गोला से सम्बंधित सूत्र
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गोला से सम्बंधित सूत्र
गोला किसे कहते है ?
परिभाषा :- यदि किसी अर्धवृत्त (Semi – circle) को उसके व्यास के परितः चारों ओर घुमाने से बनी आकृति गोला (sphere) कहलाता है।
व्यास के मध्य बिन्दु को गोले का केन्द्र कहते है।
AB = गोले का व्यास = 2rगोले की त्रिज्या = OA = OB = r
गोले की विशेषताएं (Properties of sphere) :-
1. गोले के पृष्ठ का प्रत्येक बिन्दु केंद्र से बराबर दूरी पर होता है
2. पृष्ठ के प्रत्येक बिन्दु से केन्द्र की दूरी उस गोले की त्रिज्या के बराबर होती है।
3. गोले का वक्रपृष्ठ उसके सम्पूर्ण पृष्ठ के बराबर होता है। इसे पृष्ठ कहते है।
4. गोले की समतल काट एक वृत्त होता है।
गोले का पृष्ठ और आयतन (Surface and volume of a sphere ):-
यदि गोले की त्रिज्या r है तो
गोले का पृष्ठ =4πr² वर्ग इकाई
गोले का आयतन = 4/3πr³ घन इकाई
अर्ध गोला (Hemisphere):-
गोले के केन्द्र से गुजरने वाली कोई समतल गोले को दो समान (बराबर) भागों में विभाजित करता है।
प्रत्येक भाग अर्धगोला कहलाता है।
अर्ध गोले की त्रिज्या, गोले की त्रिज्या के बराबर होती है।
यदि अर्ध गोले की त्रिज्या = r है तो
अर्ध गोले का वक्रपृष्ठ =1/2 × गोले का पृष्ठ= 1/2 × 4πr² = 2πr²
अर्ध गोले का वक्रपृष्ठ = 2πr²
अर्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = अर्ध गोले का गोलीय पृष्ठ+ वृत्तीय समतल का पृष्ठ= 2πr² +πr² =3πr²
अर्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr²
अर्ध गोले का आयतन = 1/2 × गोले का आयतन= 1/2 × 4/3πr³ = 2/3πr³
अर्ध गोले का आयतन = 2/3πr³
गोलीय कोश (Spherical shell):-
परिभाषा :- “दो संकेन्द्रीय गोलों से घिरी हुई आकृति को गोलीय कोश कहते हैं।
यदि किसी गोलीय कोश की बाहरी और भीतरी त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ हो तो
गोलीय कोश की मोटाई = r₁ – r₂
गोलीय कोश का वक्रपृष्ठ = बाहरी गोले का पृष्ठ+ भीतरी गोले का पृष्ठ= 4πr₁² +4πr₂²
गोलीय कोश का वक्रपृष्ठ = 4π (r₁² + r₂²)
गोलीय कोश का आयतन = बाहरी गोले का आयतन-
भीतरी गोले का आयतन= 4/3πr₁³ – 4/3πr₂³
गोलीय कोश का आयतन = 4/3π(r₁³ – r₂³)
अर्ध गोलीय कोश (Semispherical shell):-
परिभाषा :- किसी गोलीय कोश के केन्द्र से होकर जाने वाला समतल उस गोले को दो भागों मे विभाजित करता है।
इनमें से प्रत्येक भाग को अर्ध गोलीय कोश कहते हैं।
यदि किसी अर्ध गोलीय कोश की बाहरी त्रिज्या r₁ तथा भीतरी त्रिज्या r₂ है तो,
अर्ध गोलीय कोश का वक्रपृष्ठ = 2π(r₁² + r₂²)
अर्ध कोश का सम्पूर्ण पृष्ठ = π(3r₁² + 3r₂²)
अर्ध गोलीय कोश का आयतन = 2/3π(r₁³- r₂³)
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