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अवकलन (Differentiation)
बदलाव की दर को समझने का गणितीय आधार
1. अवकलन क्या है? (What is Differentiation?)
अवकलन गणित की वह शाखा है जो हमें बताती है कि एक राशि (Variable) में परिवर्तन होने पर दूसरी राशि में किस दर से परिवर्तन हो रहा है। भौतिक विज्ञान (Physics) में, यदि हम स्थिति (s) का समय (t) के सापेक्ष अवकलन करते हैं, तो हमें वेग (Velocity) प्राप्त होता है।
गणितीय रूप:
$${ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} }$$
2. महत्वपूर्ण अवकलन सूत्र (Key Formulas)
🔹 Power Rule: $${ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} }$$
🔹 Constant: $${ \frac{d}{dx}(c) = 0 }$$ (जहाँ c एक नियतांक है)
🔹 Exponential: $${ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x }$$
🔹 Logarithmic: $${ \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x} }$$
🔹 Trigonometric (Sin): $${ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x }$$
🔹 Trigonometric (Cos): $${ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x }$$
3. अवकलन के विशेष नियम
Product Rule (गुणनफल नियम):
$${ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} }$$
Quotient Rule (भागफल नियम):
$${ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} – u\frac{dv}{dx}}{v^2} }$$
Chain Rule:
$${ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} }$$
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अवकलन के विस्तृत सूत्र (Advanced Differentiation Formulas)
Algebraic Identity
$${ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = x^n }$$
Trigonometric (Tan)
$${ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x }$$
Trigonometric (Sec)
$${ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x }$$
Inverse (Sin⁻¹)
$${ \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$
Inverse (Cos⁻¹)
$${ \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$
Inverse (Tan⁻¹)
$${ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} }$$
Inverse (Cot⁻¹)
$${ \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2} }$$
Logarithmic
$${ \frac{d}{dx}(\log |x|) = \frac{1}{x} }$$
Inverse Sin
$${ \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$
Inverse Cos
$${ \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$$
Inverse Tan
$${ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} }$$
Inverse Cot
$${ \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2} }$$
Inverse Sec
$${ \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} }$$
Inverse Cosec
$${ \frac{d}{dx}(\text{cosec}^{-1} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} }$$
Logarithmic
$${ \frac{d}{dx}(\log |x|) = \frac{1}{x} }$$
General Power
$${ \frac{d}{dx} \left( \frac{a^x}{\log a} \right) = a^x }$$
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अवकलन (Differentiation) – अभ्यास प्रश्नावली
महत्वपूर्ण न्यूमेरिकल्स और उनके सटीक हल
Q.1
प्रश्न 1. $$x^5$$ का x के सापेक्ष अवकलन (Derivative) क्या होगा?
(A) $$5x^4$$ (B) $$5x^6$$ (C) $$4x^5$$ (D) $$x^4$$
उत्तर: (A) $$5x^4$$
[हल: Power Rule $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$ का उपयोग करने पर, $$5x^{5-1} = 5x^4$$]
Q.2
प्रश्न 2. $$\sin(x)$$ का अवकलन गुणांक क्या होता है?
(A) $$\sin(x)$$ (B) $$-\cos(x)$$ (C) $$\cos(x)$$ (D) $$-\sin(x)$$
उत्तर: (C) $$\cos(x)$$
[नियम: त्रिकोणमितीय फलन के अनुसार $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$]
Q.3
प्रश्न 3. किसी नियतांक (Constant) ‘5’ का अवकलन क्या होगा?
(A) 5 (B) 1 (C) 0 (D) x
उत्तर: (C) 0
[नियम: किसी भी अचर राशि (Constant) का अवकलन हमेशा शून्य होता है]
Q.4
प्रश्न 4. $$\log_e x$$ का अवकलन क्या है?
(A) $$x$$ (B) $$e^x$$ (C) $$1$$ (D) $$1/x$$
उत्तर: (D) $1/x$
[सूत्र: $$\frac{d}{dx}(\ln x) = 1/x$$]
Q.5
प्रश्न 5. यदि $y = e^x$ है, तो $dy/dx$ क्या होगा?
(A) $$e^x$$ (B) $$xe^{x-1}$$ (C) $$\log x$$ (D) $$0$$
उत्तर: (A) $$e^x$$
[नियम: एक्सपोनेंशियल फलन $$e^x$$ का अवकलन अपरिवर्तित रहता है]
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