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प्वासों वितरण (Poisson Distribution)
दुर्लभ घटनाओं की प्रायिकता का विज्ञान
परिचय (Introduction)
प्वासों वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण है, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमोन डेनिस प्वासों ने विकसित किया था। यह मुख्य रूप से उन घटनाओं के लिए उपयोग किया जाता है जो समय या स्थान के एक निश्चित अंतराल में बहुत कम बार (Rare Events) होती हैं।
मुख्य शर्तें (Essential Conditions)
- प्रयासों की संख्या (n) बहुत बड़ी (अनंत के करीब) होनी चाहिए।
- सफलता की प्रायिकता (p) बहुत कम (शून्य के करीब) होनी चाहिए।
- औसत सफलता दर λ (Lambda) स्थिर होनी चाहिए।
- घटनाएं एक-दूसरे से पूरी तरह स्वतंत्र होनी चाहिए।
गणितीय सूत्र (The Formula)
P(X = x) = (e-λ · λx) / x!
• λ (Lambda) = औसत सफलता दर (np)
x = सफलताओं की संख्या (0, 1, 2…)
• e = गणितीय नियतांक (≈ 2.718)
• x! = x का फैक्टोरियल
विशेषताएँ (Properties)
माध्य (Mean)
λ
प्रसरण (Variance)
λ
विशेष गुण
Mean = Variance
व्यावहारिक उपयोग (Practical Uses)
1. कॉल सेंटर: एक घंटे में आने वाली कस्टमर कॉल्स की संख्या मापना।
2. सड़क सुरक्षा: किसी विशेष चौराहे पर एक दिन में होने वाली दुर्घटनाओं की प्रायिकता।
3. मुद्रण त्रुटियाँ: एक पुस्तक के प्रति पृष्ठ में होने वाली छपाई की गलतियों की गणना।
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Binomial vs Poisson Distribution
इन दोनों वितरणों के बीच के बारीक अंतर को समझें
| विशेषता (Feature) |
द्विपद वितरण (Binomial) |
प्वासों वितरण (Poisson) |
| प्रयासों की संख्या (n) |
सीमित (Fixed/Finite) |
अनंत या बहुत बड़ी (Infinite/Very Large) |
| सफलता की दर (p) |
निश्चित और पर्याप्त (Significant) |
बहुत कम/शून्य के करीब (Very Small) |
| मुख्य पैरामीटर्स |
दो: n और p |
केवल एक: λ (Lambda) |
| माध्य vs प्रसरण |
Mean > Variance (np > npq) |
Mean = Variance (λ) |
| उपयोग (Use) |
सिक्का उछालना, पासों का खेल |
दुर्लभ घटनाएं (एक्सीडेंट, मुद्रण त्रुटियां) |
याद रखने योग्य बिंदु (Exam Tip):
द्विपद वितरण, प्वासों वितरण में तब बदल जाता है जब प्रयासों की संख्या n → ∞ (अनंत) हो और सफलता की प्रायिकता p → 0 हो, लेकिन np = λ (स्थिर) बना रहे।
हल किए गए न्यूमेरिकल्स (Solved Examples)
प्रश्न 1: एक कॉल सेंटर में औसतन प्रति मिनट 3 कॉल आती हैं। किसी विशेष मिनट में ठीक 2 कॉल आने की प्रायिकता क्या होगी? (e⁻³ = 0.0498)
हल: यहाँ λ = 3, x = 2
P(X=2) = (e⁻³ · 3²) / 2!
= (0.0498 × 9) / 2 = 0.4482 / 2 = 0.2241
प्रश्न 2: यदि किसी प्वासों वितरण का प्रसरण (Variance) 4 है, तो इसका माध्य (Mean) और मानक विचलन (S.D.) ज्ञात कीजिए।
हल: प्वासों वितरण में, Mean = Variance = λ
अतः, Mean (λ) = 4
S.D. = √λ = √4 = 2
प्रश्न 3: एक किताब में छपाई की गलतियों की औसत दर 0.5 प्रति पृष्ठ है। एक यादृच्छिक पृष्ठ में एक भी गलती न होने की प्रायिकता क्या है? (e⁻⁰⁵ = 0.6065)
हल: λ = 0.5, x = 0
P(X=0) = (e⁻⁰⁵ · 0.5⁰) / 0!
= 0.6065 × 1 / 1 = 0.6065
प्रश्न 4: एक फैक्ट्री में बने उत्पादों में खराब होने की प्रायिकता 0.002 है। 1000 उत्पादों के समूह में औसत खराब उत्पादों की संख्या (λ) क्या होगी?
हल: n = 1000, p = 0.002
λ = n × p = 1000 × 0.002 = 2
प्रश्न 5: यदि P(X=0) = P(X=1) है, तो प्वासों वितरण का माध्य (λ) ज्ञात कीजिए।
हल: (e⁻λ · λ⁰) / 0! = (e⁻λ · λ¹) / 1!
e⁻λ = e⁻λ · λ
अतः, λ = 1
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प्वासों वितरण क्या है (Poisson Distribution in Hindi)
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