बेलन की परिभाषा

बेलन की परिभाषा

बेलन की परिभाषा (Cylinder):-

परिभाषा :- किसी आयत की एक भुजा को अक्ष मानकर उसके चारों ओर घूमने पर बनी आकृति को बेलन कहते हैं।जैसे:- पाइप, तार ,ट्यूब लाइट आदि।

लम्ब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder):-

परिभाषा:- किसी आयत की एक भुजा को स्थिर रखकर उसके चारो ओर घुमाने पर जो आकृति निर्मित होती है उसे लम्ब वृत्तीय बेलन कहते है।

आयत ABCD को एक भुजा AB को अक्ष मानकर उसके चारों ओर घुमाने से बेलन बना है। CD बेलन की जनक रेखा (Generating line of the cylinder) कहलाती है। और AB बेलन की ऊँचाई तथा AD आधार की त्रिज्या कहलाती है।

बेलन की विशेषताएं (Properties of cylinder):-

1. बेलन का आधार वृत्ताकार होता है।

2. आधार के समानांतर समतल काट आधार के बराबर वृत्त होता है।

3. अक्ष के समानांतर समतल काट एक आयत होती है।

कुछ प्रमुख सूत्र :-

यदि बेलन की त्रिज्या r है, तो

1.बेलन के आधार की परिधि = 2πr2. बेलन के आधार का क्षेत्रफल = πr²

लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ संपूर्ण पृष्ठ एवं आयतन (Curved surface, total surface and volume of cylinder):-

यदि बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h हो, तोबेलन का वक्रपृष्ठ = आधार का परिमाप × ऊँचाई = वृत्त की परिधि × ऊँचाई = 2πr × h = 2πrh

बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πrh

संपूर्ण पृष्ठ S = वक्रपृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल + शिखर का क्षेत्रफल =2πrh + πr² + πr² = 2πrh + 2πr² = 2πr(h+r)

बेलन का संपूर्ण पृष्ठ S = 2πr(h+r)

आयतन V = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई = πr² × h = πr²h

बेलन का आयतन V = πr²h

खोखला बेलन(Hollow Cylinder):-

परिभाषा :- समान ऊँचाई और एक ही अक्ष वाले दो बेलनों से घिरे ठोस को खोखला बेलन कहते हैं।

यदि खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या r₁ और आंतरिक त्रिज्या r₂ है तथा खोखले बेलन की ऊँचाई h हो तो

1. खोखले बेलन की मोटाई = बाह्य त्रिज्या – आंतरिक त्रिज्या = r₁ – r₂

2. खोखले बेलन का आधार का क्षेत्रफल = बाह्य वृत्त का क्षेत्रफल – आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल= πr₁² – πr₂² = π(r₁²-r₂²)

खोखले बेलन का आधार का क्षेत्रफल = π(r₁²-r₂²)

3.खोखले बेलन का वक्रपृष्ठ = बाह्य बेलन का वक्रपृष्ठ + आंतरिक बेलन का वक्रपृष्ठ

= 2πr₁h+2πr₂h=2πh(r₁+r₂)

खोखले बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πh(r₁+r₂)

4. खोखले बेलन का संपूर्ण पृष्ठ = खोखले बेलन का वक्रपृष्ठ + 2× आधार का क्षेत्रफल

=2πh(r₁+r₂)+2π(r₁²-r₂²)=2πr(r₁+r₂)+2π(r₁-r₂)(r₁+r₂)=2π(r₁+r₂)(h+r₁-r₂)

खोखले बेलन का संपूर्ण पृष्ठ =2π(r₁+r₂)(h+r₁-r₂)

5.खोखले बेलन का आयतन = खोखले बेलन के आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

=π(r₁²-r₂²)×h = π(r₁²-r₂²)h

खोखले बेलन का आयतन = π(r₁²-r₂²)h

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