5 – 1) \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{-\infty} \right)$$
$$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{10} – 0 \right)$$
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{20}$$

उत्तर: f = 20 सेमी

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लेंस की फोकस-दूरी की निर्भरता एवं लेंस का काटना

1. माध्यम के अपवर्तनांक पर निर्भरता

जब किसी लेंस को किसी द्रव में डुबाया जाता है, तो उसकी फोकस-दूरी बदल जाती है। मान लीजिए लेंस के पदार्थ का वायु के सापेक्ष अपवर्तनांक _aμ_g है और द्रव का वायु के सापेक्ष अपवर्तनांक _aμ_l है।

मुख्य निष्कर्ष: किसी भी द्रव में डुबाने पर लेंस की फोकस-दूरी हमेशा बढ़ जाती है।

द्रव में डुबाने पर तीन स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:

स्थिति (i): यदि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक से कम है (μl < μg), तो फोकस-दूरी बढ़ जाएगी लेकिन लेंस की प्रकृति (उत्तल या अवतल) वही रहेगी।
स्थिति (ii): यदि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक के बराबर है (μl = μg), तो लेंस एक समतल काँच की प्लेट की तरह व्यवहार करेगा और द्रव में अदृश्य हो जाएगा (f = ∞)।
स्थिति (iii): यदि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक से अधिक है (μl > μg), तो लेंस की प्रकृति बदल जाएगी (उत्तल लेंस अवतल की तरह और अवतल लेंस उत्तल की तरह व्यवहार करेगा)।

2. प्रकाश के रंग (तरंगदैर्घ्य) पर निर्भरता

काँच का अपवर्तनांक बैंगनी रंग के लिए सबसे अधिक और लाल रंग के लिए सबसे कम होता है। इसलिए:

लेंस की फोकस-दूरी बैंगनी रंग के लिए न्यूनतम तथा लाल रंग के लिए अधिकतम होती है (f_R > f_V)।

3. लेंसों का विभाजन (Cutting of Lenses)

(A) मुख्य अक्ष के लम्बवत काटना:

यदि एक उभयोत्तल लेंस को मुख्य अक्ष के लम्बवत दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग ‘समतल-उत्तल लेंस’ बन जाता है। इस स्थिति में प्रत्येक भाग की फोकस-दूरी मूल लेंस की दुगुनी हो जाती है।

$$f’ = 2f$$

(B) मुख्य अक्ष के समांतर (क्षैतिज) काटना:

यदि लेंस को मुख्य अक्ष के अनुदिश काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग की वक्रता त्रिज्याएँ नहीं बदलतीं। अतः प्रत्येक भाग की फोकस-दूरी मूल लेंस की फोकस-दूरी के बराबर ही रहती है।

$$f’ = f$$

नोट: इस स्थिति में प्रतिबिम्ब की तीव्रता (Intensity) कम हो जाती है।

न्यूमेरिकल का हल (Solution)

प्रश्न: एक उत्तल लेंस aμg= 1.5 को जल (aμw = 4/3) में डुबो दिया गया है। लेंस की वायु में फोकस-दूरी 20 सेमी थी। लेंस की जल में फोकस-दूरी ज्ञात कीजिए।

मुख्य सूत्र:

$$\frac{f_{w}}{f_{a}} = \frac{_{a}\mu_{g} – 1}{_{w}\mu_{g} – 1} = \frac{_{a}\mu_{g} – 1}{\frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} – 1}$$

दिया गया है:

• aμg = 1.5
• aμw = 4/3
• f_{a} = 20 सेमी

मान रखने पर:

$$\frac{f_{w}}{20} = \frac{1.5 – 1}{\frac{1.5}{4/3} – 1}$$

$$\frac{f_{w}}{20} = \frac{0.5}{0.125}$$

$$\frac{f_{w}}{20} = 4$$

$$f_{w} = 4 \times 20$$

उत्तर: f_{w} = 80 सेमी

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लेंस की फोकस-दूरी: महत्वपूर्ण उदाहरण और स्थितियाँ

2. लेंस को काटने पर प्रभाव (उदाहरण सहित)

लेंस को दो अलग-अलग तरीकों से काटा जा सकता है, जिसका असर उसकी फोकस-दूरी पर अलग-अलग पड़ता है:

(A) मुख्य अक्ष के लम्बवत (Vertical Cut)

यदि 20 सेमी फोकस-दूरी वाले लेंस को बीच से लम्बवत दो भागों में काट दें:

प्रत्येक नया भाग ‘समतल-उत्तल’ लेंस बन जाएगा।
परिणाम: फोकस-दूरी दुगुनी हो जाएगी। (2 × 20 = 40 सेमी)

(B) मुख्य अक्ष के समांतर (Horizontal Cut)

