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समाकलन (Integration) – भाग 1
गणित की वह कला जो छोटे हिस्सों को जोड़कर पूर्ण बनाती है
1. समाकलन क्या है? (What is Integration?)
समाकलन (Integration) अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है। यदि अवकलन का अर्थ किसी बड़ी राशि को छोटे हिस्सों में तोड़ना है, तो समाकलन का अर्थ उन छोटे-छोटे हिस्सों को जोड़कर कुल मान प्राप्त करना है। इसे भौतिक विज्ञान में ‘क्षेत्रफल’ (Area under curve) निकालने के लिए उपयोग किया जाता है।
प्रतीक (Notation):
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$
जहाँ C एक समाकलन नियतांक (Constant of Integration) है।
2. आधारभूत बीजगणितीय सूत्र (Basic Algebraic Formulas)
Power Rule
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
(जहाँ $n \neq -1$)
Constant Rule
$$\int 1 \, dx = x + C$$
Reciprocal Rule
$$\int \frac{1}{x} \, dx = \log|x| + C$$
Exponential Rule
$$\int e^x \, dx = e^x + C$$
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त्रिकोणमितीय एवं विशिष्ट सूत्र (Trigonometric & Special Formulas)
Sine Function
$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$
Cosine Function
$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$
Secant Squared
$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$$
Cosecant Squared
$$\int \text{cosec}^2 x \, dx = -\cot x + C$$
Sec x Tan x
$$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$$
Inverse Trig Form
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x + C$$
Inverse Trig Form
$$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1} x + C$$
Exponential Base a
$$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C$$
नोट: समाकलन करते समय ‘+C’ लगाना कभी न भूलें।
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समाकलन (Integration) – भाग 3
निश्चित समाकलन और भौतिक विज्ञान में इसके अनुप्रयोग
1. निश्चित समाकलन (Definite Integration)
Jab hum samakalan ko do nishchit simao (Limits) ke beech karte hain, to ise Nishchit Samakalan kehte hain. Isme koi constant ‘C’ nahi lagaya jata kyunki iska ek nishchit maan (Value) prapt hota hai.
Sutra (Formula):
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) – F(a)$$
Jahan a lower limit hai aur b upper limit hai.
2. Physics में उपयोग (Applications in Physics)
🔹 कार्य (Work Done): Variable force dwara kiya gaya karya nikalne ke liye:
$$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$$
🔹 वेग aur Visthapan (Velocity & Displacement): Tvaran (Acceleration) se veg nikalne ke liye:
$$v = \int a \, dt$$ aur $$s = \int v \, dt$$
🔹 Vidyut Kshetra (Electric Field): Kisi lambe tar ya ring ke karan vidyut kshetra nikalne ke liye samakalan ka upyog hota hai.
Special Property:
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$$
Limits ko badalne par chinh (Sign) badal jata hai.
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समाकलन (Integration) – न्यूमेरिकल प्रैक्टिस सेट
Premium Problems for Physics & Math Aspirants
Problem 01
प्रश्न: फलन f(x) = 3x² + 4x + 5 का x के सापेक्ष अनिश्चित समाकलन ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
∫ (3x² + 4x + 5) dx
= 3(x³/3) + 4(x²/2) + 5x + C
= x³ + 2x² + 5x + C
Problem 02
प्रश्न: निश्चित समाकलन ∫₁² (2x) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
∫ 2x dx = x²
Limits लगाने पर: [x²]₁² = (2)² – (1)² = 4 – 1 = 3
Problem 03
प्रश्न: फलन f(x) = sin x + eˣ का समाकलन कीजिए।
हल (Solution):
∫ (sin x + eˣ) dx = -cos x + eˣ + C
Problem 04
प्रश्न: यदि वेग v = 2t + 3 है, तो t=0 से t=2 सेकंड में विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
s = ∫₀² (2t + 3) dt = [t² + 3t]₀² = (4 + 6) – (0) = 10 मीटर
Problem 05
प्रश्न: समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ (1/x + sec²x) dx
हल (Solution):
∫ (1/x) dx + ∫ sec²x dx = log|x| + tan x + C
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Integration Formulas and Rules in Hindi
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