Q1 Solution:

सही उत्तर: B) 2N – k

विस्तृत हल:
द्विविमीय (2D) समतल में गति कर रहे किसी एक कण के लिए स्वतंत्रता के 2 स्वतंत्र निर्देशांक होते हैं।
अतः N कणों के लिए कुल संभावित निर्देशांक 2N होंगे।
यदि निकाय पर k बाधाएं (Constraints) लागू की जाती हैं, तो स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom, f) का सूत्र होगा:
$$f = 2N – k$$
(ध्यान दें: 3D स्थान के लिए यह सूत्र $$3N – k$$ होता है।)

Q2 Solution:

सही उत्तर: A) $$\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2$$

विस्तृत हल:
दिया गया लैग्रांजियन: $$L = T – V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 – \frac{1}{2} k x^2$$
व्यापक संवेग (Generalized Momentum):
$$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} \implies \dot{x} = \frac{p}{m}$$
हैमिलटोनियन की परिभाषा से ($$H = T + V$$):
$$H = p\dot{x} – L = p\left(\frac{p}{m}\right) – \left( \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 – \frac{1}{2}kx^2 \right)$$
$$H = \frac{p^2}{m} – \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2$$

Q3 Solution:

सही उत्तर: D) कोणीय संवेग एवं कुल यांत्रिक ऊर्जा दोनों

विस्तृत हल:
1. केंद्रीय बल क्षेत्र में बल $$\vec{F} = f(r)\hat{r}$$ दिशा में कार्य करता है, जिससे बल आघूर्ण $$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$$ होता है। बल आघूर्ण शून्य होने के कारण **कोणीय संवेग ($$\vec{L}$$)** हमेशा संरक्षित रहता है।
2. केंद्रीय बल एक संरक्षी बल (Conservative Force) है, इसलिए निकाय की **कुल यांत्रिक ऊर्जा ($$E = T + V$$)** भी संरक्षित रहती है।

Q4 Solution:

सही उत्तर: B) मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं

विस्तृत हल:
जड़त्व आघूर्ण टेंसर [I] को जब उसके मुख्य अक्षों (Principal Axes) के अनुदिश संरेखित किया जाता है, तो इसके जड़त्व के उत्पाद (Products of Inertia, जैसे $$I_{xy}, I_{yz}$$) शून्य हो जाते हैं।
फलस्वरूप, आव्यूह विकर्णीय (Diagonalized) रूप ले लेता है:
$$I = \begin{pmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{pmatrix}$$
अर्थात मुख्य विकर्ण के अलावा अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं।

Q5 Solution:

सही उत्तर: B) 1

विस्तृत हल:
क्लासिकल मैकेनिक्स में पॉइसन कोष्ठक की परिभाषा:
$$\{u, v\}_{x, p_x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial p_x} – \frac{\partial u}{\partial p_x} \frac{\partial v}{\partial x}$$
$$u = x$$ और $$v = p_x$$ रखने पर:
$$\{x, p_x\} = \left(\frac{\partial x}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial p_x}{\partial p_x}\right) – \left(\frac{\partial x}{\partial p_x}\right)\left(\frac{\partial p_x}{\partial x}\right) = (1)(1) – (0)(0) = 1$$
(नोट: $$i\hbar$$ क्वांटम मैकेनिक्स के कम्यूटेटर सम्बंध $$[x, p_x] = i\hbar$$ में प्राप्त होता है।)

Q6 Solution:

सही उत्तर: B) चक्रीय या उपेक्षणीय निर्देशांक (Cyclic or Ignorable Coordinate)

विस्तृत हल:
यदि लैग्रांजियन $$L(q_i, \dot{q}_i, t)$$ में कोई व्यापक निर्देशांक $$q_k$$ स्पष्ट रूप से उपस्थित नहीं होता है ($$\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$$), तो $$q_k$$ को **चक्रीय निर्देशांक (Cyclic Coordinate)** कहते हैं।
यूलर-लैग्रांज समीकरण $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$$ के अनुसार, इसके संगत व्यापक संवेग $$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$$ एक नियतांक (Conservable) होता है।

Q7 Solution:

सही उत्तर: B) $$T^2 \propto a^3$$

विस्तृत हल:
केप्लर के तृतीय नियमानुसार (परिक्रमण काल का नियम):
सूर्य के चारों ओर किसी भी ग्रह की दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमण काल का वर्ग ($$T^2$$) उसकी कक्षा के अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन ($$a^3$$) के अनुक्रमानुपाती होता है:
$$T^2 \propto a^3 \quad \text{या} \quad \frac{T^2}{a^3} = \text{नियतांक}$$

Q8 Solution:

सही उत्तर: B) $$|V – \omega^2 T| = 0$$

विस्तृत हल:
छोटे दोलनों (Small Oscillations) के लिए साम्यावस्था के निकट स्थितिज ऊर्जा आव्यूह V तथा गतिज ऊर्जा आव्यूह T द्वारा निरूपित होते हैं।
सामान्य विधाओं (Normal Modes) की आवृत्तियाँ ($$\omega$$) ज्ञात करने के लिए लाक्षणिक समीकरण (Secular Equation) का उपयोग किया जाता है:
$$|V – \omega^2 T| = 0$$

Q9 Solution:

सही उत्तर: A) $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ तथा $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

विस्तृत हल:
हैमिल्टन के कैनोनिकल समीकरण (Canonical Equations of Motion) प्रथम कोटि के दो अवकल समीकरणों का युग्म होते हैं:
1. $$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$
2. $$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
जहाँ $$H(q_i, p_i, t)$$ निकाय का हैमिलटोनियन है।

Q10 Solution:

सही उत्तर: A) $$E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$

विस्तृत हल:
विशेषापेक्षिकता सिद्धांत (Relativistic Mechanics) के अनुसार:
कण की कुल ऊर्जा $$E = \gamma m_0 c^2$$ तथा संवेग $$p = \gamma m_0 v$$
इन दोनों सम्बंधों का वर्ग करके घटाने पर ऊर्जा-संवेग सम्बंध (Energy-Momentum Relation) प्राप्त होता है:
$$E^2 – p^2 c^2 = m_0^2 c^4 \implies E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$