यदि उसी 20 सेमी फोकस-दूरी वाले लेंस को बीच से लेटा हुआ (क्षैतिज) काट दें:

दोनों भागों की वक्रता वैसी ही रहेगी।
परिणाम: फोकस-दूरी 20 सेमी ही रहेगी (कोई बदलाव नहीं)।

प्रो टिप (Pro Tip):

याद रखें, जब लेंस को लम्बवत काटा जाता है तो वह “आधा लेंस” बन जाता है जिसकी शक्ति कम और फोकस-दूरी ज्यादा (दुगुनी) होती है।

तैयार कर्ता: educationallof.com

महत्वपूर्ण आंकिक प्रश्न (Important Numerical)

प्रश्न: काँच ($\mu_g = 1.5$) के एक उभयोत्तल लेंस की वायु में फोकस-दूरी 10 सेमी है। इसके प्रथम पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या 10 सेमी है। इसके द्वितीय पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उपयोग किया जाने वाला सूत्र (Lens Maker’s Formula):

$$\frac{1}{f} = (\mu – 1) \left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$$

हल (Solution):

दिया गया है (Given):

• फोकस-दूरी ($f$) = +10 सेमी
• अपवर्तनांक ($\mu_g$) = 1.5
• प्रथम पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या ($R_1$) = +10 सेमी
• द्वितीय पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या ($R_2$) = ?

सूत्र में मान रखने पर:

$$\frac{1}{10} = (1.5 – 1) \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{R_2} \right)$$
$$\frac{1}{10} = 0.5 \left( \frac{1}{10} – \frac{1}{R_2} \right)$$
$$\frac{1}{10 \times 0.5} = \frac{1}{10} – \frac{1}{R_2}$$
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{10} – \frac{1}{R_2}$$
$$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{10} – \frac{1}{5}$$
$$\frac{1}{R_2} = \frac{1 – 2}{10} = -\frac{1}{10}$$

अतः द्वितीय पृष्ठ की वक्रता-त्रिज्या $R_2 = -10$ सेमी होगी।

(ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि दूसरा पृष्ठ अवतल प्रकृति का है।)

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लेंस निर्माता सूत्र की निर्भरता पर आधारित 5 सैद्धांतिक (Theoretical) प्रश्न !! 📝📝💯💯📚📚🚀🚀

1 / 5

प्रश्न 1: यदि किसी लेंस को वायु से निकालकर जल में डुबोया जाए, तो उसकी फोकस-दूरी पर क्या प्रभाव पड़ता है?

फोकस-दूरी कम हो जाती है

फोकस-दूरी बढ़ जाती है

फोकस-दूरी शून्य हो जाती है

कोई प्रभाव नहीं पड़ता

2 / 5

प्रश्न 2: काँच का अपवर्तनांक बैंगनी रंग के लिए सबसे अधिक होता है। अतः बैंगनी प्रकाश के लिए लेंस की फोकस-दूरी कैसी होगी?

अधिकतम

न्यूनतम

शून्य

अनंत

3 / 5

प्रश्न 3: यदि किसी लेंस को एक ऐसे द्रव में डुबोया जाए जिसका अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक के बिल्कुल बराबर हो, तो वह लेंस कैसा व्यवहार करेगा?

एक दर्पण की तरह

एक अवतल लेंस की तरह

एक समतल काँच की प्लेट की तरह

एक काले पत्थर की तरह

4 / 5

प्रश्न 4: एक लेंस को मुख्य अक्ष के लम्बवत (Vertical) काटने पर उसके प्रत्येक भाग की फोकस-दूरी मूल लेंस की तुलना में कितनी हो जाती है?

आधी

बराबर

दोगुनी

चौगुनी

5 / 5

प्रश्न 5: लेंस निर्माता सूत्र के अनुसार, लेंस की फोकस-दूरी निम्नलिखित में से किस पर निर्भर नहीं करती?

प्रकाश के रंग पर

माध्यम के अपवर्तनांक पर

वक्रता त्रिज्या पर

वस्तु की लम्बाई पर

Your score is

The average score is 0%

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5 में से 5	🥇 एक्सीलेंट (Expert)
5 में से 3-4	🥈 बहुत अच्छा (Good Job)
5 में से 2 से कम	🥉 और सुधार की ज़रूरत है

निष्कर्ष (Conclusion)

उम्मीद है कि यह विस्तृत लेख आपके लिए मददगार साबित हुआ होगा। हमने इस पोस्ट में थ्योरी, न्यूमेरिकल, और तार्किक प्रश्नों को गहराई से कवर किया है ताकि आपकी परीक्षा की तैयारी में कोई कमी न रहे।

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लेंस निर्माता का सूत्र

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